Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7380

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Тогда х4 +1	= А(х2 +1) + Вх(х2 +1) + Сх2(х2 +1) + (Dx + Е)х3,
т. е. х4 +1 =	(С+D)x4 + (В + Е)х3 + (А+С)х2 + Вх + А. Отсюда
	С + D = 1,
	В + Е = О,
	А + С = О,
	в=о,
	А = 1.

Находим, что А = 1, В = О, С = - 1 , D = 2, Е = 0. Итак,

х4 + 1		=	-S	- - +		2х
х3 (х	2 + 1 )				х	Ч-1
			х

Первое и второе слагаемые имеют табличные интегралы, третье — «почти табличные», легко вычисляются после внесения 2х под знак дифференциала (см. задачу 9.2.1).

Поэтому

2	,4	+ 1
	х4	+ 1
h	V	+1)

1	I2
= ( - ^ 2 -1пХ + 1п(х2 + 1))	=

= -- 81+ 1- 2- ln2-f lnl + 1п5 - 1п2 = In -54 + -38 .

Найти интегралы от рациональных дробей:

9.1.21.		dx	9.1.22.	J		х6 +х
	~Х'X* + х
I
				1	3
9.1.23.		х2 + 5	9.1.24.	[			dx

		X - 2
				J X2 + 6я + 10 '

9.1.25.х2 + 1 _з

9.1.26.Найти значение интеграла J f(x)dx, если

(в*, 0 < * < 1 ;

370

О Подынтегральная функция имеет на отрезке [0; 2] одну точку разрыва (х = 1) первого рода, ограничена на нем.

Тогда:

4	А	л
j f(x) dx =	J exdx +	J	2dx	=
		l		2
		=	е*\|1	2	= e - l + 4 - 2 = e + l.
		=	е*\|1	+2я	= e - l + 4 - 2 = e + l.
			lo	l

Дополнительные задачи

Вычислить следующие интегралы:

		е2
9.1.27.		[ \ ^ - d x .					9.1.28.
	J			ox
	1
9.1.29.	J	/	4 a r c t S a ;		~x	dx.	9.1.30.
	J			1 + x2
	0
9.1.31.		0		I	dx.		9.1.32.
9.1.31.		f	6		dx.		9.1.32.
			6
		Я .
		4
9.1.33.	J tg3xdx.						9.1.34.
	о
		2
9.1.35.	J	[	y/x + 2 + ч/Зя + 2
	о

2тг	-xf -	++02 sin.	x	dx.
Jf	-xf -	++02 sin.	x	dx.
	:	CQSa?
7Г
/ s i n l n x d a .
J	X
1
1
1	,				.
[	,	x d a ;			.
/ V ^ + ^ + l

ТГ

J tg x • In cos xdx.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить		интегралы:
9 л . з в . .			9 . 1 . 3 7 ' .
	Т				4
9.1.38*.	J tgixdx.		9.1.39*.			J\3-x\dx.
	4
9.1.40*.	/	/ ( х ) dx, если / ( x )	= Н		ПРИ	^	[ - f ; 0],
	A		Itga:,	п р и х е			(0; f] .

371

24'

9.1.41.

9.1.42.

9.1.43.

9.1.44.

J	_	J x-*dx =	1 =	-1 - 1 = - 2 . Ответ неверен.
- l		- l
Почему?
			2
Вычислить устно интеграл			j	2^1x3 ^х•

									-2
Выяснить, не вычисляя, какой из интегралов меньше:
	тг						тг
	4						4
а)	J	cos xdx			или		J	cos2xdx\
	тг					тг
	6 15					156
б)	J	хъ	dx	или		J	х6	dx\
	11					11
в) J 4~x			dx	или		J b~x			dx\
	о о					0	0
r)	J	4	x dx		или		J	5	x dx.
	- l						- l

Определить, не вычисляя, знак интеграла:

	а)	J (:г2	-	4я +	3) dx\
		1
		7Г
	б)	J х	sin xdx.
		тг
		2
9.1.45.					Ь
9.1.45.	Известно,			что	J f(x) dx = 0. Следует ли отсюда, что f(x) = 0
	Известно,			что	J f(x) dx = 0. Следует ли отсюда, что f(x) = 0

на [а; Ь]?	а

Интегрирование подстановкой

При вычислении определенных интегралов часто используется метод подстановки или метод замены переменной интегрирования. Пусть для

вычисления интеграла J f(x)dx от непрерывной функции сделана под-

становка х = (p(t). Если функция (p(t) и ее производная ip'(t) непрерывны на отрезке [а;/?], причем

a = tp(a) и Ъ = 1р{Ц),

(1.4)

то справедлива формула:

ь/3

I f(x)dx =	j f(<p(t))<p'(t)dt.	(1.5)
а	а

372

Вычислить интеграл [ -—Щ—F* С ПОМОЩЬЮ замены перемен-

J 5 + 2у/х

ных.

О Применим подстановку yfx = t. Тогда х = t2, dx = 2tdt.

X 1 9 Находим новые пределы интегрирования: t = -у/х 1 3

Применяя формулу (1.5), получим:

Jf —J [ 2ztdtat — J( 2£ + 5 — 5 dt =

5 + 2 x / i ~ 5 + 21 ~ 2 * + 5

формула (1.5) называется формулой замены переменной интегрирования

в определенном интеграле. Отметим, что:

1)функцию х = cp(t) следует подобрать так, чтобы, подставив ее вместо х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;

2)новые пределы интегрирования находить из соотношений (1.4);

3)при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется (в отличие от неопределенного интеграла);

4)вместо подстановки х = (p(t) применяют и подстановку t = ф(х).

9.1.46.

= /

Вычислить интегралы:

9.1.47.	In 2	dz
	о
	16	dx
9.1.49.	f	dx
9.1.49.	J	x+ Vx '
	J	x+ Vx '

~ 2 t T s ) dt =

~5 ' \ln

+ 5'

= 3 - 1 - | (In 11 - In 7) = 2 - 5 in H .

	X	x dx
9.1.48.	/	x dx
9.1.48.		y/5 — 4x
	-1	y/5 — 4x
	7
9.1.50.	/1 + dxУх + Г

9.1.51. Вычислить интеграл

3 + 2 cos x C п о м о щ ь ю подстановки.

Положим

tg ^ =

Тогда получаем х =

2 arctg t,

dx =

7Г

1 —t2

—

Л РЛО т——

Ппоттопч иитогпиплпа!

373

Следовательно,

7Г

1 2

d i

[

ах

T W

[

dt =

3 + 2 cos х

3 + 2- ТХ77

У * 2

+ 5

1+ь

= —т= arctg —р

= —р arctg

& 7 5

0 " 7 5

9.1.52.При помощи замены переменной вычислить интеграл

J х(3 - х)7 dx.

О Полагая t = 3 — х, получим: х = 3 — t, dx = —dt. Пределы

интегрирования		ж I 2 I 3			'
интегрирования		^	i	0	'
з	о				о
J х(3	- s)7 dx	=	у (3	-	t)t7(-dt) = J(ts- 317) dt =
2			1		1

Вычислить интегралы с помощью

9.1.53. J х \/2х — 1 dx.

9.1.55. J (2 + 5x)4dx.

- 0 , 4

9.1.57. /

(x + 1)

V 9	8	/ li	9	8	72*
замены	переменной:
9.1.54.	f	xdx
	J	y/2x + 7 '
	l
	7Г
9.1.56.	/	ein(J®	-	\|)
	0
	3
9.1.58.	J	x2V<F^x2dx.

9.1.59.Вычислить при помощи подстановки интеграл

				2
			/I ху/х2dx+ х + 1
				—т		X			2	Получаем
						X		1	2
					1	*		1	i
				Г		*		1	2
}	^х	_	J	—jsdt			_		f	dt
J	x\/x2 + x + 1	"	/	I . ^ +	i + i		~		/ V ^ T i + l

374

= In t + \ + Vt2 + t +1

= In 3 4- 2\/3

2 + v/7

9.1.60.

Вычислить интеграл

f — J d x

+ 1

худ;2

9.1.61.

Вычислить интеграл J

^ +

п о м о щ и з а м е н ы перемен-

ной.

подстановку х

2 tg t.

Тогда dx

= —-r-dt,

Применим

cos t

7Г

2 dt

J (4

+ x2)2

cos2 £(4 + 4tg2

£)2

2dt

}

2 .

tdt =

1 6 cos*.И ^

= -

cos

)

f (l + coe2t)^ =

^ ( t + i s i n 2 t ) r

/7Г

. 1\

тг + 2

1 б ( 4

2 ) =

~64~

Вычислить

интегралы:

/\j\ +Xxdx

9.1.62.

[

9.1.63.

(x = cos t).

+ x2)3'

x dx.

9.1.64.

n/2^x>dx .

9.1.65.

Дополнительные задачи

Вычислить

интегралы:

5rfx

In 4

9.1.66.

9.1.67.

>Jex

1 dx.

/т -f cosx

375

9.1.68.	У	d x	^ . .	9.1.69.	/		cosxdx		a;
	У	l + cosz + sinz			J		б- 5 sin a;-h sin2		a;
	0				о
	2
9.1.70. J		3x(l-x)17dx.
	1
Контрольные вопросы и более сложные задачи
Вычислить		интегралы:
	1				2
9.1.71. [		Г^— dx.		9.1.72.	[			**
	У	V 4 - *			/		(4 + а;2)л/4 + а;2
	Г	/—	q		arcsin^/J
9 1 ' 7 3 '				М - " -				/ r f l g f e * .
							о
					"2
9.1.75. J				9.1.76.		j	cos9 xdx.
	з				о
					64

9.1.77.

9 1 79

9.1.80.

9.1.81.

9.1.82.

Jf	Л .	a;.	9.1.78.
	6 -h sin
о

/(a? - l)ds

( y/(Sx — 4)2 — V 3 ^ 4 + l

Решить уравнение J ^

t V ^ T i

л/2

[	^
^

12-

Вычислить J=	J	a; sin ж ^x с д е л а в подстановку x = л -t.
	J	1 + cos^ a;
	о	з
		з

а) Можно ли интеграл J 2x y/4 — x2 dx вычислить с помощью

подстановки х = 2 cos t?

б) Можно ли интеграл J у/х2 + 1 dx вычислить с помощью под-

	1
	3
становки х =	}
sin t
50	1

9.1.83.	Вычислить	j f(z) dz : j f(50z)dz.
	о	0

376

9.1.84.Вычисляя интеграл J

х= 7, получим J = - t

=	f	dx	3	с	помощью	подстановки
1	J 1 ~f" X				1
1	- 1				1
f	dt2 =		-	f	dx 2 =	-J. Отсюда:
J	1 +1			J	1 + X

- 1 - 1

J + J = 0, т. e. J = 0. Ответ неверен. В чем ошибка?

9.1.85.При вычислении интеграла J у/1 — х2 dx применим подстанов-

ку х = sin£. Новые пределы интегрирования находим из ра-

венств 0 = sin£ и 1 = sin£. Получаем ^ = 0 и ^ =	Можно
ли в качестве пределов для t взять числа t\ = 7г и	=

Интегрирование по частям

Если функции и = и(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные

на отрезке [а; Ь], то имеет место формула
ь		ь ь
J	=	— J vdu.	(1.6)

Формула (1.6) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

					е
9.1.86.	Вычислить интеграл J(х + l)lnxdx.
					1
	О	Применим формулу интегрирования по частям. Положим
	и	= In ж,	dv	= (х +	1 )dx. Тогда du			=		1-dx, v =	2
	и	= In ж,	dv	= (х +	1 )dx. Тогда du			=		1-dx, v =	Щг + х. По
				4	'					х	2
	формуле (1.6) имеем
		J(x + 1) \nxdx =			„2	.	„		е _ 2
		J(x + 1) \nxdx =			+ я)		— J			+ x^j — =
		i					1	i			Х
		е2	Л	/ж2	\\|е	е2	е2			1 п	е2

Яри помощи формулы интегрирования по частям вычислить интегралы:

	о			2
9.1.87.	J	xe~xdx.	9.1.88.	J ln(s2 + 4) dx.
	- i	з		о
	е	з		О
9.1.89. flj^r-dx-			9.1.90.	J	9х21п(ж + 2) dx.
	1			-1

377

9.1.91. Вычислить J arctg xdx.
О Положим и = arctg х, dv = dx. Тогда du =							^
Имеем
1		-		1
/ arctg xdx — x arctg x		-	/		~dx	=
У		lo	У 1 + x2
о			о
7Г	1 ,			9ч I1	7Г	1	Л
= 4 _	2			lo	= 4	~ 2

dx, v = x.

7Г — In 4

Вычислить интегралы:

9.1.92.

9.1.94.

l		l
J 4x arcsin xdx.	9.1.93.	J (arcsin x)2 dx.
о		о
flx arctg x ^

/ л/1 + х2

9.1.95. Найти значение J =		_ / V ssin 2x dx.
О	Интегрируем по частям: u = х2 , dv = sin2xdx, du = 2xdx,
v = — 1 cos2x.
J =	— - x 2 cos2x	• cos2x • 2xdx = 0 + J xcos2xdx.
	-	/оC - D -	о

Снова интегрируем по частям: и = х, dv = cos2xdx, du = dx, г; = 1 sin2x.

J= - xsin2x

2 о

Вычислить интегралы:

	7Г
	4
9.1.96.	J xcos2 xdx.
	о
	l
9.1.98.	f x2Sx dx.

/ 1	.	_ -	7Г 1		1	T _ 7Г _ 1
/ 1	sin2xdx — T - f " - * - cos2x					о ~ 8 4
JУ 2	Sir		8	2	2	о ~ 8 4
о
				2
		9.1.97.	J		x3 sinx dx.
		9.1.99.	J x cos T^ dx.
			0

378

Дополнительные задачи

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям:

1Г	__
2	0,2

9.1.100.	J[	sin	X
	£
9.1.102.	J4xtg2xdx.
	T
9.1.104.	f	* S ™ * d x .
	Iз	sm	x
9.1.106.	Vs
9.1.106.	J		2 dx.

9.1.101.	J	[ xebxdx.
	о
9.1.103.		j\n2xdx.
	i
	2	яз
9.1.105. JI		^/Tf	dx.
9.1.107.	J	sin y/x dx.

9.1.108.

e^dx.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить

интегралы:

9.1.109. Jexcosxdx.

9.1.110. J

у/а2

+ х2 dx, а > 0.

9.1.111.

(x + 2)

dx.

9.1.112.

f ™csinx

dx.

y/x + 1

2,7

sin 2 7x

- 2/, 7

—^— dx?

9.1.114.

Доказать, что

2C0SX dx = 2 J 2C08X dx.

-1

7Г

9.1.115.

Чему равен интеграл J sin2 x In ^ ^ ^ dx?

ТГ

9.1.116.

Показать, что

dx.

= [

^^ dx.

iу

arcsin x

379

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5838 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7380Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc