Сборник задач по высшей математике
.pdfУравнение (2.1) называют также уравнением пучка (связки) плоскостей.
Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, образованную пересечением плоскостей А\х + В\у + C\z + D\ = 0 и А2х + В2у + + C2z + D2 = 0 имеет вид
Агх + Вгу + Ciz + Dx+ А {А2х + В2у + C2z + D2) = 0, |
(2.2) |
|
где А — числовой множитель. |
|
|
2. Общее уравнение плоскости: |
|
|
Ax + By + Cz + D = 0 |
{А2 + В2 + С2ф 0). |
(2.3) |
Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости. В частности, вектор п=(А; В; С) — нормальный вектор плоскости, заданной уравнением (2.3)
Частные случаи уравнения (2.3):
Ах + By + Cz = 0 (D = 0) — плоскость проходит через начало координат;
Ах + By + D = 0 (С = 0) — плоскость параллельна оси Oz (аналогичный смысл имеют уравнения Ах + Cz + D = 0, By + Cz + D = 0);
Ax + By = 0 (D = С = 0) — плоскость проходит через ось Oz (Ах + Cz + D = 0, By + Cz + D = 0 — через ось Оу и Ох соответственно); Ах + D = 0(B = C = 0) — плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz + D = 0, By + D = 0 — параллельно плоскости Оху и Oxz соответ-
ственно) ;
Ах = 0, т. е. х = 0 (В = С = D = 0) — плоскость совпадает с плоскостью Oyz (у = 0, г = 0 — уравнения плоскостей Oxz и Оху соответственно) .
3. Уравнение плоскости в отрезках:
? + ? + 7 =
a b c
где а, 6, с — абсцисса, оридината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ох, Оу и Oz соответственно.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Mi{x\\yi\zi), M2(x2\y2\z2) и М3(х3;2/3;2з):
х-Xi |
у - |
2/1 |
г |
- |
|
|
£2 - |
2/2 |
2/i |
- |
= 0. |
(2.5) |
|
- xi |
узyi |
z3 |
- Zi |
|
|
|
Уравнение (2.5) в векторной форме имеет вид |
|
|
||||
(г - fi) . (f2 - ri) |
• (r3 |
- fi) |
= 0, |
(2.6) |
||
где r, fi, f2, гз — радиус-векторы точек M(x;y,z), Mi, M2 и Мз соответственно.
180
5. Нормальное уравнение плоскости:
xcosa + у cos/3 + ZC0S7 - р = 0, |
(2.7) |
где р — длина перпендикуляра О К, опущенного из начала координат на плоскость; а, /3, 7 — углы, образованные единичным вектором ё, имеющего направление перпендикуляра О К (рис. 51), с осями Ох, Оу и Oz (cos2 а + cos2 /? И- cos2 7 = 1 ) .
- - — М
0>
Рис. 51 |
Рис. 52 |
Уравнение (2.7) в векторной форме имеет вид
г ё - р = 0. |
(2.8) |
Общее уравнение плоскости (2.3) приводится к нормальному виду (2.7) путем умножения на нормирующий мноэюитель
А = |
1 |
; |
(2.9) |
± VA2 + В2 + С2
знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D (в общем уравнении плоскости).
5.2.1. Построить плоскости, заданные уравнениями:
1)2у - 5 = 0;
2)х + г - 1 = 0; 3) Зх + 4у + 6z - 12 = 0.
О 1) Плоскость 2г/ — 5 = 0 параллельна плоскости Oxz (см. (2.3), частные случаи); она отсекает на оси Оу отрезок, равный ^ и имеет вид, изображенный на рисунке 52.
2) Плоскость х + z — 1 = 0 параллельна оси Оу (см (2.3)); она пересекает плоскость Oxz по прямой х + z = 1, отсекая на осях Ох и Oz отрезки, равные 1 (рис. 53).
181
|
Рис. 53 |
Рис. 54 |
|
|
3) Общее уравнение плоскости Зх + 4у + 6z — 12 = 0 пере- |
||
|
пишем в виде (2.4): Зх + 4у + 6z = 12, т.е. | + | + | |
= 1. Эта |
|
|
плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz отрезки, равные 4, 3, 2 |
||
|
соответственно (рис. 54). |
|
• |
5.2.2. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через: |
|
|
|
1) точку М(—2; 3; 1) параллельно плоскости Оху; |
|
|
|
2) точку М и ось Оу. |
|
|
|
Построить эти плоскости. |
|
|
5.2.3. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через: |
|
|
1)точку А(5; —4; 6) перпендикулярно оси Ох;
2)точку А и отсекающей равные отрезки на положительных координатных полуосях.
Построить эти плоскости.
5.2.4. |
Уравнение плоскости 2х — 6г/ + 3z —14 = 0 привести к нормаль- |
|
ному виду. |
|
О Умножим обе части уравнения на нормирующий множи- |
|
тель (2.9): |
Л = |
. |
1 |
, т. е. А = \ . |
\/22 |
+ (—б)2 + З2 |
7 |
|
Перед корнем взят знак «плюс», т.к. свободный член С = —14 заданного уравнения отрицателен. Имеем:
1 |
|
|
1 |
2 |
«т.е. |
6 |
|
3 |
2 = 0 . |
- ( 2 х — 6у + 3z — 14) |
= 0 • - , |
|
|
-х --у +-z - |
|||||
Здесь р = |
2, |
т. е. расстояние от точки 0(0; 0; 0) до плоскости |
|||||||
равно 2; |
|
2 |
|
|
g |
|
|
3 |
|
|
|
cos а = |
cos/З = —- , |
cos 7 = |
- |
|
|||
/ |
о |
о П |
2 |
|
4 |
36 |
9 |
Л |
|
(cos2 |
а + cos2 р |
+ cos2 7 |
= _ + |
_ |
+ _ |
= l j . |
|
||
182
5.2.5. Определить направляющие косинусы радиус-вектора, перпендикулярного к плоскости Зх — 4у + bz — 10 = 0.
5.2.6. Написать уравнение плоскости:
1)параллелльной оси Oz и проходящей через точки М\ (3; —1; 2)
иМ 2 ( - 1 ; 2 ; 5 ) ;
2)проходящей через точку М\ перпендикулярно вектору
|
М\М2- |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
1) Уравнение плоскости, параллелльной оси Oz, имеет вид |
||||||
|
Ах + By + D = 0 (см (2.3), частные случаи). Так как плоскость |
|||||||
|
проходит через точки М\ и М2 , то координаты этих точек удо- |
|||||||
|
влетворяют уравнению плоскости. Подставим их в уравнение |
|||||||
|
Ах + By + D = 0. Получаем два уравнения |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ЗА - В + D = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
-А + 2В + D = 0 |
|
|
|
|
с тремя неизвестными А, Б, D. Выразим неизвестные коэффи- |
|||||||
|
циенты А и В через D: умножив первое уравнение на 2 и сло- |
|||||||
|
жив почленно уравнения, находим ЪА + 3D = 0, т. е. А = |
о |
||||||
|
|
|||||||
|
тогда В = 3 • |
+ D, т.е. В = |
Подставляя найден- |
|||||
|
ные значения А и В в уравнение Ах + By + D = 0, получаем |
|||||||
|
|
Dx+ (^-^D^jy + D = 0. После сокращения на |
(^-^D^j |
урав- |
||||
|
нение искомой плоскости приобретает вид Зх + 4у — 5 = 0. |
|||||||
|
|
2) Используем уравнение (2.3) плоскости. Вектор М\М2 |
||||||
|
имеет координаты MiМ2 = (—1 — 3; 2 — (—1); 5 — 2) или М\М2 — |
|||||||
|
= (—4;3;3). Так как искомая плоскость перпендикулярна век- |
|||||||
|
тору MiM2 , он является ее нормалью и, следовательно, значе- |
|||||||
|
ния параметров Л, Б, и С в (2.3) равны —4, 3 и 3 соответствен- |
|||||||
|
но. Уравнение плоскости, таким образом, имеет вид |
|
||||||
|
|
|
|
—4х + Зу + 3z + D = 0. |
|
|
||
|
Точка Mi(3; —1; 2) по условию задачи лежит в плоскости. Сле- |
|||||||
|
довательно, подстановкой координат точки М\ в уравнение |
|||||||
|
плоскости получим тождество: |
|
|
|
||||
|
|
|
- 4 - 3 + 3 - ( - 1 ) + 3 - 2 + 0 = 0 . |
|
|
|||
|
Отсюда находим, что D = 9. Уравнение искомой плоскости: |
|||||||
|
|
|
|
—4х + Зу + 3z + 9 = 0. |
|
|
• |
|
5.2.7. |
Составить |
уравнение |
плоскости, проходящей |
через |
точку |
|||
|
Мо(2;3; —4) |
и параллельной векторам а |
= (—3; 2; —1) |
и Ь = |
||||
|
= |
(0;3;1). |
|
|
|
|
|
|
|
О |
Воспользуемся уравнением (2.1) плоскости. Имеем |
|
|||||
|
|
|
А(х - |
2) |
+ В (у - 3) + C(z + 4) = 0. |
|
|
|
183
Найдем А, В и С. Так как плоскость параллельна векторам А и 5, то в качестве ее нормального вектора П = (А; В; С) можно взять вектор п — а х Ь. Находим вектор п по форму-
ле а х Ь = |
г |
j |
к |
ах |
ау |
0>z |
|
|
ьх |
Ьу |
bz |
п = |
i |
J |
к |
- 3 |
2 |
- 1 = 2г -9к + Зг + 3 j = Ъг + 3 j - 9к; |
|
|
0 |
3 |
1 |
значит, А = 5, В = 3, С = —9. Искомое уравнение плоскости есть 5(х - 2) + 3(у - 3) - 9(z + 4) = 0, т. е. Ъх + Зу - 9z - 55 = 0.
Замечание. Приведем второе решение задачи. Пусть М(х; z) — произвольная точка искомой плоскости. Составим вектор MqM = (ж — 2; у — 3; г И- 4). Так как векторы МоМ, аиЬ компланарны, то их смешанное произведение равно нулю, т. е.
х — 2 |
У — 3 |
z + 4 |
-3 |
2 |
- 1 = 0. |
0 |
3 |
1 |
Раскрывая определитель, получаем Ъх + Зу - 9z — ЪЪ = 0. Ф
5.2.8. |
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки |
|||
|
|
Mi(2;0; - 1), М 2 ( - 3;1;3) параллельно вектору s = (1;2; - 1) . |
||
5 |
.2.9. |
Написать уравнение |
плоскости, |
проходящей через точку |
|
|
М( 1; —1; 0), параллельно векторам а = (0; 2; 3) и Ь = (—1; 4; 2). |
||
5 |
.2.10. |
Написать уравнение плоскости, проходящей через три задан- |
||
|
|
ные точки M i ( l ; 0 ; - 1 ) , |
М2 (2;2;3), |
М 3 (0; - 3;1) . |
О Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют в пространстве единственную плоскость. Ее уравнение будем искать в виде (2.3). Так как точки Mi, М2 и Мз лежат в одной плоскости, векторы М\М2 и M\M3 также лежат в ней (см. рис. 55)
Векторное произведение векторов M\M2 и М\М3 перпендикулярно плоскости а, в которой они лежат. Следовательно, в качестве нормали п к плоскости а можно взять вектор
184
n = MiM2 x M1M3. Находим координаты векторов MiM2 , М1М3 и n:
M J M 2 = (2 - 1; 2 - 0; 3 - ( - 1 ) ) = ( 1 ; 2; 4 ) ;
M J M 3 = ( 0 - 1 ; - 3 - 0 ; 1 - ( - 1 ) ) = ( - 1 ; - 3 ; 2 ) ;
г |
j |
к |
n = M\M2 x M1M3 = 1 2 |
|
4 |
- 1 |
- 3 |
2 |
f(4 - ( - 3 ) • 4) - J(1 • 2 - ( - 1 ) • 4) + *(1 • ( - 3 ) - 2 • ( - 1 ) ) = 16г — 6 j — k\ n = (16; —6; —1).
Таким образом, параметры А, В и С плоскости, заданной уравнением (2.3) равны 16, —6 и —1 соответственно. Уравнение искомой плоскости, следовательно, имеет вид
16х - 6у - z + D = 0.
Точка Mi(l;0;— 1) по условию лежит в плоскости. Следовательно, подстановка координат точки М\ в уравнение плоскости обратит его в тождество. Имеем:
1 6 - 1 - 6 - 0 - ( - 1 ) + £> = 0.
Откуда находим, что D = —17. Уравнение плоскости, проходя-
|
щей через заданные точки М\, |
и Мз, имеет вид 16х—6у—z — |
||
|
-17 |
= 0. |
|
|
|
|
Замечание. Приведенное решение задачи по сути является |
||
|
обоснованием формулы (2.5). |
|
• |
|
5.2.11. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
точки |
||
|
Mi( - 2;0;0), М2 (0;4;0), М3 (0;0;5). |
|
||
5.2.12. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
точку |
||
|
М(1; — 2; 3) и линию пересечения плоскостей 2х — у+ 2z — 6 = 0 |
|||
|
и Зх + 2у — z + 3 = 0. |
|
|
|
|
О |
Линия пересечения плоскостей — прямая. Выберем на ней |
||
две произвольные (несовпадающие) точки и сведем задачу к предыдущей — определение уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки.
Координаты точек прямой, заданной пересечением плоскости 2х — у + 2z — Q = 0 и Зх + 2у — z + 3 = 0, — это решения
системы |
г |
|
( 2х - у + 2z - 6 = 0, |
[Зх + 2у - z + 3 = 0.
Выбрать два решения этой системы можно различными способами. Поступим так: присвоим одной из переменных фиксированное значение (что-нибудь простое, например, равное нулю или единице), а значения остальных переменных найдем из
185
образующейся системы. Пусть, например, х = 0. Тогда система уравнений примет вид
-у + 2z = 6, 2у-z = -3,
решение которой у = 0, z = 3. Итак, одна точка найдена. Обозначим ее М2. Координаты этой точки М2 (0;0;3).
Для нахождения второй точки поступим аналогичным образом. Пусть теперь х = 3 (подставка z = 0 приводит к дробным решениям, что слегка усложняет арифметические процедуры). Исходная система уравнений примет вид
6 — 2/ + 2z — 6 = 0, 9 + 2 ? / - 2 + 3 = 0,
|
решение которой у = —8; z = —4. Найдена вторая точка на |
||
|
прямой (обозначим ее М3), координаты которой М3(3; —8; —4). |
||
|
Теперь есть три точки Afi(l; —2; 3), М2 (0;0;3) и М3(3; - 8 ; - 4), |
||
|
определяющие в пространстве плоскость. Ее уравнение нахо- |
||
|
дится способом, показанным в решении задачи 5.2.7. Уравнение |
||
|
искомой плоскости: Ых + 7у — 2z + 6 = 0. |
• |
|
5.2.13. |
Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) |
||
|
перпендикулярно к линии |
пересечения двух |
плоскостей |
|
x-y + 2z-3 = 0n2x-z + 4 |
= 0. |
|
5.2.14. |
Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересе- |
||
|
чения двух плоскостей х — 2у + 3z — 4 = 0их + у — 5z + 9 = 0 |
||
|
и параллельной оси Ох. |
|
|
Дополнительные задачи
5.2.15. |
Найти объем пирамиды, ограниченной плоскостью х + Зу — 5z — |
|
— 15 = 0 и координатными плоскостями. |
5.2.16. |
Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала коорди- |
|
нат на плоскость 20х — 5y + 4z — 210 = 0и угол, образованный |
|
этим перпендикуляром с осью Oz. |
5.2.17. |
Найти плоскость, зная, что точка М(2;—4;4) служит основа- |
|
нием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту |
|
плоскость. |
5.2.18. |
Найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек |
|
М 1 ( 2 ; 1 ; - 2 ) и М 2 ( - 2 ; 3 ; 4 ) . |
5.2.19. |
Найти уравнение плоскости, отсекающей на отрицательной |
|
полуоси Оу отрезок, равный 4, и перпендикулярной вектору |
|
п = (3; - 2;4) . |
186
5.2.20. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точки |
||
|
Mi (4; 2; 3) |
и М2 (2; 0; 1) и перпендикулярной |
к плоскости |
|||||
|
х Н- 2у Н- 3z + 4 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.21. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||
|
М(1; 0; 3) и перпендикулярной к плоскостям x + y + z — 8 = 0и |
|||||||
|
2х - у + 4г + 5 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.22. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точки |
||
|
Mi (1; 2; 3) и М2(—2; —3; 4) и пересекающей оси Ох и Oz в точках |
|||||||
|
с равными и положительными координатами. |
|
|
|||||
5.2.23. |
Найти расстояние от начала координат до плоскости, которая |
|||||||
|
пересекает оси Ох, Оу, Oz в точках с координатами а = —6, |
|||||||
|
Ь = 3, с = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.24. |
Найти уравнение плоскости, проходящей через основания пер- |
|||||||
|
пендикуляров, опущенных из точки М(2; 2; 2) на координатные |
|||||||
|
плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.25. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку |
|||||||
|
М(2; —2; 5) и отсекающей на осях Ох и Оу втрое большие от- |
|||||||
|
резки, чем на оси Oz. |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.26. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Mi |
|||||||
|
перпендикулярно вектору МХМ2 |
= г — j — 3fc, |
зная |
точку |
||||
|
М 2 ( 2 ; - 8 ; - 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
5.2.27. |
Найти точку пересечения следующих плоскостей: |
|
||||||
|
1) х - Зг/ + 2z - 11 = 0, х - 2у + г - 7 = |
0, |
2х + у - z + 2 |
= 0; |
||||
|
2) Зх + у + г - 5 = 0, |
х - 4у - 2z + 3 = |
0, |
Зх - 12у - 6z + 7 = 0. |
||||
Контрольные вопросы и более сложные задачи
5.2.28. |
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку |
||||||
|
M0(x0;yo;zo) |
параллельно двум |
векторам |
а = |
(rri\\ri\\p\) |
||
|
и Ь = (ш2 ;п2 ;р2 ), может быть представленным в виде |
||||||
|
|
х - х0 |
у ~Уо |
z - Zo |
|
|
|
|
|
mi |
п\ |
р\ |
= |
0. |
|
|
|
m2 |
n2 |
p2 |
|
|
|
5.2.29. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проведенной |
через точку |
||
|
Мо(хо;2/о;2о) параллельно вектору а = (ax\ay\az) и перпенди- |
||||||
|
кулярно плоскости Ax + By + Cz + D = 0. |
|
|
||||
5.2.30. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через начало ко- |
||||||
|
ординат, точку Мо(—1; 2; 1) и точку |
пересечения плоскостей |
|||||
|
2х - Ay + 5z = 21, х - 3z + 18 = 0, |
6х + у + г - 30 = 0. |
|||||
5.2.31. |
Плоскостих = 0, у = 0, z = 0и 3x+y — 2z — 18 = 0 образуют тре- |
||||||
|
угольную пирамиду. Найти объем куба, вписанного в пирамиду |
||||||
|
так, что три его грани лежат на координатных плоскостях, одна |
||||||
|
из его вершин — на последней плоскости (Зх + у — 2z — 18 = 0). |
||||||
187
5.2.32. |
Найти точку, симметричную началу координат относительно |
||
|
плоскости 10х + 2у — llz -I- 450 = 0. |
||
5.2.33. |
Чему равна площадь треугольника, отсеченного плоскостью |
||
|
2х — 9у + 6z — 12 = 0 от координатного угла Oxz? |
||
5.2.34. |
Каково уравнение плоскости, проходящей через точку (1;2;3) |
||
|
перпендикулярно вектору а = (3; 2; 1)? |
||
5.2.35. |
Какое из следующих уравнений плоскости является нормаль- |
||
|
ным 1) |
= |
0; 2) х + у-2 = 0; 3) у + 1 = 0; 4) х-1 = 0; |
|
5) |
+ 2 |
= |
5.2.36. |
Проходит ли плоскость 2х — 4у + z — 3 = 0 через одну из сле- |
||
|
дующих точек: А(2; 1; 3), Б(0; 2; 10), С ( - 3 ; - 3 ; - 3 ) ? |
||
5.2.37. |
Найти точки пересечения плоскости х + 2у — 3z + 6 = 0 с осями |
||
|
координат. |
|
|
Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей; расстояние от данной точки до данной плоскости
Углом между плоскостями в пространстве называется угол между нормальными векторами этих плоскостей. Если две плоскости Q\ и заданы уравнениями А\х + B\y + C\z + D\ = 0 и A2X + B2y + C2Z + D2 = 0, то величина угла у? между ними вычисляется по формуле
|
|
|
|
,0 , |
cos if = |
А\А2 + В1В2+С1С2 |
. |
||
|
(2.10) |
|||
у/А* + В\ + С\ . у]А\ + В\ + С\ '
Величина наименьшего из двух смежных углов, образованных этими плоскостями, находится по формуле:
|
COS(£ : |
AiA2 |
+ |
BiB2 |
+ C1C2 |
(2.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
yjA\ + Bl + Cl-ylA* + Bl + (% |
||||||
Условие |
параллельности |
двух плоскостей |
Q\ и Q2 |
имеет вид |
||||
|
|
М |
= |
в 1 |
= |
с 1 |
(2.12) |
|
|
|
А2 |
|
В2 |
|
С2 |
||
|
|
|
|
|
||||
условие |
перпендикулярности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AiA2 + ВгВ2 |
+ СхС2 |
= 0, |
(2.13) |
|||
плоскости совпадают, |
когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai = |
B 1 |
= |
C 1 |
= |
D 1 |
(2.14) |
|
|
А2 |
В2 |
|
С2 |
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
||||
188
Расстояние d от точки Mo(xo;yo;zo) до плоскости Ax + By + Cz + D = О
находится по формуле
d=\Ax0 + By0 + Cz0 + D\ Va2 + В2 + С2
Если плоскость задана уравнением xcosa + ycos/3 + z cos — p = 0, то расстояние от точки Мо(хо;*/о; ^о) ДО плоскости может быть найдено по формуле
|
d = \XQ COS а + уо cos /3 + ZQ COS 7 - p |. |
|
(2.16) |
|||
5.2.38. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
|
М( 1; —3; —2) параллельно плоскости Зх — 2у + 4z — 3 = 0. |
|||||
|
О Ищем уравнение плоскости в виде Ах + By + Cz + D = 0 |
|||||
|
(это вид 2.3). Две параллельные плоскости имеют общую нор- |
|||||
|
маль. Координаты нормали заданной плоскости п = (3; —2; 4). |
|||||
|
Следовательно, уравнение искомой плоскости |
имеет вид |
||||
|
Зх - 2у + 4z + D = 0. |
|
|
|
|
|
|
Точка М(1; —3; —2) по условию лежит в искомой плоскости. |
|||||
|
Следовательно, подстановкой координат М в уравнение плос- |
|||||
|
кости получим тождество: 3 • (1) — 2 • (—3) + 4 • (—2) + D = 0. |
|||||
|
Отсюда находим, что D = — 1. Уравнение искомой плоскости |
|||||
|
имеет вид Зх — 2у + 4z — 1 = 0. |
|
|
• |
||
5.2.39. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
|
М(—4; —3; —2), параллельно плоскости х + 2у — 3z — 6 = 0. |
|||||
5.2.40. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
точку |
|
М(0; —3; 2) параллельно плоскости, проходящей через три точ- |
|||||
|
ки Мх(0; - 2 ; - 1), М2 ( 1; - 3 ; 4), М3 ( 1; 1; - 1 ) . |
|
|
|||
5.2.41. |
Найти величину острого угла между плоскостями: |
|
||||
1)Их - 8у - 7z - 15 = 0 и 4х - 10у + г - 2 = 0;
2)2х + Зу - 4z + 4 = 0 и 5х - 2у + г - 3 = 0.
О1) Воспользовавшись формулой (2.11), получаем
cos (р = , |
|11 • 4 — 8 • (—10) — 7 • 1| |
= |
|
|
|
|
= = — / |
= |
|
|
|
||
л/121 + 64 + 49 • %/16 +100 + 1 |
|
|
|
|
||
|
_ |
117 |
_ |
VTl7 |
_ |
л/2 |
|
~ |
n/234-VTl7 |
~ |
V2-VU7 |
~ |
2' |
|
|
7Г |
|
|
|
|
ч> = 1-
2) Можно заметить, что выполняется условие (2.13) перпендикулярности плоскостей, т.к. 2 • 5 + 3 • (—2) —4-1 = 0 . Следовательно, плоскости взаимно перпендикулярны; (р = #
189