Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

О Положим F(x; у; z) = х2у — ху2 — x2/z + x2/z3 И- 6. Имеем F(-2; 1; 2) = 4 + 2 + 4 - 16 + 6 = 0. Кроме этого,

d F	о	2	-yz + yz	3	9 F	2	-2X1/	ft	з
—	= 2xy -у		-yz + yz	,	—	= x	-2X1/		-xz + xz*,
			9F		0	2

— = -xy + 3X2/Z .

Вычислим эти частные производные в данной точке:
dF(—2; 1; 2)	_	9 F ( - 2 ; 1 ; 2 ) =	a F ( - 2 ; l ; 2 ) = 22
дх	'	ду	dz
У с л о в и е ^ ( - 2 ; l ; 2 )		^ Q о б е с п е ч и в а е т с у щ е с т в о в а н и е е д и н .

ственной неявной функции z = z(x\y) такой, что z(—2; 1) = 2. При этом


		J	_	Эж	_ 2ху	-у2	-yz +		yz3
			Ф	О 771		ху -	Sxyz2
				If		ху -	Sxyz2
			, _	9F	_ х 2 —л2ху — XZ + XZя
						ху — 3xyz2			'
,								- 2ху — xz + xz3) dy
,		(2x1/ - 2/2		-	+	dx + (х2		- 2ху — xz + xz3) dy
dz(x\ у) =					ху — 3xyz 2					5
в	частности,		z'x{-2; 1)		= i,	z ^ " 2 ; 1 ) =			~ П '	=

11.4.31. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = z(x;y), определенной неявно уравнением х2 + 3у2 - 4z2 = 15 в точке Р0(2; - 3 ; 2).

ООбозначим

F(x;	г) = х2 + З?/2 - 4z2 -		15.
Имеем F(2; —3; 2) = 0,
F' = 2х,	FjJ = 62/,	^	= -8z,
^(2; - 3;2) = 4,	^ ( 2 ; - 3 ; 2) = - 1 8 ,	F^(2;-3; 2) = - 1 6 .

В качестве нормального вектора плоскости t можно брать N =

=( 2 ; - 9 ; - 8 ) . Тогда

(t): 2(х - 2) - 9(2/ + 3) - 8(z - 2) = 0,

	т. е.	2х - 9у - 8z - 15 = 0.
(п ) •	^	2 =	</_±3	=	z=2	•
W '	2		- 9		- 8 '	•

480

1 1 . 4 . 3 2 . На сфере х2 + у2 + z2 = 676 найти точки, где касательные

плоскости параллельны плоскости Зх + 4г/ + 12z = 15.

О Предполагал, что искомая точка имеет координаты Д)(яо;г/о;2о), имеем

*о + 0о+*о = 676.

(4.1)

Обозначим F(x;y;z) = х2 + г/^_+ г2 - 676 = 0. Тогда координаты нормального вектора N к плоскости t должны быть (2xo;2yo;2zo) = N, а сама касательная плоскость имеет уравнение

(t) : 2х0(х - хо) + 2у0(у - г/о) + 2z0{z - z0) = 0,

или хо{х — хо) + уо(у — г/о) + zo{z — zo) = 0. Поскольку эта плоскость параллельна данной плоскости, то их нормальные векторы коллинеарны:


(^о;г/о; Z0) II (3; 4; 12)		х0 = За, у0 = 4а, z0 = 12а.
Подставим эти равенства в (4.1): 9а2 + 16а2 + 144а2			= 676.
Отсюда а = ±2. Если а = 2, то Р0 (6;8;24), а если а = - 2 , то
Ро{—6; — 8; —24). Это и есть искомые точки.			•
1 1 . 4 . 3 3 . Найти	щ и dz для неявной функций z = z(x-,y),		опреде-

ленной уравнением z3 + Зж2г/ + xz + y2z2 + у — 2ж = 0.

ООбозначим F(x; г/; z) = z3 + 3х2у + xz + y2z2 + у - 2х. Способ 1, основанный на формулах теоремы 11.12. Найдем

частные производные функции F:

F'x

=6жг/ + z - 2 ,

= 3я2

+ 2г/г2 + 1,

Fj = 3z2 + х + 2y2z.

Значит,

бжг/ + г - 2

dz _

F'y _

Зх2 + 2yz2 + 1

F'z "

3z2

+ X + 22/V

dy"

F'z

3z2+x + 22/V

2-z-Qxy

+1 .

+ 2t/z2

dz = — az + — dy = —2

—о-аж

- —о

--~-dy.

дх

+ 2г/ z

3 z 2 + x + 2t/2z

Способ 2 заключается в том, что если уравнение определяет неявную функцию z = z(x;y), то имеем следующее тождество

z3(x; у) + 3х2у + xz(x\ у) + y2z2(x\ у) + у - 2ж = 0.

Дифференцируем это тождество сначала по ж, затем по у (для краткости в z(x;y) аргументы опускаем):

3z2z; + бху + z + xz; + 2zy2z; -2 = 0,

3z2z^ + Зх2 + xzj, + 2yz2 + 2y2zz'y + 1 = 0.

481

31 - 2361

Из первого тождества

6ху + z - 2

Z/r

~ ~~ - 2

, оя.2 *

3^ + я + 2гГ*

ИЗ второго

Зх

+ 2 yz2 + 1

3z2 + я; 4- 2г/2г'

Дифференциал составим по определению.

•

11.4.34.

Найти 4

если х + у + z = e~(x+y+z\

Действуем способом 2 (задача 11.4.33), дифференцируя это

равенство сначала по ж, затем по г/, считая, что г = z(x;y).

1 + z'x= е-(*+У+*Х-1 - 4 ) ,

1 + 4 =

- z'y).

Исходя из данного уравнения, в полученных равенствах заме-

ним е_ (х + ! / + г ) на х + у + z. Получаем

1 + г; = (х + у + z ) ( - l - 4 ) ,

1 + z'y = (х + у + z ) ( - l - z'y).

Отсюда г; =

~ 1

- 1 , z'y = - 1 , dz

= -dx-dy.

•

Найти

Щ и dz для неявных функций z = z(x;y), определяемых

следующими

уравнениями:

11.4.35.

z3-3xyz = R2.

11.4.36. я + г/ + * = ег.

„ 2

= 1.

11.4.37. *

+ 1С + *

а2

Ь2

сг

11.4.38.

К поверхности х2 + 2г/2 4- 3z2 = 21 провести касательные плос-

кости, параллельные плоскости х + 4г/ 4- 6z = 0.

11.4.39.

К эллипсоиду ^ 4- ^ 4- ^ = 1 провести касательные плоско-

сти, отсекающие на координатных плоскостях равные по вели-

чине отрезки.

11.4.40.

На поверхности х2 4- у2 — z2 = 2х найти точки, в которых каса-

тельные плоскости параллельны координатным плоскостям.

11.4.41.

Показать, что сфера х2 4- у2 +

(z -

Ь +с

)

^(Ь2 4- с2)

7 .2

конус ^т 4-

— \ = 0 касаются друг друга в точках (0; ±&; с).

Дополнительные задачи

Найти

(или dz) для данных функций z = z(x;y)

или

z = z(x\y\u)

если х =

x(t), у = г/(£),

и = u(t):

11.4.42.

z = arctg

х = e2t

+ 1, у = e2t

- 1.

482

11.4.43. z = x4 + у4 - 4я2г/2, я = e2t, г/ = e2'.

11.4.44.	z = xy + ^,			x = tgt,		t/ = lnt
11.4.45.	z =		x = arctg 2£,			у = arcsin
11.4.46.	z =	,	x	,	x = 5<2,		y = arccos2£.
	V x2		+1/2
11.4.47.	z = xsin(x + у),				x =	Jj-,	у = (t — l)2 .
11.4.48.				s = ln(f + 2),			y = tgt.
11.4.49.	2			x = cos21)		у	= sin2t.
	z = tg^ - ,

Доказать, что уравнение касательной плоскости t, проведенной к данной поверхности в данной точке MQ{XQ\ у О; ZO) имеет указанный вид:

11.4.50. 4 + Й + 4 = 1, («): a b c

+ ШУ + ч* = a b c

11.4.51. £		+			=	W ^ . + J f c - ^ l .
11.4.52. £		+			=		+	=
11.4.53.	^ +					(t):	+	= 0.
11.4.54.	z	= 4	+	ч	(<): ^ + z0		= Щх + Щ-у.
		р		ч			Р	я
11.4.55.					{t): z	+ zQ	= ^Ях	-

Установить, определяет ли уравнение F(x-, у) = 0 однозначную неявную функцию у = у(х) в окрестности данной точки MQ(XQ\УО):

11.4.56.	F{x; у)	=	х2у3	+ х3у2 - 3ху + у3,					М0( 1; 1).
11.4.57.	F(x; у)	=	х(х2	+ у2)	-	а(х2	-	у)2,	М0(0; 0).
11.4.58.	F(x; у)	=	х3-у3 + 7х2у			+ Ьху2		-	12, М0 ( 1; 1).
11.4.59.	F(x;у)	=	х3 + у3 -		Заху,		М0(а		Щ\аЩ).
11.4.60.	F(x-,y)	=	Зу2 + 2х3у		+ х4 -		4 у- Ъх2 - 5,			М 0 ( - 1 ; 1).
11.4.61.	F(x;у)	=	у3 + Зх2у + 2ху2				— 4х		— 6у,	М0{-1;1).

Из следующих уравнений выразить явно у как функцию от х:

11.4.62.	у4 — 6я2у2 + arctg 2х = 0.
11.4.63.	е~х+у3	- 20х	- 18а;3 -1	= 0.
11.4.64.	tg(x2	+ у4)	- Зх2 - 1 7 =	0.

11.4.65. х2 у4 - Зу3 - 6у2 + 3у + х2 = 0.

11.4.66. Уравнение х2 + 2ху2+Зу2 — Ъх —12ху+2х+6 = 0 имеет решение хо = 1,Уо = 2. Найти сколько однозначных неявных функций

483

у = у(х) определяет данное уравнение в окрестности хо = 1. Составить уравнения касательных к этим кривым в соответствующих точках. Найти также, сколько однозначных неявных функций х = х(у) определяет данное уравнение в окрестности точки г/о = 2.

11.4.67.

Найти

щ, если г = и2 lnv, где и =

v = х2 + у2.

11.4.68.

Найти dz, если z = f(u;v), где и =

v =

х2

11.4.69.

Найти

щ, если 2; = f(u] v), где и = \п(х2 - у2), v = ху2.

11.4.70.

Найти dz, если 2; = u2v - uv2,

где и = x sin у,

v = у cosx.

11.4.71.

Найти dz, если г = f(u; г>), где и = cos (ху), v = хъ — 7у.

11.4.72.

Найти dz, если z = f(u;

где и = sin

v = ^J

Выразить dz через х, у, z, dx и dy, если:

11.4.73.

11.4.74.

х = \/a(sini/ + cosi>),

у = y/a(cosи — sin v),

z = 1 + sin(i/ — v).

11.4.75. x = u + v, y = u — v, z = u2v2.

11.4.76.

x = i/cosi>,

2/ = t/sini>,

z = u2.

11.4.77.

x=vcosu — иcosiz-hsinii,

i/=i>sini/ — иsinu — cost/,

—1>)2.

11.4.78.

Показать, что касательные плоскости к поверхности у/х + ^/у +

+ \fz — у/а отсекают на осях координат отрезки, сумма кото-

рых постоянна.

Более сложные задачи

х+у

11.4.79.

Пусть F(x\y) =

f f(t) dt

(f(t)

—

непрерывна). Найти F'x, Fy,

dF.

11.4.80.

Пусть F[x,y)

( f{t)

—

непрерывна). Найти F'x, F'y.

/ f{t)dt

11.4.81.

Пусть F(x,y)

f f(t) dt

( f(t) —

непрерывна). Найти dF.

Найти полные дифференциалы функций:

11.4.82.

и = f(x2y3z4),

где х = arcsin

у = y/v2

— и2,

z = lnv.

11.4.83.

z = f(x,у), где х = иsini>,

= и2.

11.4.84.

z = f(x2 -у2,е*У).

11.4.85.

Показать, что функция z = arctg

где х = и + v, у = и — v,

удовлетворяет соотношению ^ + ^ =

^ ~

•

484

11.4.86.	Показать, что функция z — f(x2 + г/2), где / — дифференци-
	руемая функция, удовлетворяет соотношению							- Хщ = 0.
11.4.87.	Пусть и = sinx + F(siny — sinx). Показать, что какова бы ни
	была дифференцируемая функция F, выполняется равенство
	щ cos х + ^ cos у = cos х cos у.
11.4.88.	Пусть z =	,,	$—тт. Показать, что		хдх	+	уду	= -4- незави-
	J	f(x2	-у2)					у2
	симо от того, какова дифференцируемая функция /.
11.4.89.	Показать, что функция z = у/\ху\ непрерывна в точке (0;0),
	имеет в этой точке частные производные /^(0;0), /^(0;0), но
	сама функция не дифференцируема в точке (0;0). Выяснить
	поведение z'x и z'y в окрестности точки (0;0).
11.4.90.	Показать, что функция f(x; у) =			V. х2 + у2			, если х = 0, у = 0 и
	/(0; 0) = 0 в окрестности (0; 0) непрерывна и имеет ограничен-
	ные частные производные fx{x\ у), f'y{x\ у), однако эта функция
	недифференцируема в точке (0;0).
11.4.91.	Показать,	что функция /(ж; у)		=	(х2 + у2) sin —^—j, если
							х	+у
	х2 + у2 ф 0 и /(0; 0) = 0, имеет в окрестности точки (0; 0) част-

ные производные fx{x\y) и fy{x\y), которые разрывны в точке (0; 0) и неограничены в любой окрестности этой точки. Тем не менее, показать, что эта функция дифференцируема в точке (0;0).

§5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Определение частных производных второго порядка

Если задана функция z = f(x;y) и вычислены ее частные производные jfaix:>y) и то они, вообще говоря, могут быть также

дифференцируемыми функциями двух независимых переменных х и у. Приняты обозначения:

Ш	=	— втор&я частная производная по х;

ду\дх)	=	& *	и	= Jr-zt	смешанные частные произ-
ду\дх)		дхду	дх\ду)	дудх
зые второго порядка;
JL	=	— вторая частная производная по у.

485

Теорема 11.13 (Шварца). Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они равны между собой. Другими словами, результат смешанного дифференцирования не зависит от порядка.

Дифференциал второго порядка

Выражение
d2z	d2z	d2z	dy2
d2z = d(dz) = — +	2^—dxdy +	dy	dy2
ox	oxoy	dy

называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка для функции z.

Производные и дифференциалы высших порядков

По аналогии можно определить частные и смешанные производные высших порядков, часть которых, согласно теореме Шварца, равны между собой.

Таким образом, имеем три различных производных второго порядка, четыре различных производных третьего порядка

d3z	d3z	d3z	d3z
дх3'	дх2ду	дхду29	ду3

и так далее.

Число разных частных производных порядка п от функции двух переменных равно п + 1:

dnz	dnz	dnz	dnz	dnz	dnz
dxn1	дхп~1ду	дхп-2ду2)	"' дх2дуп~2'	дхду71-1'	дуп'

Дифференциалы высших порядков определяются по аналогии:

d3z = d(d2z) =

dx3 + З ^ ^ х 2 dy +

dxdV2 + JfiSdV3-

Выражение для dnz формально можно записать в виде

напоминающем формулу бинома Ньютона.

11.5.1. Найти все частные производные первого, второго и третьего

порядка для функции z = х3 — х2 у — у3.

СМ)	g ^ - ^ g w - V .

486

2)		^		=	^(3х2-2ху)			=	6х-2у,
				=	д	,„ 2	„	ч	= -2х;
		дхду		=	—(За;		-	2ху)	= -2х;
		дхду			ду
d2z	д .	2	, 2.			0	/		d2z	a2z \
a =	д~*{~х	~Zy)		=	~2х		^ В и д а м ' ч т о ШаЦ			= дфхР
		д 2 *			9 ,	2	о	2ч	й

дх ду	ду
d3z	д
дхду2	= — (-2яг) = 0;
дхду2	ду

з = «Г (~6») = "6-

ду3 ~ ду

Очевидно, все последующие частные производные четвертого порядка равны нулю

11.5.2. Для функции * = е - . ' найти: 0,

О1) Дифференцируем по х:

ж?/

9 Ж1У

12exj/

d z

= ^

;

XV3

;

д Z

5 Z

= 1 L _

^=У°е*У

;

2)Находим другие смешанные производные:

3)Далее,

d3z		°	д (d2z	\	-
дх2ду	-	°	ду\дх2	\	-
дх2ду			ду\дх2	у-
	=	-^-(у6еху3)		=	6у5еху3 + Зу8хеху3 = Зу5еху3(2 + г,3*).
		оу

487

11.5.3.

11.5.4.

11.5.5.

Окончательно,
d4z	_ д2		sd2z\ _
дх2ду2 ~		ду2	\дх2)~
=	З[5у4еху3	(2	+ у3х) + Зху7еху3(2 + г/3х) + Зг/7хеЖ2/3]	=
			= Зу4еху3[10 + 14 ху3 + Зх2г/6].
Нужные частные производные подчеркнуты.				4
Найти cPz, если z = arctg

О1) Находим первый дифференциал:

dz ^

ndx + -9

~ ш/.

az = —ах 4- — Ф = —о

<9х

<9г/

х2

+ у2

х2

+ у

2) Далее отдельно считаем вторые частные производные:

г/

2хг/

—

(

у—)

= —

дх2

+ у2)

(х2 + у2)2'

дх\

Х2

а2г

0 /

\ =

у2-х2

дхду

ду\

Х2+У2)

(х2+у2)2'

d2z

(

2ху

» -

<>,1

( х 2

ду\х2+у2)

( x 2

+ J / 2 ) 2

и, наконец, составляем второй дифференциал

2[xt/ dx2 + (t/2

—

x2)dx dy - ху dy2]

•

D Z —

2 .

2\2

+УГ

Найти d2z, если z

. Доказать, что z"2 + 2z"

+ z"2

= —2—.

x — y

x—y

ОНаходим cPz:

.»

У2

•

(х-уГ

(«-»)"

zx2 ~~ /

2j/2

„

2xy

\3>

,, _

2x2

\3 '

Zxv —

(x-j,)3'

- yf'

yf'

j 2 1

2(j/

— 2xy dxdy + x

dy )

\x —y)y) ~

(x-yf

Далее,

,« _ 2 y 4 - 4 x y + 2x

2 _ 2 ( х - у ) 2 _

zx>+2zxy + zy2-

{ x

_ y

Найти d3z, если г =

х + j/

488

Q Имеем последовательно (ниже мы будем использовать формулы: = ~^2"» ( / 0 = к Р о м е т о г о ' некоторые действия мы опускаем ввиду того, что подобные встречались неоднократно):

и z' =		у2 Л. z' =		s2

о\	_		2g/2	„ _ _2ху, ,, _	2х2 .

2(у2

dx2

2ху dx dy

х2

dy2)

^(ydx-xdy)2

(x + y)3

(x+y)3

4) d32 =

z^dz3

+ Zz^ydx2dy + 3 z ^ d x d y 2 + z'^dy3.

-4

[y2dx3

(2xy

y2)dx2dy-

(2xy

- x2)dxdy2

+ x2dy3].

•

11.5.6. Найти dPz,

если z = ln(x2

+ y2).

О При решении этого примера применим другой прием, а

именно

исходим

из определения:

d?z = d(dz).

Имеем

dz =

_ 2

х dx + у dy

последующих дифференцированиях при-

-Ь у

нимаем dx и dy постоянными.

д (xdx + ydy\^

(xdx + ydy\

dZ = 2d~x \

х2

+у2

)dX +

(

х2+у2

ГУ =

_ 0 (X2 +

- 2х(д: dx + у dy) ^

(х2+у2)2

d X +

{х2

+ г/2)

dy - 2у(х dx + y dy)

+ 2

2 ,

2\2

<*У

(х

у)

(у2

x2)dx2

4ху dx dy

+ (я2 - y2)dy2

(х2+у2) , 2 \ 2

Для данных функций найти требуемую частную производную или дифференциал:

11.5.7.	z = sin х sin у, d2z.
11.5.8.	z = 4х3 + 3х2у + 3ху2 - у3,
11.5.9.	г = ху + sin(:r -I- у),	q2
		ох

489

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 4849 / 5849 50 51 52 53 54 55 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc