Сборник задач по высшей математике

а) /( х ) = 4 я

* - - Л - + 2 ;

X

+ 1

б)

=

+

X ~г I

в)

f(x)

=

sinSx -

e 3 x _ 1 ;

г)

f(x)

=

y/x - 2 + cos2

4x.

6.5.19.

Найти предел, используя свойства непрерывных функций:

lim

х2

+

8х

-

1

2

— .

х — х

— 4

О

Данная

функция

элементарная,

поэтому она непрерывна

на области определения, т. е. при всех х ф ±2. Следовательно,

f(x) непрерывна и в точке х = 3, откуда

•

32

„

,

^

lim

Х2+8Х-1

З2

+ 8

3 — 1

^

4

— =

-о

- 4

= — = 6,4.

•

х2 -

З2

5

6.5.20.

Найти пределы, используя свойства непрерывных функций:

а ) И т * 3 - 4 * 2 + 5

.

7

х-И

X

X

б)'

Ит

X4 + Зх2

в) Ит у/х2

+ х — 2:

г)

Ит 1п(1 -h cos(a? — 1)).

6.5.21.

Исследовать функцию у =

(д.

— з)

на

н е п Р е Р ы в н о с т ь

на

отрезке [а; 6], если

а)

[в;Ь] = [ - 1 ;2];

б)

[а; 6] = [—5; 0];

в)

[а; 6] = [—3;4].

О

Данная

функция

элементарная,

поэтому она непрерывна

на области определения, т.е. при всех я, не равных —2 и 3. В

точке х\ — —2 функция терпит разрыв 2-го рода, так как

1.

1.

1

— = +оо,

1

— = —оо.

Ит

—

Ит

(х +

—

х—У—2—0 (х + 2){х - 3)

x—t—2+О

2){х

- 3)

В точке Х2 = 3 также разрыв 2-го рода, потому что

1.

1.

1

— = -оо,

т

1

— = +оо.

lim

—

lim

—

x->3-0

(х + 2){х-3)

*->з+о (ж + 2)(ж-3)

ет две точки разрыва 2-го рода х\ — —2, х2

= 3, а в остальных

точках непрерывна (xi;x2 Е [—3;4]).

ф

6.5.23.

Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точ-

ке своей области определения:

а)

f(x)

=

tga?;

б)

f(x)

=

ctgx;

в) f{x)

=

Д-;

г)

fix)

=

7

ЩЩ.

'

J v '

+ 5

6.5.24.

Исследовать на непрерывность функцию у = |signx|. Постро-

ить график этой функции.

Более сложные задачи

6.5.25.

Используя определение, доказать непрерывность на (—оо; +оо)

следующих функций:

а)

f(x)

=

sinx;

б) f(x)

= COS X]

в) fix)

=

е*.

6.5.26.

Доказать, что функция Дирихле (см. задачу 6.1.125) разрывна

в каждой точке х Е R.

6.5.27.

Привести пример двух разрывных в точке хо функций /(я)

и д(х), для которых функция h(x) будет непрерывна в этой

точке:

а)

h(x)

=

f(x)+g(x)\

б)

h(x)

=

f(x).g(x).

6.5.28.

Привести пример двух функций f(x) и д(х), разрывных в ка-

ждой точке х £ Е, для которых функция h(x) непрерывна на

всей действительной оси:

а)

h(x)

=

f(x)+g(x);

б)

h(x)

=

f(x).g(x).

6.5.29.

Доказать, что функция

= ./sini?-

если х ф О,

I

—,

о,

если х = 0.

имеет разрыв 2-го рода в точке 0.

6.5.30.

Доказать, что функция

/(*)

. х • sinL —, если х ф О,

{

о,

если х = 0.

непрерывна на (-оо; Н-оо).

6.5.31.

Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны справа (соответствен-

но, слева) в точке XQ. Доказать, что функции

а)

f(x)+g(x)\

б)

f(x).g(x);

в)

f(x)/g(x) (д(х0) ф

0)

также непрерывны справа (соответственно, слева) в точке хо.

6.5.32.

Привести пример функции, непрерывной и неограниченной на

данном интервале.

6.5.33.

Привести пример функции, заданной на отрезке [а; Ь] и неогра-

ниченной на нем.

6.5.34.

Привести пример непрерывной на некотором множестве функ-

ции, которая принимает значения 0 и 2, но не принимает зна-

чения 1.

6.5.35.

Привести пример функции, непрерывной на каждом из про-

межутков [0; 1) и [1;2], но не являющейся непрерывной на их

объединении, т.е. на отрезке [0;2].

6.5.36.

Привести пример функции f(x), непрерывной на интервале

(а;Ь), множество значений которой:

а)

интервал;

б)

отрезок;

в)

полуинтервал.

6.5.37.

Привести пример функции, которая достигает на данном от-

резке наибольшего и наименьшего значений и принимает все

промежуточные значения между ними, но не является непре-

рывной на этом отрезке.

6.5.38.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке xq. Доказать, что то-

гда функция f(x) ограничена в некоторой окрестности этой

точки.

6.5.39.

Доказать, что всякий многочлен третьей степени имеет по

крайней мере один действительный корень.

6.5.40.

Доказать, что если функция f(x) непрерывна на данном про-

межутке, то и функция \f(x)\ также непрерывна на этом про-

межутке.

6.5.41.

Привести пример функции f(x), разрывной на отрезке [а;Ь],

для которой функция \f(x)\

непрерывна на этом отрезке.