Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 5855 56 57 58 > Следующая >>>

хп < хп+1, Vn. Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а следовательно, сходится. Теперь предположив, что п—юоlim хп = а, взять предел от обеих частей равенства хп = у/6 + ггп. 3) 9.

6.3.46. 1) 1.	Указание. Воспользоваться равенством						/	«ч	= —		тт-
'					^		п(п + 1)		п		п + 1
2) ± Указание. Учесть, что					^ + 2) =	- 5	^ )	. 6.3.47.		1)	Нет,
например, хп	=	n	уп	= п. 2) Нет, например, хп =			!, */п = п2. 3)			Нет,
		n					ю
например, rrn	=		^	, уп = гс. 4) Да. 5) Нет, например, уп = п, zn						= 3 — п.
6.3.48. 1) Например, rrn = 1 + i, t/n = 1. 2) Например, яп =										уп	=
6.3.49. 1) е. Указание, (l +					= (l +	+		2)	±.
У к а з а н и е - ( т т ^ У =				{ i T i )	= ( T T i f -

§ 4. Предел функции

6.4.2. - 1 . 6.4.3. 4. 6.4.4. 6.4.5. 4. 6.4.8. Указание. Поскольку

число) имеем \х - х0\ = \х - 3| < S = | \f(x) - А\ < е. 6.4.13. 1) S = i

вообще подходит любое положительное число, меньшее или равное

2) 6 = 0,005. 6.4.15. 15. 6.4.16. 3. 6.4.17. - 1 . 6.4.18. 0. 6.4.19. 0,4.

6.4.20.	0,5.	6.4.21.	6.4.22.	6.4.23.	6.4.24.	6.4.25. 0,05.
6.4.26.	1,6.	6.4.27.	6.4.28.	2. 6.4.29.	Указание. Домножить

числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее ( у/8 — х — 2) до разности кубов. 6.4.30. -12. 6.4.31. - i . 6.4.32. - 3 . 6.4.33. 0. 6.4.34. оо.

6.4.35. 0. 6.4.36. 0. 6.4.38. 2,25. 6.4.39. 0,4. Указание. Учесть, что

tg2x =	sin%E	и lim cos2rr = 1. 6.4.40. 0,5. Указание. Воспользоваться
°	cos2rr	х-+0

тождеством 1 — cos х = 2 sin2 ^ или домножить числитель и знаменатель

дроби на 1 + cosx. 6.4.41. 1. 6.4.42. 2. 6.4.43. —8. Указание. Использовать тождество cos5rr — cos3x = — 2 sin 4я sin я. 6.4.44. —6. 6.4.45. —0,5.

6.4.48. е1'5. 6.4.49. е - 9 . 6.4.50. е. 6.4.51. е2. 6.4.52. е.

Указание. Представить исходный предел в виде произведения пределов

lim	• lim	f ^ - ^ t ) 2	. 6.4.53. е - 1 . 6.4.54. е - 1 . Указание. Сделать
х —у	оо\Х — О/ х —у оо	\ х — О /

замену у = sin х. 6.4.55. 3. Указание. Воспользоваться формулой для

540

разности логарифмов, после чего сделать замену у — 1. 6.4.57. /(2 — 0) = 1,

/(2 + 0) = 2. 6.4.58. а) /(1 - 0) = -2, /(1 + 0) = ±

б) /(11 - 0) = /(11 + 0) =	6.4.60.	6.4.61. 2. 6.4.62. - ± . 6.4.63. log3 7.
6.4.64. 3,5. 6.4.65. 0,5. Указание. Представить данный предел в виде
произведения lim ± • lim ^ g f o " 2 ). 6.4.66. 6. 6.4.67.			4	6.4.68. 3.
х—>2 Ж х—>2	Ж л

6.4.69. 243а5. 6.4.70. Указание. Воспользоваться неравенством |sin:r| < |ж|.

6.4.74. Указание. Рассмотреть последовательности {х'п} = { — } и

I 7Г71 J

{х^} = ^ i r " ^ — 6 . 4 . 7 5 . Указание. Рассмотреть две последовательности,

сходящиеся к ±: {х'п} = |± + ±} и |± 4-

6.4.76.

6.4.77. 3. 6.4.78. 1.

6.4.79. -0,75. 6.4.80. 2^. 6.4.81. 0. 6.4.82. 0,25. Указание. Привести дроби к


общему знаменателю. 6.4.83. 0,5. 6.4.84.					6.4.85. Зх2. 6.4.86. 48.
6.4.87. 1,5. 6.4.88.				6.4.89. 1,5. 6.4.90.	1. 6.4.91. 4. Указание. Сделать
замену х = \/у, т. е. у = ж4, после чего исходный предел примет вид
lim	х	~ }	. 6.4.92. — f. 6.4.93. оо. 6.4.94. 0.		Указание. Поделить каждый из
х-+1		х — 1		d

множителей в числителе и знаменателе на х2. 6.4.95. +оо. 6.4.96. 0. 6.4.97. - ^г . 6.4.98. 3. 6.4.99. -1,5. 6.4.100. 0,5. 6.4.101. 0.

Указание. Поделить числитель и знаменатель дроби на h и воспользоваться первым замечательным пределом. 6.4.102. i. 6.4.103. 2. Указание. Учесть,

что 1 - cos4х = 2sin2 2х, tg2x = . 6.4.104. 1,75. Указание. Поделить

числитель и знаменатель дроби на х. 6.4.105. 2. Указание. Сделать замену

у = о 6.4.106. log4 7. Указание. Поделить числитель и знаменатель дроби на

х, затем воспользоваться результатом задачи 6.4.46. 6.4.107. е. 6.4.108. е4. 6.4.109. 3. Указание. Поделить числитель и знаменатель дроби на х. 6.4.110. е- 4 . 6.4.111. 0,5. 6.4.112. 1. 6.4.113. е- 2 . Указание. Учесть, что cos 2х = 1 — 2 sin2 X. 6.4.114. 2. 6.4.115. /(О - 0) = 0, /(0 + 0) = +оо. 6.4.116. /(1 - 0) = 1, /(1 + 0) = +оо. 6.4.117. 4) Решение. Так как

2 In cos х = In cos2 x = ln(l — sin2 ж), a ln(l + x) ~ x, sin x ~ x, x —> 0, то

In cos x = i	ln(l - sin2 x)	j sin2	i x 2 . 6.4.118. i. 6.4.119. In2.
6.4.120. 2"	1'5. 6.4.121. 2. 6.4.122.		6.4.123. 0,5. 6.4.124. 1) Нет, так как в

противном случае функция д(х) = [f(x) + д(х)] — f(x) также имела бы предел в точке хо, как разность двух имеющих предел в этой точке. 2) Нет, например, если f(x) = sign ж, д(х) = — sign х, хо = 0. 6.4.125. Предположить противное. Далее учесть, что VM > 0 можно найти такие точки х\ ихг, что

541

х\ > М и Х2 > М, и \f(xi) — f(x2)| = 2. 6.4.126. Например, функции у = [х] и

у = {ж}. 6.4.127. 1) Решение. Пусть ^(х) = а(х) 4- /3(х), где				и /3(х) — две
данные бесконечно малые при х —> хо функции. Тогда для любой
последовательности {яп }, сходящейся к жо, имеем
lim а(хп) =	lim /3(хп) = 0. Но отсюда получим, что
71—• ОО	71—> ОО
lim у(хп) =	lim [а(хп) + Р(хп)\ =	lim а(хп ) 4-	lim /3(хп) = 0. По первому
тг—>оо	тг—юо	тг—>оо	тг—>оо

определению предела функции это и означает, что lim 7(3;) = 0, т. е. 7(ж) — х—>хо

бесконечно малая при х —> xq. 6.4.128. 1) Например, частное бесконечно малых при х —У 0 функций х и х2 является бесконечно большой функцией. 2) Например, если а(х) = я, а /3(х) = 1 — ж, то а(х) 4- /3(х) = 1. 3) Например,

если f(x) = i, а д(х) =

(бесконечно большие при х —> 0 функции), то

f(x) + д(х) = 0. 6.4.129. Например,

f(x) = (х - 1)(х - 2)(х - 3). 6.4.130. 0.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 6.4.127 2). 6.4.131.

Указание. Применить формулу хп — 1 = (х — 1)(жп_1 4- хп~2 Н

4- х 4-1).

6.4.132. е. Указание. Поскольку cosx = 1 — 2sin2

то

lim (cos ж)" ^

= lim (l - 2 sin2

x-+0V

х->0\

4sin2 х

/sin f \2

6.4.133. 3.

Указание. Использовать цепочку равенств

e*2 ~cos2x

( е - 2 - ! ) + ( ! - c o s 2 х )

+ 2 s i ^ x

6 . 4 Л 3 4 > 0 6

Указание. Сделать замену х = t15. Далее см. указание к задаче 6.4.130.

6.4.135. 0,2.

Указание. Сделать замену у =

у/1 4- х. 6.4.136. — g. Решение.

Представив числитель дроби следующим образом:

%/(! 4- х)2 —

у/(1 4- я)3, домножим числитель и знаменатель на выражение

(V(i+*)10+ V(i+*)n+ %/(i+x)i2+ V(i+*)13+ VU+*)14+ V(1+^)15)-

Тогда

lim

^ ~ V ^

= lim

W + 4 *

W ^

x-+0

x—>0

= l i m

( l + « )

, i m ( x ,

1} = _ 1

a - ( l + «)'

l i m

X • 6

x—>0

Ь x-+0

£W+xy

1= 1 0

§5. Непрерывность функции

Ах	-0,5	- о д	-0,01	0,5	0,1	0,01
Ау	-3,5	-2,1	-2,01	-1,5	-1,9	-1,99

На основании таблицы можно сделать предположение о разрывности функции f(x) в точке хо = —1-

542

б)	Ах	-Р,5	- о д	-0,01	0,5	0,1	0,01
	Ау	1,25	0,21	0,0201	1,25	0,21	0,0201

На основании этой таблицы можно сделать предположение о непрерывности функции f(x) в точке хо = — 1.

6.5.3. а)	Ах	-0,6	-0,3	-0,1	-0,01	0,6	0,3	0,1	0,01
	Ау	0,6	0,3	0,1	0,01	0,6	0,3	0,1	0,01

На основании таблицы можно сделать предположение о непрерывности функции f(x) в точке Хо = 1,5.

б)	Ах	-0,6	-0,3	-0,1	-0,01	0,6	0,3	0,1	0,01
	Ау	-1,67	-3,33	-10	-100	1,2	0,6	0,2	0,02

Исходя из таблицы можно сделать вывод о разрывности данной функции в точке хо = 1,5; при этом функция непрерывна справа в этой точке.

6.5.5. в) Придав аргументу в точке хо приращение Ах, получим

Ау = (хо + Ах)3 - Xq = Xq 4- Зх'оАх + Зх0(Ах)2 + (Ах)3 - я? =

= Ax(3xq 4- ЗхоАх + (Ах)2 ), откуда		lim Ау = 0, т. е. функция у = х3
v	7	Дх—>0

непрерывна в точке хо• 6.5.12. а) Функция терпит разрыв 1-го рода в точке х = — 2 (скачок функции равен —2) и имеет устранимый разрыв в точке х = 2. В остальных точках функция непрерывна. График функции изображен на рисунке 131 а); б) Функция имеет устранимый разрыв в точке х = 1 и терпит разрыв 1-го рода в точке х = 2 (скачок функции равен 4). В остальных точках функция непрерывна. График функции изображен на

рисунке 131 б). 6.5.13. а) х = — 2 — точка разрыва 2-го рода, х = 1 — точка

У
6		/1
		1
		1
		1
_	1	1
_	1	1
	1	1
/О	1	2 X

Рис. 131

устранимого разрыва; х = 4 — точка разрыва 1-го рода (скачка); в остальных точках функция непрерывна. б ) х = 0иж = 3 — точки разрыва 2-го рода, х = 5 — точка разрыва 1-го рода (скачка); в остальных точках функция непрерывна. 6.5.15. а) жо = —4 — точка устранимого разрыва; б) хо = 0 — точка устранимого разрыва. 6.5.16. а) Функция имеет разрыв 1-го рода в точке хо; б) хо — точка разрыва 2-го рода. 6.5.20. а) 1; б) в) 2; г) In 2.

6.5.22. 1) Функция непрерывна на отрезке [4; 5], имеет одну точку разрыва второго рода х = 1 на отрезке [0; 2] и две точки разрыва второго рода х = ±1 на отрезке [—3; 1]; 2) На отрезке [4; 5] функция непрерывна, на отрезке [0; 2] имеет одну точку разрыва второго рода х = 1, а на отрезке [—3; 1] — две точки разрыва второго рода х\ = —3, х2 = 1. В остальных точках последних

543

двух отрезков функция непрерывна. 3) Не определена ни на одном отрезке. 4) Функция не определена на отрезках [0; 2] и [—3; 1]. В случае отрезка [—4; 5] функция определена лишь в его концевой точке х = 5 и поэтому не является непрерывной ни в одной его точке. 6.5.24. Функция непрерывна при всех х ф 0; в точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода.

6.5.25. а)	Указание. А у = f(x + Ах) — f(x) = sin(:r 4- Arc) — sinx =
= 2sin	• cos(x 4- ^ p ) • Далее учесть, что функция sin	— бесконечно

малая при Ах —> 0, а функция cos^r 4- ^ р ) — ограниченная.

6.5.26. Указание. Пусть, например, хо — произвольное рациональное число.

Тогда последовательность {хп} = {яо 4-		сходится к точке хо. Однако
lim f(xn) =	lim 0 = 0^ f(xо) = 1, т.е. в точке хо не выполнены условия
71—> ОО	71—> ОО
непрерывности. Аналогично рассматривается случай, когда хо —

иррациональное. 6.5.27. a) f(x) = sign х, д(х) = — sign я, хо = 0;

б) f(x) = D(x) (функция Дирихле, см. задачу 6.1.125), д(х) = 1 — D(x). Тогда f(x) • д{х) = 0, Ух е R. 6.5.28. a) f(x) = D(x) (см. задачу 6.1.125),

д(х) = — D(x); б) f(x) = D(x), д(х) = 1 — D(x). 6.5.29. Указание. Рассмотреть

последовательности {Vn} = и {х п} = ^ * +2 п }' сх °Дяп *иеся к

точке 0. 6.5.30. Указание. Учесть, что функция х — бесконечно малая в

окрестности точки 0, а функция sin А — ограниченная. 6.5.32. Например,
				(I	при х = 0,
f(x) = -	1	на интервале (0; 1). 6.5.33. Например,		[0,
				f(x) = я 1	п . ^ л
	х			I —,	при U Ч X ^ I.
6.5.34. Например, функция f(x)			определеннаеееаяя на объединении интервалов
(1; 2) и (3; 5), причем f(x) = {			"Р И Х G	6.5.35. Например,
		Л	при х £ (3; 5).

•f t

f[x) = i	^ ^ Х <	6.5.36. а) Например, f(x) = х на интервале
п	при 1 ^ х ^ 2.
- f t

(0; 1). б) Например, f(x) = sinx на интервале (0;27г). в) Например, f(x) = {ж} ({я} = 1 — [х] — дробная часть числа х) на интервале (0; 2).

1,	при х = 0,
я,	при 0 < х < 1,
{0,	при х = 1.

6.5.39. Указание. Учесть, что		lim		f(x) = 4-оо,	lim f(x) = —оо (если
		х —>+оо			х—>+оо
ао > 0) или	lim f(x) = —оо,	lim	f(x) = 4-оо (если ао < 0). Поэтому
	х —>+оо	х—>+оо
найдется отрезок [а; 6], на концах которого f(x)					принимает значения разных
знаков. Далее применить теорему Больцано-Коши.

6.5.40. Указание. Представить \ f(x)\ в виде произведения функций f(x) и

sign f(x). 6.5.41. Например, функция f(x) = D(x) -	где D(x) — функция
Дирихле (см. задачу 6.1.125).

544

Глава 7. Производная и ее применение

§ 1. Производная функции

7.1.4. Указание. Учесть,

что

= ^ х

—

= (Ух+Ах-у/х){\/х+Ах+у/х) _

Ах

Ax-(Vx+Ax+y/x)

Ax-(Vx+Ax + y/x)

Ах-(у/х+Ах+у/х)'

7.1.7. Зх2

- 0,4х + 2. 7.1.8.

2ах + 6. 7.1.9. 42я6

+ 12х2

- ±

7.1.10. —}

5 W '

7.1.11. -V + Л ~ Щ-

7.1.12.

Зж Va^

+ л/7- 7.1.13. 1,25 V®.

х2

х3

7.1.14. 5-2 х

In 2

К-.

7.1.15. — | — . 7.1.16.

1 + х

+7ех.

4 sin

sin

2х

7.1.17. х2 ^3 log2 х + "[^2) •

7.1.18. 4х3 + 2х. 7.1.19.

2 б * у

7.1.20.

2у/У

+ - 4 L L L . 7.1.21.

(21" +1)2

7.1.22.

5 W

- z 2

л / 1 - у

V l

2In6 • log6

^ ~ 1

7 Л . 23 . 0.

7Л.24. 7.

7.1.25. 0.

7.1.26. i

7.1.28. -5sin5x.

In 6

7.1.29. 31n7 •

73 x

_ 1 . 7.1.30. -3cos

2 xsin x. 7.1.31. 100(a? + l)99.

A— • 7.1.35. ctgz.

7.1.32. —7—1 5—. 7.1.33. — y J

7.1.34.

2^/tgxcos

2yjx — x2

xIn

p c t sx

2arctg-

§ cos

7.1.36. ——2—. 7.1.37. —-r-Z

. 7.1.38. —

1 -h x

7.1.39. 4,5sin8

sin

y/l-e2x

7.1.40. -37=2

. 7.1.41.

+ x)

. 7.1.42. sec2z.

УЪх-1

^2{x

x2){l

Указание. Учесть, что In

/ }

ffi

= ^ In f \

^ж

^ =

- tgx

VI - t g

х )

= I[ln(l + tgx) - ln(l - tg®)]. 7.1.43.

( 1 2 s i n — cosЗж)

LCOS OX

7.1.44.

, 1

- 1

7.1.45. —ТГ7-- 7.1.46. z2(3sin(cos:r) - ж sin x cos (cos ж)).

y/x2

cos6

7.1.47.

(4x* In 3 + я2(3 — 20 In 3) — 5). 7.1.48. 4 c

^ x

2\J x3 — Ъх

lnt)

7.1.49.

- sin

] ~

7.1.50. 7

—

- ^ 7 — —

y/x(l + V®)

l + V®

(x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

Указание. Воспользоваться формулами для логарифма произведения,

частного и степени. 7.1.51.

. 2х ~ 2—

7.1.52. — isin2:r.

(я2 - 4я + 5)

Указание. Применить тождество sin4 ^ + cos4 ^ = 1 — ^ sin2 я.

7.1.53. 5esh2 5х sh Юж. Указание. Учесть, что sh2z = 2shxcha;.

7.1.54.	(ж - е )	> 7.1.55. - / — £ — . 7.1.56.	^ — • 7.1.57. - cos2z .
	(ж - е )	\J 1 — х	х2 + 1

545

35-2361

7.1.59.

xx (l + lnx).

7.1.60.

2xlnx-1)nx. 7.1.61.

] J ^

„

Зх2

4- 5x4- 3

1 f i 2

(х3 - 2) Ух - 1

/ Зх2

7.1.63.

(tgx)c o s x -

( - J ^

- s i n x

lntgx). 7.1.64.

" f f i * ' * *

л + 6tgg + -M

7 1 66

2 x s i n ( х 1 + У2) + УеХУ

7 1 6 7

7.1.68.

7 . 1 . 69 . - ycosx + siny

, =

х(2х2

- у2)

х(1 — 2у )

х cos у + sinx

у(2у

+ a f )

7.1.71. у' =

2Ц-, г/(0) = - i . 7.1.73.

\ .

7.1.74.

s i n * ,, или ctg

х-\_ ef ' »v

ЗГ + 1

1 - cos £'

ь 2

7.1.75.

cosf + s b r 7 Л - 7 6 '

7 Л - 7 7 - 0,8ctht. 7.1.79. у = х + 1 и у = -х + 1.

7.1.80. у =

3\/^-7г и

у = - 2 s + 4 7 r + 6 3 V ^

. 7.1.81. а) х0

= 0,5; б) х0 = 1.

7.1.82. arctg3. 7.1.84. 1

. 7.1.85. 2sinx + xcosx. 7.1.86. ^ILZJ^LEI.

8 S I P

3 A :

cos

Зх

7.1.87. - X . 7.1.88. 32e2x. 7.1.89.

(1 4- я)

7.1.90. —2

7ЛМ- "i-7Л-96-/Ч1) = 5- 7Л-97> m =

7Л-98-

" P+

7.1.99. 60x5 + \

5^x4

7.1.100.

3cosx. 7.1.101. — Ц т + 7ex.

sin

1 + x 2

т2

7.1.102. 19х

In 19

t=J

7.1.103. 5x4 - 1. 7.1.104.

/Н

.'1

л/l - x

2 '

y / l - a 2

Vcfi'

1 f*

7.1.105. ^

^2 • 7.1.106. — j ^ j Q - Указание. Воспользоваться тождеством

3sin2 x + 3cos2 x = 3. 7.1.107.

+ 4х

• 1п4. Указание. Учесть, что

7.1.109. Зх2

+ 12х 4- 11.

7.1.110. 2х(3х4 - 18х2

+ 23).

7.1.111. -Д4

+ 2х3

- 6 х 2

+ 8 х - 4 . 7.1.112. -

}

2 х \ , 2 . 7.1.113.

11 f

~ 2 4- 1.

(х3

+ 4)

(х4

4- 2)

2^/х

32х

In —

7.1.114.

Указание. Учесть, что

( ( f ) " ) ' =

= Ш

•1п

32х

2 In —

з = ^ •ln(J J =

;

7ЛЛ15- °'25' 7ЛЛ16, 4'5'

- т

. 9 _

з 2 ! . ,

/з^ 2

7.1.117. 0. 7.1.118. 2е(41п2 — 1). 7.1.119. 2х • 10

х2+1 • In 10. 7.1.120. — i — .

cos 4х

7.1.121. 2 c h 3 f shf . 7.1.122.

15x*

1 . 7.1.123. -2sin2x.

Ъх — x

546

Указание. Воспользоваться

тождеством cos4 — sin4 х = cos 2х.

7.1.124.

~ 7 х — 7 . 1 . 1 2 5 .

7.1.126. -6cos6z.

у/4

- 7х2

sin 10я • у/(1 + ctg 10я)4

Указание. Воспользоваться тождеством (sin3x — cos3x)2 = 1 —

sin6a\

7.1.127. 12 In3 sin 3t • ctg 3t. 7.1.128. —у=Л

. 7.1.129.

—.

2yh(l

4- h)

y / l - x 2

arcsin2 я

7.1.130.

cos3 *-sin3 *

7 Л Л 3 1 .

x - \ n

x - l

7 1 1 S 2

4 ch(ln tg 2x)

(cos x 4- sin X)

( ® - l )

s m 4 x

7.1.133. arcsin x. 7.1.134. 21n3 • 3sin3 2 x + 4 s i n 2 x • cos2z • (3sin2 2z + 4).

_ ,

x + 2

7.1.135. 0.

Указание. Воспользоваться равенством е

*-3

= х

7.1.136.

~х

) '

, т.е.

. 7.1.137. 2 ^ ( l +

^ l n 2 Y

у/х2(\

- х 2

\x\yjl-x2

к(1/ logs ®)

2ех(ех

7 . 1 . 1 3 8 . - ь

. 7.1.139. --Л-Г. 7.1.140.

ж •

logg х

е 4- 1

7.1.141. —7—^

7.1.142. (1 - tg3x)2. 7.1.143. cosecx.

V(1 - х4)3

7.1.144. (-у®—)2 . 7.1.145.

х2у/х2

- 1

аг + 1

. 7.1.146.

" 5ж

\х2 + 11

л/3 -

2х - х2

7.1.147.

x*tX~J

-7.1.148.

*arct *x

•

f J a ^ +

H£tfi£V

(я2 4- 2)

\14- ж

7.1.149. (*2 + 1 ) ^ •

J ^

) .

7.1.150.

л/5ж - 1

(1 +

4 , - , л Н Ч т ) .

x 4- 4

2(5я — 1) /

711r;i

x3 • Vx^lO

6x \

7.1.152.

.x5 -VS4T^fln3 + ^ + jK + M-

7.1.153. 0. 7.1.154.

ух

2(x*+x)J

7.1.155.

2 z - 3 y

7.1.156.

x(ylnxуУ - x 2 +

7.1.157.

y 2

1 - x - x 2

7.1.158. — x^x -I- у In ^x)' Указание• Предварительно прологарифмировать обе


части равенства. 7.1.159. у' =		у'(-у/2) = 1. 7.1.160.	7.1.161. - tg*.
7.1.162. -1. 7.1.163. t2 + 1. 7.1.164. у = 12я + 16 и у =			- 81.
7.1.165. у =	4- ^ и у = л/Зя- 7.1.166. у = 2жиу = -1д;в точке

Mi(0;0); у = -2х 4-4 и у = Ад: - 1 в точке М2(2;0). 7.1.167. у = Зх - 4 и у = 4- 9^. 7.1.168. а) ж0 = 2; б) х0 = 1,5. 7.1.169. arctg

7.1.170. arctg 2у/2. 7.1.171. К-. 7.1.172. 2cos2z. 7.1.173. 5х • In2 5.

COS X

7.1.174. . 32 ч3. 7.1.175. ех(х 4- 3). 7.1.176. cos ip.

(4х — 1)

547

7.1.177. (	х	— 7 . 1 . 1 7 8 .	— г - 1 — т - .		7.1.179. Щ.		ш
	х		3 sin t cos £		9e
7.1.182. Указание. Показать, что			lim	±	lim	в точке хо = 0.
		Д х - > 0 + 0 А Х			Д х - > 0 - 0 А Х

7.1.183. Например, у = \х - 1| + |х - 2| или у = |х2 - Зх + 2|. 7.1.184. Судя по графику, в точках xi, хг,..., х$ функция не имеет производной, хотя и определена. В остальных точках функция имеет производную. Функция непрерывна во всех точках, кроме точек ха И х$. 7.1.188. Нет; например, если f(x) = х, д(х) = |х|, Хо = 0.

§ 2. Дифференциал

7.2.2. dy = л

г • dx. 7.2.3. dy =

Г(3х - 1) • tgx +

cos

]dx.

2у/х(1+х)

7.2.4. dy = x(2 In x + 1) dx. 7.2.5. dy =

V ^ t 1 dx.

7.2.7. Ay = (Ъх2

4- 2) Ax 4- (За; 4- Ax) (Ax)2, Ay = 0,050301 в точке x0 = 1 и при

Arc = 0,01; dy = (Зх2 4- 2) dx, dy = 0,05 в точке хо = 1 и при Ах = 0,01.

7.2.8. Ау = (2х 4 1)Ах 4- (Ах)2, Ау = 0,75 в точке хо = 0и при Ах = 0,5;

dy = (2х 4-1) dx, dy = 0,5 в точке хо

= 0и при Ах = 0,5. 7.2.10. 2,96.

7.2.11. 0,965. 7.2.12. 1,1. 7.2.14. dy = 6х(х2 + l)2dx,

d2y = 6(5х2 4- 1)(х2

4- l)dx2. 7.2.15. dy = sin2xdx, d2y = 2cos2xdx2.

7.2.16. dy = -2 sin ж • In 2 • 2cos Xdx. 7.2.17. dy = 3 In2 sin ж • ctg x dx.

7.2.18. df(x)

Jx*dx

7.2.19.

7.2.20. Ay = 8xAx + 4(Ax)2, Ay = 0,1616 в точке x0

= 1 и при Ах = 0,02;

dy = 8xdx, dy = 0,16 в точке хо = 1 и при Ах = 0,02.

7.2.21. Ау = <Г Ах,

при х ^ 0,

Ау = -0,1 в точке х0

= 10 и при

I — Ах,

при х < 0,

Л н

I dx,

при х > 0,

Ах = —0,1; ау = <I — dx,

при х < 0,

ау = Ау = —0,1 в точке хо = 10 и при

Ах = -0,1. 7.2.22.

0,485.

7.2.23.

0,811.

7.2.24. 0,96.

7.2.25. dy = -г-Щт?,

(х + 1)2

d2y = - - i d x 2

7.2.26. dy

In xdx,

d2y=^~. 7.2.27. dy

nxn~ldx,

(x + 1)

d2y = n(n - l)xn "2 dx2 ,

d3y =

n(n - l)(n - 2)xn~3dx3. 7.2.30.

1,99.

Указание. Положить f(x) =

= 1, Ax = 0,04; 2)

0,996.

Указание. Положить f(x) = ^j^ ~

xo = 0, Ax = 0,02.

7.2.31. Указание. Показать, что d2y = y'udu2 + y'ud2u.

548

§3. Теоремы о среднем. Правила Лопиталя. Формулы Тейлора

7.3.2.Теорема Ролля в данном случа неприменима, так как функция недифференцируема в точке х = 0, принадлежащей интервалу (—2; 2).

7.3.3.Теорема в данном случае справедлива, с = 2. 7.3.4. Условия теоремы выполнены, с = 7г. 7.3.5. Условия теоремы не выполнены, так как

f'(x) = —Д= не определена в точке х = 0 интервала (—1; 1). 5 Vx3

7.3.6. с = 1п(е — 1). 7.3.7. с = -Л=. 7.3.8. Теорема Лагранжа здесь не v6

применима, так как у функции f(x) нет производной в точке х = 1 из данного отрезка. 7.3.9. М(3;-3), см. рис. 132. 7.3.10. М(е - 1;1п(е - 1)). 7.3.12.

Рис. 132

Рис. 133

7.3.13.1. 7.3.14. 1. 7.3.15. 0. 7.3.16. +оо. 7.3.17. 0. 7.3.19. 0. 7.3.20. 0.

7.3.21.1. 7.3.22. оо. 7.3.24. 1. 7.3.25. е"2 . 7.3.26. 1. 7.3.27. е.

7.3.29.(х + I)3 + (х +1)2 - 11 (а? + 1) + 1.

7.3.30.(х - 2)5 + 7(х - 2)4 + Щх - 2)3 + 8(х - 2)2 - 9(х - 2).

7.3.32. 3 + 31п2 • (х - log2

3) +

3 1 n

2 ( * - 1 о е а 3 ) 2

+ ...

+ 31n"2(s-log83)n

+ о ( ( я _ b g 2 3)я)| ж ^ Жо

7 3 33 k x - 1) + 3 ( * " ^

" 1 ) 3 -

" 1 ) 4 +

" 1 ) 5 +

1.4.44. 2 {х

L)-h 2

2 - 3 - 4

3 - 4 - 5

+ "

• • • + ((п-П2)(n - 1)1 п

7.3.34. е2

- е2я +

+ о(д .4) 7

3 35

х + ^

+ ф.3)

7.3.36. Условия теоремы не выполнены, так как /(1) ф /(3). 7.3.37. Условия теоремы выполнены, с = 7.3.38. Условия теоремы не выполнены.

7.3.39. Условия теоремы не выполнены, так как f'(x) не существует в точке

549

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 5455 / 5855 56 57 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc