а
m = f2(x)
2/1=1л и
Рис. 109
г) Статические моменты, относительно координатных осей, менты инерции и координаты центра тяжести плоской дуги у = /(ж),
а^ х ^ Ь, находятся соответственно по формулам
бб
|
5Ж = J 7ydl, |
Sy |
= J 7X dl, |
|
(3.23) |
|
Мх = J1У2 dl, |
Му = J 7Х2 dl, |
|
(3.24) |
где dl = |
V T T W d x |
( y V y ) 2 |
+ (^)2 d*, |
yjr2 + (r'ip)2dip) - |
дифферен- |
циал дуги; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хс = — , |
Ус = — , |
т, — |
J |
f 7x/T + W d x |
|
(3.25) |
|
m |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
(здесь xc , yc — координаты центра тяжести, am — масса кривой). |
9.3.249. |
Автобус начинает двигаться с ускорением 1м/с2 . Какой путь |
|
пройдет автобус за 12 секунд от начала движения? |
|
|
|
О Скорость движения |
автобуса выражается формулой v = |
|
= t м/с. Согласно формуле (3.20) находим путь, пройденный ав- |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
тобусом за время от |
= 0 до |
|
|
|
= 72 м. |
|
= 12 сек.: J tdt — %^ |
9.3.250. |
Скорость тела меняется по закону г> = 0,03£2 м/с. Какой путь |
|
пройдет тело за 10 с? Чему равна средняя скорость движения? |
9.3.251. |
Скорость автобуса при |
торможении изменяется |
по |
закону |
|
15 - 3* м/с. Какой путь пройдет автобус от начала торможения |
|
до полной остановки? |
|
|
|
|
|
|
|
9.3.252. |
Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на |
|
10см, если сила в 20 Н растягивает пружину на 5 см. |
|
|
О Согласно закону Гука упругая сила, растягивающая пру- |
|
жину, пропорциональна этому растяжению х, т. е. F(x) = fcx, |
|
где к — коэффициент пропорциональности. Согласно условию |
задачи сила F = 20 Н растягивает пружину на х = 0,05 м. Следовательно, 20 = к • 0,05, откуда к = 400, F = 400ж. Искомая работа на основании формулы (3.21) равна
од |
0,1 |
А = J AOOxdx = 200х2 |
= 2 Дж. |
о |
|
9.3.253. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотности 7 из цистерны, имеющей форму параболического цилиндра, размеры которого указаны на рисунке 110.
Рис. 110
О Работа, затрачиваемая на поднятие тела весом р на высоту Л, равна ph. Но различные слои жидкости в цистерне находятся на различных глубинах и высота поднятия до края цистерны различных слоев не одинакова. Для решения задачи применим так называемый «метод дифференциала». Введем систему координат так как указано на рисунке.
1. Работа, затрачиваемая на выкачивание слоя жидкости толщиной х (х Е [0;if]), есть функция от я, т.е. А = А(х) (Л(0) = 0, А(Н) = А0).
2. Находим главную часть приращения А А при изменении х на величину Ах = dx, т. е. находим дифференциал dA функции
А(х).
Ввиду малости dx считаем, что «элементарный слой» жидкости находится на одной глубине х от края цистерны (см. рис. 110). Тогда dA — dp - х, где dp — вес этого слоя; он равен gjdv, где д — ускорение свободного падения, 7 — плотность жидкости, dv — объем «элементарного слоя» жидкости (на рисунке он выделен), т. е. dp = gjdv. Но dv = b • MN • dx. Найдем MN: ^MN — ордината точки M(H — x]y), лежащей на параболе АО В, уравнение которой в выбранной системе координат
у2 = 2рх. Параметр р найдем из условия, что точка А^Я; ^
2 |
2 |
принадлежит параболе, следовательно |
= 2рЯ, р = ^gr, т.е. |
2 |
|
уравнение параболы есть у2 = -^JJX- Точка М(Н — х\у) лежит
|
|
|
|
2 |
|
|
на параболе. Следовательно, у2 = |
|
— х). Отсюда нахо- |
дим у = ^ ^ ч / Я ^ = |
iMN, т.е. |
MiV |
= |
Следо- |
вательно, |
dv |
= |
х dx, dp |
= |
g^ba^^^-dx |
и dA = |
= 7 |
|
dx. |
|
|
|
|
3. Интегрируя это равенство в пределах от я = 0 до я = Я, |
находим искомую работу: |
|
|
|
^ = 79а>Ъ |
Н |
|
|
'' х = н - |
<2 |
^ |
Г |
xVH^dx = |
|
|
^/Я |
У |
|_ |
dx — -2tdt |
J |
VH
9.3.254. |
Какую работу надо затратить на преодоление силы тяжести |
|
при насыпании кучи песка (плотность 7) конической формы с |
|
радиусом основания R и высотой Я. |
|
|
9.3.255. |
Для растяжения пружины на 4 см необходимо совершить рабо- |
|
ту 24 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совер- |
|
шив работу в 150 Дж? |
|
|
|
|
|
9.3.256. |
Рессора прогибается под нагрузкой 2 т на 1,5 см. Какую рабо- |
|
ту нужно затратить для деформации рессоры на Зсм? (Сила |
|
деформации пропорциональна величине деформации.) |
|
9.3.257. |
Определить величину давления морской воды на вертикаль- |
|
ный круг радиуса R = 0,2 м, центр которого погружен в воду |
|
на глубину Я = 10 м. Плотность морской воды 7 = 1020 кг/м3 . |
|
О Поместим начало координат на поверхности воды, ось Оу |
|
направим горизонтально, а ось Ох — вертикально вниз. Вос- |
|
пользуемся формулой (3.22). В данном случае пластинка (т.е. |
|
круг) ограничена линиями |
|
|
|
|
|
У1 = -у/В*-(х-Н |
)2, |
2 |
2 |
2 |
, |
|
|
/2 |
= +у/ R — |
(х — Я) |
|
х = Н - R, |
|
х = Н + R. |
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я+я |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
= |
£7 |
j |
[у/В? - ( х - |
Н)2 - (-\/Д2 - |
(ж - |
H)2))xdx |
= |
|
|
H-R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я + Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2д>у |
J |
xy/R2-(x-H)2dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
H-R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — Н — t, х = t + Н, |
dx = dt, |
|
|
|
|
|
|
|
t\ — —R, t2 = R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2g<y j |
{t |
+ H)y/R2 |
-t2dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
-R |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2gl{~\ |
/ |
|
|
|
/ |
VR2 |
-t2 |
dt \ |
= |
|
|
^ |
-R |
|
|
|
-R |
|
|
' |
|
0 |
/ |
1 |
2y/(R2-t2r R |
|
|
|
|
• |
ля |
|
Подставляя значения д, 7, |
Я, Д, 7г получаем |
|
|
|
|
|
|
|
Р = 9,81 • 1020 • тг • 10 • 0,04 ю 12,6 кН. |
|
• |
9.3.258. Найти давление воды (плотность 7) на вертикальную пластин-
ку, имеющую вид равнобедренной трапеции. Высота ее равна Л, большее основание — Ь, меньшее, лежащее на поверхности воды, равно а.
У
Рис. 111
О Введем систему координат так как указано на рисунке 111. Давление жидкости на различные слои пластинки разное: зависит от глубины погружения х. Для решения задачи применим «метод дифференциала».
1.Пусть часть искомой величины р есть функция от х:
р= р[х) — давление на часть пластинки (трапеции), соответ-
ствующее отрезку [0;х] х € [0; Л], р(0) = 0, p(h) = Р.
2. Дадим аргументу приращение Ах = dx. Функция р(х) получит приращение Ар (на рисунке: полоска — слой толщины dx). Найдем дифференциал dp этой функции. Ввиду малости dx будем приближенно считать полоску прямоугольником, все точки которого находятся на одной глубине х. Тогда по зако-
ну Паскаля dp = g^\MN\dx- |
х . Найдем \MN\. Очевидно, |
s |
h |
\MN\ = а + 2\МТ\. Длину \МТ\ находим из |
подобия треуголь- |
ников МТА и ВСА: |
= |
\МТ\ |
= ^ • |
Тогда |
\MN\ = а 4- х и dp = д<у(а + ^=-^x)xdx.
3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = 0 до х = Л, получим
|
Р = |
^ |
Ь а |
1 |
• |
|
f(ax+ |
—^ х2) dx |
= - gjh2(a + 2Ъ). |
|
|
о |
|
|
|
9.3.259. |
Найти силу давления воды (плотность 7) на круглый иллюми- |
|
натор диаметром D (в вертикальном борту судна) наполовину |
|
погруженный в воду. |
|
|
|
9.3.260. |
Вычислить силу давления воды (плотность 7) на прямоуголь- |
|
ные ворота шлюза, ширина которых а, высота Ь, если шлюз |
|
заполнен водой на одну треть. |
|
|
9.3.261. |
Вода заполняет полностью резервуар кубической формы с ре- |
|
бром, равным 0,5 м. Найти силу давления воды на: |
|
|
а) дно резервуара; |
|
|
|
|
б) боковую стенку. |
|
|
|
9.3.262. |
Найти статический момент однородной (плотность 7 = const) |
|
дуги кривой у = cosx, 0 ^ х ^ |
относительно оси Ох. |
|
О Используем формулы (3.23). Так как у = cosx, то dl = \J 1 -Ь (cosx)'dx = \/l 4- sin2 x dx.
Имеем
Sx =7 / |
cosx |
|
J |
y/l + |
|
|
|
|
|
vT + sin2 |
xdx = 7 |
(sinx)2 |
d(sinx) |
= |
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
|
sin2 x + - ln|sinx + у/1 + sin2 x | J 7Г = |
|
|
V |
2 |
2 |
|
|
|
/ 0 |
|
|
= |
7(:y + ^ln(l |
+ %/2)) |
= |
i7(V2 |
+ ln(l |
+ V^)). |
• |
9.3.263. Вычислить массу и момент инерции плоского однородного стержня (7 = 1) длины / относительно его конца.
О Совместим стержень с отрезком оси Ох, 0 ^ х ^ /, (левый конец стержня — в точке О). Для нахождения массы стержня используем формулу (3.25), положив в ней у = 0, у' = 0:
i |
/ |
т = J 7 \ / l + О2 dx = jx |
|
о |
|
(результат известен: стержень однородный). Момент инерции стержня равен моменту инерции его относительно оси Оу. Применим формулу (3.23):
|
|
|
|
|
|
Му |
= |
j |
7zVl |
+ |
02dz |
= |
7y |
3 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'у/3 |
ТО/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. My = -Sj- = ^у-, где т — масса стержня. |
|
|
|
|
|
|
• |
9.3.264. Найти центр тяжести одной арки однородной (7 |
= const) |
ци- |
|
|
|
|
|
|
х = a(t — sin£), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
Первая арка циклоиды симметрична относительно прямой |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
a ^ t ^ 27г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = тга. Поэтому абсцисса центра тяжести кривой равна 7га, |
|
|
|
|
|
|
у = а( 1 — cos £), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
т.е. жс |
= 7га. По формулам (3.23) и (3.25) находим ус |
= |
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ус — |
7 /027Г а(1 — cos t)J[a(t - sin£)']2 |
+ |
[а(1 |
- cos£)']2 |
dt |
|
= |
|
|
|
yf*" |
|
[a(£ — sin£)']2 + |
[a(l — cos£)']2 dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
J. |
|
|
|
F2N |
|
J. |
|
J. |
|
_ |
a |
Jo |
|
(1 - cos t) • a • 2 sin - dt |
_ |
2a |
2 sin2 - |
sin - dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
J Q |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2* |
2sin |
t |
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
Ь |
I2* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
-dt |
|
|
|
|
|
|
—4cos -|Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 • 4 a / 0 |
(l — cos2 I) d(cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
« |
|
1 |
|
3 h | 2 , r |
8 |
|
( |
|
|
1 |
|
|
1\ |
4 |
|
|
|
= _ |
|
|
|
|
|
л |
л |
|
|
|
|
|
0 ^ C 0 S - - - C 0 S |
-j|o |
= - a ( - l - l + |
- + -) = - a, |
|
|
|
7 /027Г a(£ - sin t) • 2a sin | dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XC |
— |
|
|
|
|
|
|
7 |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• 8a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
Г27Г (£ • sin | - sin t sin |
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
— |
f e |
|
|
|
|
— = |
4 |
- |
|
= |
|
|
9.3.265. Найти координаты центра тяжести однородной дуги (7 = const)
окружности х2 + у2 = Д2, расположенной в третьей координатной четверти.
9.3.266. Вычислить момент инерции относительно оси Оу окружности х2 + у2 = Л2, масса которой равна т.
9.3.267. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды х = cos31, у = sin31, расположенной левее оси Оу.
Дополнительные задачи
9.3.268. |
Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной ско- |
|
ростью VQ5 без учета сопротивления воздуха, равна v = VQ — gt, |
|
где t — протекшее время, д — ускорение свободного падения. |
|
На каком расстоянии от начального положения будет находит- |
|
ся тело через t секунд от момента бросания? На какую макси- |
|
мальную высоту поднимется тело? |
9.3.269. |
Скорость движения точки v = te~°>0bt м/с. Найти путь прой- |
|
денный точкой от начала движения до полной остановки. |
9.3.270. |
Найти работу, которую надо затратить, чтобы выкачать жид- |
|
кость (плотность 7) из вертикального цилиндрического резер- |
|
вуара высоты Я и радиусом основания Д. |
9.3.271. |
Найти работу, затраченную на выкачивание жидкости (плот- |
|
ность 7) из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина ко- |
|
торого Я, радиус R. |
9.3.272. |
Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение ко- |
|
торой имеет форму равнобочной трапеции. Размеры трапеции |
|
(плотины): а = 7м (низ), Ь = 12м (верх), h = 5м. Считать, что |
|
плотность воды 7 = 1000 кг/м3, ускорение свободного падения |
|
д = 10 м/с2 . |
9.3.273. |
Пластинка в виде треугольника с основанием а и высотой h вер- |
|
тикально погружена в воду вершиной вниз так, что его основа- |
|
ние находится на поверхности воды. Вычислить силу давления |
|
воды. |
9.3.274. Найти давление спирта (7 = 830кг/м3), находящегося в цилин-
дрическом баке высотой 3 м и радиусом 4 м на боковую стенку бака.
9.3.275. Найти статические моменты и моменты инерции однородной дуги (7 = const) астроиды х = 2 cos31, у = 2 sin3 t, расположен-
ной в первой четверти.
9.3.276. Найти моменты инерции окружности (7 = 1) радиуса R отно-
сительно ее диаметра.
9.3.277. Найти центр тяжести четверти окружности х2 +у2 = Д2, расположенной в первом координатном углу, если в каждой ее точ-
9.3.287. Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении медного конуса из морской воды? Конус с вертикальной осью погружен в воду так, что его вершина находится на поверхности воды. Высота конуса Н = 1м, радиус основания R = 1 м, плотность меди 7i = 8900 кг/м3 ,а морской воды 72 = 1020 кг/м3 .
9.3.288. Тело, температура которого 30°, погружено в термостат (в котором поддерживается температура 0°). За какое время тело охладится до 10°, если за 20 минут оно охлаждается до 20°?
Указание, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. Вычислить интегралы:
Vs
а) J х2 • ^/(3 - х3)2 dx;
1
In 2
б) |
/ |
f ^ l d x ; |
|
О |
|
|
|
7Г |
|
|
|
4 |
|
|
в) |
[ |
хл |
dx. |
|
J |
C O S |
X |
|
о |
|
|
2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
+г° 2
а ) з/
о
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = ж3, у = х2, х = - 2 , х = 1;
б) г = 3 - 2cos(/?, г = i.
4. Вычислить длину дуги кривой:
f® = 2(r - cost - cos2t), |
0 < * < £ - |
' ]y = 2(2sint - sin2t), |
^ ^ 3' |
б) у = 1 — In sin х от х = 0 до х =
5. а) |
Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = х2 + Ьу2, |
z |
= 5. |
б) Найти объем шарового сегмента высотой 3, отсеченного а шара |
радиуса 6. |
Вариант 2
1. Вычислить интегралы: |
|
7Г |
|
|
|
a) |
J |
л/sin х — sin3 |
х dx; |
|
2 1 |
|
|
|
|
б) |
J |
х2 |
. (2х - |
I)8 |
dx; |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
в) |
J(x- |
3)е~х |
dx. |
|
|
о |
|
|
|
|
2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:
^ж • v # — 1
2
б) I х(х- 2)'
3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) у = (х - 5) • (1 - я), у = 4, х = 1;
ГХ = 2Л/2СО8^,
б М к /о • , У = 5 (у ^ 5). I У = 5v2sin
4.Вычислить длину дуги кривой: а) я = In cos 2/,
б ) r = 3 - ( l + sin</>),
5. а) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0,
' 16 + 9 + 4 б) Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной линиями 2х — у — 2 = 0, у = 0, х = 3.
