Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

§2. Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы Интегралы с бесконечными пределами (I рода)

Пусть функция у = f(x) интегрируема на любом отрезке [а,Ь]. Тогда несобственные интегралы с бесконечными пределами (или I рода) определяются следующим образом:

+оо	6	6		6
[ f(x)dx=	lim [ f(x)dx,	[ f(x)dx=		lim [ f(x)dx, (2.1)
J	6-H-oo J	J		a—>-oo J
а	а	—оо		a
+oo		с		6
f	f(x)dx= lim	f f(x)dx+	lim	f f(x)dx,
J	a—y—oo J		b—>+ooJ
—оо		а		с

где с — произвольное число (обычно с = 0).

^ Несобственные интегралы I рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств (2.1). Если же указанные пределы не существуют или

бесконечны, то несобственные интегралы называются расходя-

щимися.

Вот некоторые признаки сходимости и расходимости несобственных

интегралов I рода:

1. Если на промежутке [а;+оо) непрерывные функции f(x) и <р(х) удовлетворяют условию 0 ^ f(x) ^ <р(х), то из сходимости интеграла

+оо		+оо
J <р(х) dx следует сходимость интеграла		J f(x) dx,	а из расходимо-
а	+оо	а		+оо
сти интеграла	J f(x) dx следует расходимость интеграла			J <р(х) dx
	а			а
(«признак сравнения»).
2. Если при х € [a;+oo), f(x) > 0, ср(х) > 0 и существует конечный
предел lim	= fc ^ 0, то интегралы J	f(x)dx и	J	ip(x) dx схо-
	a		a

дятся или расходятся одновременно, («предельный признак сравнения»).

	+оо
3. Если сходится интеграл	J \f(x)\dx, то сходится и интеграл
+оо	а

J f(x) dx, который в этом случае называется абсолютно сходящимися.

		+оо
9.2.1.	Вычислить несобственный интеграл	J Щ или установить
	его расходимость.	i

380

О По определению несобственного интеграла I рода (2.1) имеем

1	х	—Уоо J1	X	b—too
	2	6	2		\ X/ll
					= lim	+	lim	( \ ) = 1,
					6—Уоо \	Ь/ b—>-oo VI/
интеграл сходится и его величина равна 1.							+оо
							+оо
Замечание. Можно показать, что интеграл							J	^ , сходит-
ся при а > 1 и расходится при а ^ 1.							1	•

Найти значение несобственных интегралов или установить их расходимость:

9.2.2.

9.2.4.

9.2.6.

9.2.7.

9.2.8.

+оо			+оо
J	е - 4 х dx.	9.2.3.		J хе~х* dx.
о			о
+оо			+оо
[	X In х	9.2.5.	J	[ - 4 е — -
J	X In х		J	xVln X
13

Исследовать сходимость несобственного интеграла j х cos xdx.

—оо

ОПо определению несобственного интеграла I рода

/ х cos xdx =

lim

/ х cos xdx =

a—oo У

U = X

du = dx 1

lim

0 ,

|°\

dv = cos x dx

l? = sinxj

xsinx

-I-cosx

la/

a—oo \

= 0 —

lim

a sin a -I-1 —

lim

cos a,

a-*—oo

a-*— oo

интеграл расходится, т.к.

lim

a sin a,

lim

cos a

не сущест-

вуют (задача 6.4.125).

a—• — oo

a-* — oo

•

Исследовать сходимость несобственного интеграла

cos3xdx.

—оо

+оо

Вычислить несобственный интеграл

^ ^ 2 •

—оо

О Подынтегральная функция / ( х ) =

определена и не-

прерывна на всей

числовой оси. Кроме того,

она

является

381

четной. Следовательно,

оооо

f(x)dx

2 J

f(x)dx.

-оо

Исходя из определения несобственного интеграла (2.1), имеем

+оо

[

ах

1 -I- X2

"" а-++оо У

1 + х2

lim

arctg х

7Г

= — — 0 = — ,

а->+оо

интеграл сходится. Следовательно, исходный интеграл также

сходится и равен 7г.

•

9.2.9.Найти значение или установить расходимость несобственного

+оо
интеграла J			^ .
1						+оо
						+оо
9.2.10. Исследовать на сходимость интеграл J							^ dx.
О Здесь f(x)	=	х*		> 0 при х Е [1; -boo), при этом				хз	>
		х*		+оо				хз
				+оо
> -V = </>(х). Но интеграл f					v x	расходится так как
хз				J	v x	2
	dx			i ^	= 3	1	_ з = оо.
	- г = =			lim З х з	= 3	lim 6з	_ з = оо.
г	V X 2			1		6 _ н х >
							+оо
Поэтому, согласно признаку сравнения, интеграл f								ХЛ ^ dx
							J	ух2
расходится.							1		•
расходится.									•

9.2.11. Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо-
+оо
дамость: Оj
				+оо
9.2.12. Исследовать на сходимость интеграл				J	f	-	dx	5	.
				J		2 -I- х -I- «эх
				1
О Здесь /(х) = тг			Рассмотрим функцию (р(х) =							х
2+х+ох										х
	+оо
интеграл от которой J		Щ сходится (см. пример 9.2.1). А так

382

как существует предел			lim	—		lim	- — — г = А^О, то
J	J	у	х-*+оо(р(х)		-++оо 2+х+Зх			5	з^
J	J	у		ж				5
		+оо
				также сходится («предель-
исходный интеграл Jf			2» "I- х "I- ox	также сходится («предель-
			dx
		l							•
ный признак сравнения»).					+oo				•
					+oo
9.2.13. Исследовать сходимость интеграла					/	х	л х j" ^—- dx.
					J	х	+ 2х + 2
					о

Дополнительные задачи

Вычислить следующие несобственные интегралы или установить их расходимость:

+Р°

+оо

9.2.14.

9.2.15.

„

d \ Г .

{ X V 1 - 1 - х 2

(1 + х ) у / х

+оо

9.2.16.

J 2х sin xdx.

9.2.17.

xexdx.

—оо

+оо

9.2.18.

[

- 2 — р — — .

9.2.19.

[

2e~S*dx.

У х2 -I- 6x -I-12

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Исследовать на сходимость

интегралы:

+оо

9.2.20.

[

x d x .

9.2.21.

{

[

&&&dx.

y/x6 + 2

+oo

+00

9.2.22.

e~4x cos 2x dx.

9.2.23.

+oo

9.2.24.

s - M

9.2. .

2 2jL13

f °

s x

dx.

[

+ 8

. .25.

Vx 2

+ 00

+00

9.2.26.

V 2 -I- X3

9.2.27.

[

— ^

x + cos*

9.2.28.

Vx 2

+ 2x + x3

9.2.29.

T ^ L t ^ L d x .

383

	+оо							+оо
9.2.30.	[	—		Щ	.	9.2.31.		f	Щр-dx.
	J	x2 +	Vx 4 + 2				1		*
								4
								4
	+ 00						+00
9.2.32.	f	« + 2У5+1 da.				9233	f		dx,
	J/	x +	V^^TTУх+1		'		//		Vл (/» -^2 )Г( ® - 3 ) ( ® - 4 )
		22		2
	1						5
9.2.34.	+oo							+oo
9.2.34.	J	^fdx.				9.2.35.		J	e~x sin xdx.
	J	^fdx.				9.2.35.		J	e~x sin xdx.
	1							о
	+00							+oo
9.2.36.	J			a.		9.2.37.		J	^ arctg xdx.
	л/3						1
	+00							+oo
9.2.38.	f	l^bx		dx.		9.2.39.		У	f T^rdx.
	J	1 + x4						У	1 + x2
	о						0
						+00
9.2.40.	Доказать, что интеграл					j sin(x2) dx сходится.
						о

+oo

9.2.41. Доказать, что интеграл «вероятностей» J е~х2 dx сходится.

Исследовать		сходимость		следующих интегралов:
	+оо				+оо
9.2.42.	J	sin i d x .		9.2.43.	J xxe~x^ dx.
	о				1
	+oo
9.2.44.	Jf	X	,In x InЛIn X .
	e2				+00
					+00
9.2.45.	При каких значениях а интеграл				J xa dx сходится?

Интегралы от неограниченных функций (II рода)

Если функция у = /(х) непрерывна в промежутке [а; Ь) и имеет разрыв П-го рода (см. Главу 6, § 5) при х = 6, то несобственный интеграл от неограниченной функции (II рода) определяется следующим образом:

ЬЬ-е

[f(x)dx= lim	[ f(x)dx.	(2.2)
J	6—J

^Если предел, стоящий в правой части равенства (2.2), существует, то несобственный интеграл II рода называется сходящимся] в противном случае — расходящимся.

384

Аналогично, если функция у = *у(х) терпит бесконечный разрыв в

точке х = а, то полагают

6	ь
J f(x)dx = lim	J f(x)dx.	(2.3)
a	a+e

Если функция у = f(x) терпит разрыв 11-го рода во внутренней точке

с £ [а; 6], то несобственный интеграл второго рода определяется форму-

лой	b	o	b
j	f(x)dx = j f(x)dx + j f(x)dx.			(2.4)
а	а		с

В этом случае интеграл называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Приведем некоторые признаки сходимости и расходимости для несобственных интегралов второго рода.

1. Если на промежутке [а;Ь) функции f(x) и <р(х) непрерывны, при х — Ь терпят разрыв И-го рода и удовлетворяют условию 0 ^ f(x) ^ (р(х),

				ь
то из сходимости интеграла				/ ip(x)dx		следует	сходимость интеграла
Ь				I		ь
J f(x)dx, а	из	расходимости		интеграла		j f(x)dx	следует	расходимость
а	р					а
интеграла	/ ip(x)dx («признак сравнения»).
а
2) Пусть функции f(x) и ip(x)					непрерывны на промежутке [а;Ь) и
в точке х	=	b терпят разрыв П-го рода. Если существует предел
lim	= fc, 0 < А: < оо, то интегралы J f(x) dx и J ip(x) dx сходятся
						a	a
или расходятся одновременно («предельный признак сравнения»).
3) Если функция /(х), знакопеременная на отрезке [а; 6], имеет раз-
							6
рыв в точке х		= 6, и несобственный интеграл					/ \f(x)\dx	сходится, то
			6				а
сходится и	интеграл j f(x) dx.
			а
Замечание. В качестве эталона для сравнения функций часто берут
функцию (р(х)		=	^ — х)а ' М ° ж н о показать, что несобственный интеграл
	f	d	x		сходится при а < 1 и
	J	(Ь — х)			расходится при а ^ 1.			v 7
	а
				b
Это же относится и к интегралам J					^	•
								385
25-2361

9.2.46.

Вычислить несобственный интеграл [

или установить

его расходимость.

V 9 - X 2

Подынтегральная

функция

терпит разрыв

при х = 3

^lim

2 = +оо^. Согласно формуле (2.2) имеем

[

^х

3re

/ \ / 9 - x 2

\/9 — x2

lim arcsinx-

= lim arcsin —

0 = — ,

3 о

е-ю

интеграл сходится и его величина составляет ^.

9.2.47.

Вычислить значение интеграла J In xdx.

При х —У 0 функция In х —У —оо. По формуле (2.3) имеем

Inxdx =

lim

Inхdx = lim(хInх — х)\

О0+е

			= - 1 - lim(eInе — е) = - 1 - 0 = - 1 ,
	Т.К.		1пе
			1пе			1
			lim £ In £ = lim —т— = lim —V = lim(—e) = 0.
			е-Ю	I	е-Ю	V
				£		£2
	Интеграл сходится и равен —1.										•
Вычислить		несобственные интегралы			или		установить		их	расходи-
мость:
	»							1
9.2.48.	[	т — d x 0 .		9.2.49.		/		xlnxdx.
	у	X	C O S			«/
	о					о
	1
	4
9.2.50.	J [	xlnx
	о
								1
9.2.51.	Исследовать сходимость			интеграла				J ^.
						- 1
	О	Внутри отрезка интегрирования						[—1;1] функция		Ду,	при
	х	—^	0, неограниченно	возрастает.				Согласно	формуле		(2.4)

386

имеем

г dx

° г6

- 1

J x2

~~ e-ю

s^o J

- 1

0+<5

= lim

-I- lim

= lim - — 1 + lim \ - 1 = oo ,

£-•0 4

X/ l - i

x n 6

e-»0 £

<$—•() о

интеграл расходится.

Вычислить

несобственные

интегралы

или

установить

их

расходи-

мость:

9.2.54.dx

Исследовать на сходимость интеграл г/

dx.

9.2.55.

3 >CQS х2

^ )

Функция / ( х ) =

терпит бесконечный разрыв в

CQS х ^ ^

у (1 — х

)

точке х = 1. Перепишем ее в виде f(x) =

» Я08

•

—Т

у(1+х)2

( 1 - х ) з

сравним

ее

функцией

ip(x)

-—т-

Как

известно

( 1 - х ) з

(см. (2.5)), интеграл /

— T d x

сходится

(а

= \

1). Так

( 1 - х ) *

как

fix)

C O S

(1 -

х)

lim —т-f = lim

+ x)2

( l - x ) l

х-+кр(х)

z-H

cos2 x

cos2

oo),

= lim — = = = =

У(1 + х)2

то, согласно предельному признаку сравнения, исходный инте-

грал также сходится.

•

Исследовать

сходимость

несобственных

интегралов:

dx.

[™M=dx.

9.2.565..

[ —Л„з

9.2.57.

J V 4 - х 2

J у 4 - х

387

9.2.58.

Исследовать на сходимость интеграл J

•

Подынтегральная функция /(х)

$ р а з р ы в н а в

«Зх

"у х

точке х

= 0. Сравним ее с функцией ip(x)

Так как

3 2 ^

нес°^ственны^ интвгр^ J

сходится

(см. (2.5)). Следовательно, интеграл

д dx

по признаку

Зх +

\/х

сравнения также сходится.

Исследовать

сходимость

несобственных интегралов:

9.2.59

d—x .

о9.о2.АП60.

f ( ^dx_

y\-x*

у/х

-х2

Дополнительные задачи

Вычислить несобственные интегралы или мость:

			*
9 - 2 - 6 1 '		/ 1 + f e s F					9.2.62.
	3i
	4
		2,5
9.2.63.		J	[		#	-.	9.2.64.
		J		x2 - 5x + 6
	- l
			0	n
9 . 2 . 6 5 .			J	eldx			g 2 m
	-ЦГ2
		2
		2
9.2.67.	/	[		,	dx	.	9.2.68.
	/		xy/Sx2		- 2x - 1

установить их расходи-

6i / tg xdx.

У/ x2 - 1

_L_

In 2 1

J e|d£

[ , 2 d x

{y / ( x - l ) ( 2 - x )

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Исследовать несобственные интегралы на сходимость:

		1 X			1
9.2.69.	J	f-^—dx.	9.2.70.	J	[mMdx.
	J	sinf		J	Vx2

388

9.2.71.

[ „ dx

9.2.72.

[

— cosx

t g x - x

J e

9.2.73.

[

9.2.74.

[ -7

o 4 / -

lnx

y v x+

2 v z +

3 v z

9.2.75.

r c o s f x - т )

9.2.76.

A<r

\fi

47 dx.

/ ^ r ^ — •

e ^

- 1

9.2.77.

a > 0.

9.2.78.

9.2.79.

J s i n ^ - J f .

9.2.80.

j (lnx)n dx,

n G N.

^ dx.

.2.81.

j In sin x dx.

9.2.82.

9.2.83.

Доказать, что интеграл J

^ _

_ ^, где о < Ь, расходится.

7Г

9.2.84.

При каких значениях а интеграл

[ —гЩ— сходится?

у sin

+оо

9.2.85.

Доказать, что интеграл

Эйлера

Г(а)

е~хха~1 dx, где

a > 0, сходится.

§3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Вычисление площадей плоских фигур

Все подынтегральные функции, встречающиеся в этом параграфе, предполагаются непрерывными.

Вычисление площадей плоских фигур основано на геометрическом смысле определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у = /(х) ( / ( х ) ^ 0), слева и справа соответственно прямыми х = а и х = 6, снизу — отрезком [а; Ь] оси Ох (см. рис. 89), вычисляется по формуле

б
5 = \| /(х) dx.	(3.1)

389

<<< < Предыдущая 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 3839 / 5839 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc