Сборник задач по высшей математике

Найти производные функций, используя логарифмическую производную:

Найти у'{х) для заданных параметрически функций у = 2/(ж):

Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в данной точке:

7.1.168. В какой точке касательная к параболе —х2 + Ах — 6 наклонена к оси абсцисс под углом а) 0°;

300

Более сложные задачи

7. 1. 180. Доказать, что:

1)производная четной функции — нечетная функция;

2)производная нечетной функции — четная функция.

7.1.181. Пусть функция / ( х ) — периодическая с периодом Т. Доказать,

что ff(x) (если она существует) также периодическая функция с периодом Т.

7. 1. 182. Доказать, что функция у = \х\ не имеет производной в точке

х0 = 0.

7 . 1 . 1 8 3 * . Построить пример функции, непрерывной на всей действитель-

ной прямой и имеющей производную всюду, кроме точек 1 и 2.

Рис. 81

7 . 1 . 184 . Исходя из графика функции (рис. 81), указать точки, в кото-

рых функция не имеет производной или разрывна.

7. 1. 185. Дифференцируя данные тригонометрические тождества полу-

чить соответственно формулы для cos2x, cos За; и cos(x + а),

а= const:

1)sin2x = 2 sinx cosx;

2)sin 3x = 3 cos2 x sin x — sin3 x;

301

7.1.187. Доказать частный случай (при п = 2) формулы Лейбница для второй производной произведения: если и(х) и v(x) имеют вторые производные, то

(uv)" =u"v + 2u'v' + uv".

7.1.188. Верно ли, что если функция f(x) имеет производную в точке Хо, а функция д(х) — не имеет, то функция f(x)g(x) также не имеет производной в точке Xq ?

§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ Понятие дифференциала

^Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки хоТогда если существует такое число А, что приращение Ау этой функции в точке хо, соответствующее приращению Дх аргумента, представимо в виде:

где lim а(Дх) = 0, то функция /(х) называется дифференци- Дж—>0

руемой в точке хоПри этом главная, линейная относительно Дх, часть этого приращения, т.е. А-Ах, называется дифференциалом функции в точке хо и обозначается dy или df(xо).

Нетрудно показать (положив у — х в формуле (2.1)), что dx = Ах. Функция /(х) дифференцируема в точке хо тогда и только тогда,

когда в этой точке существует конечная производная /'(хо); при этом А = f'(xо). Поэтому df(xo) = f'(xo)dx, или, если /'(х) существует на данном интервале (а; 6), то

dy = f'(x) dx, х е (а; Ь).

Отсюда /; (х) = т.е. производная функции у = /(х) в точке х равна

отношению дифференциала этой функции в данной точке к дифференциалу независимой переменной.

Если приращение Дх аргумента х близко к нулю (т. е. достаточно мало), то приращение Ау функции приближенно равно ее дифференциалу, т. е. Ay « dy, откуда

df(x о)

Последняя формула удобна для приближенного вычисления значения функции /(х) в точке хо + Дх по известному значению этой функции и ее производной в точке хо-

302

Геометрический смысл и свойства дифференциала

Геометрически (рис. 82) приращение Ау функции f(x) в точке х — есть приращение ординаты точки на кривой (Ау = АС), а дифференциал dy функции в этой точке — приращение ординаты соответствующей точки на касательной (dy = АВ).

У

y—f(x)/

с /

А Л L

Рис. 82

Пусть и(х) и v(x) — некоторые функции, дифференцируемые в точке х. Тогда:

1.dC = 0, где С — константа.

2.d(au) = a - du, где а — константа.

т. е. форма дифференциала не меняется (инвариантна) независимо от того, рассматривается у как функция независимой переменной х или зависимой переменной и.

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда, как известно, в каждой точке этого интервала определен дифференциал dy = f'(x)dx функции f(x), называемый также дифференциалом первого порядка (или первым дифференциалом).

^Дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от функции у = f(x) в точке х Е (а, Ь) называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции f(x) в этой точке.

зоз

Дифференциал второго порядка обозначается <Ру или cPf(x). Таким образом, dp у = d(dy). Учитывая, что dy = /'(х) dx, где dx — не зависящая от х константа, получим

d2y = f"(x)(dx)2, или, более кратко, d2y = f"(x)dx2.

Аналогично определяются дифференциалы третьего и более высоких порядков: d3y = d(dPy), d*y = d(d3y),... В общем случае, дифференциалом п-го порядка от функции /(х) в точке х называется дифференциал от дифференциала (п — 1)-го порядка функции f(x) в этой точке:

<Гу = d(dr-ly),

т.е. dny = f(n\x)(dx)n, или, более кратко, dny = f^n\x)dxn. Отсюда следует, что

/(">(*) = в частности f"(x) = 0.

Заметим, что для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности (как для дифференциалов первого порядка) не имеет места.

О Сначала найдем приращение Ау в общем виде:

Ау = у{х + Дх) - у{х) =

= [(х + Дх)2 - 3(х + Дх) -hi] - (х2 - Зх + 1) =

= х2 + 2хДх + (Дх)2 - Зх - ЗДх + 1 - х 2 + З х - 1 = = 2хДх - ЗДх + (Дх)2 = (2х - 3)Дх + (Дх)2 .

Из полученного выражения для приращения Ау видно, что его линейная часть в произвольной точке хо равна (2хо — 3)Дх. Тогда по определению дифференциал данной функции будет равен dy = (2х — 3)Дх, или, в более привычной записи, dy = = (2х - 3)dx.

304

Второе слагаемое в полученной записи для Ду, т.е. (Ах)2 , есть бесконечно малая более высокого порядка, чем первое слагаемое.

Заметим, что можно найти dy и сразу (без вычисления Ау)

по формуле dy = y'dx, откуда dy = (x2 — 3x+l)'dx=(2x — 3)dx.

Теперь найдем Ау и dy в точке хо = 2, если Ах = 0,1:

Ау = (2 • 2 - 3) • 0,1 + (ОД)2 = 0,1 + 0,01 = 0,11, dy = 0,1. •

Найти приращение и дифференциал функции у = у(х) в общем виде, а

Тогда, подставляя /(х) = 1пх, получим

1п(хо + Дх) « lnxo + — • Дх.

Хо

Полагая здесь хо = 1, Дх = 0,02, найдем

In 1,02 » In 1 + у 0,02 = 0,02.

Таким образом, In 1,02 « 0,02.

2) Учитывая, что /(х) = y/x, xq = 25, Дх = — 1, получим

20 - 2361

то

To же самое можно было найти иначе, предварительно отыскав производные у', у" и у'", а затем воспользоваться формулами:

Найти приращение и дифференциал функции у в общем виде, а также

306

Более сложные задачи

§3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

Теоремы о среднем

Теорема 7.1 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], дифференцируема на интервале (а; 6) и принимает на концах отрезка равные значения (т.е. f(a) = f{b)). Тогда существует по крайней мере одна точка с на интервале (а; 6), для которой /'(с) = 0.

Теорема 7.2 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь). Тогда на интервале (а; Ь) найдется такая точка с, что

f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).

Теорема 7.3 (Коши). Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны на отрезке [а; Ь] и дифференцируемы на интервале (а; 6), причем д'(х) ф 0 для всех х Е (а; Ь). Тогда найдется такая точка с на этом интервале,

307

го-

Правила Лопиталя

Первое правило Лопиталя. Пусть функции /(х) и д(х) дифференцируемы в некоторой окрестности U(XQ) ТОЧКИ XQ, кроме, быть может,

самой этой точки, и д'(х) Ф 0 для всех х Е U(XQ), Х Ф ХоТогда если

lim f(x) = lim д(х) = 0 (в этом случае говорят, что в точке Xq имеет

Х—УХо Х—УХо

Второе правило Лопиталя. Пусть функции /(х) и д(х) дифференцируемы в некоторой окрестности U(XQ) ТОЧКИ ХО, кроме, быть может,

самой этой точки, и д'(х) Ф 0 для Vx Е t/(xo), % Ф ХоТогда если

lim /(х) = lim д(х) = оо (т.е. в точке хо имеет место неопределенность

х—УХО Х-УО

Если отношение ^9 f f(х)Х) в свою очередь представляет собой неопределенность вида ^ или ^, то правило Лопиталя (при условии выполнения

соответствующих ограничений на функции /'(х) и д'(х)) можно применять второй раа и т.д.

Формула Тейлора

^Пусть функция /(х) имеет в некоторой окрестности точки хо производные /', / " , . . . , f ^ . Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство

308

тельно предполагать существование /(п + 1 )(х) в данной окрестности точки хо). Соответствующая формула тогда называется формулой Тейлора

состаточным членом в форме Лагранжа.

Вслучае хо = 0 формула Тейлора принимает вид

/(*) = /(0) + ^х + + • • • + + о{хп), х 0

и называется формулой Маклорена.

Полезно помнить разложения по формуле Маклорена некоторых

Т.3.1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функции /(х) = = х2 — 2х на отрезке [—1; 3], найти соответствующее значение с (если оно существует).

О Функция непрерывна на отрезке [—1;3] и дифференцируема на интервале (—1; 3). Кроме того, /(—1) = /(3) = 3, поэтому теорема Ролля на данном отрезке для данной функции справедлива. Найдем значение с Е (—1;3), для которого f'(c) = 0,

Проверить справедливость теоремы Ролля для функции /(х) на данном

309