Сборник задач по высшей математике

не принадлежащие D. Граница области обозначается 3D. Следовательно,

D = D U 3D.

Для функций непрерывных в замкнутых областях имеют место теоремы Вейерштрасса, которые объединены в одну.

Теорема 11.7 (Вейерштрасса). Если функция г = f(x,y) непрерывна в замкнутой области D, то она ограничена в ней. При этом непрерывная функция достигает в замкнутой области свои наибольшее и наименьшее значения.

460

461

у9 + sin я - tg2 Зу - 3

ОЧислитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела умножим на сопряженное знаменателя. После сокращения дроби результат получаем подстановкой

О При вычислении пределов в некоторых случаях полезно переходить к полярным координатам: х = rcostp, у = г sin ср. Ясно, что если х —> 0, у —> 0, то г —> 0. Тогда

ОПроверяем условия непрерывности функции в точке 0(0; 0).

1)Функция f(x;y) определена в окрестности этой точки.

462

3) Предел в точке равен значению функции в этой точке /(0;0) = 0. Функция непрерывна в точке 0(0; 0).

Добавим, что эта функция непрерывна в каждой точке (х; у) £ М2 как комбинация непрерывных элементарных функций.

Замечание. Если бы функция f(x; у) была бы неопределена в точке 0(0; 0), то, доопределив ее в этой точке нулем, мы бы получили непрерывную функцию. •

Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках:

Значит, если положить /(0; 1) = е, то соответствующая функция непрерывна в точке (0; 1). Добавим, что рассматриваемую функцию можно доопределить как непрерывную в каждой точке (хо] у о) параболы у = 1-х2, если положить /(жо; 2/о) — е. •

463

Доопределить до непрерывной данную функцию в указанной точке (см. примечание к задаче 11.2.21):

каждой точки поверхности конуса (разрыва) функция f(x;y; z) бесконечно велика. •

Найти и исследовать точки разрыва данных функций:

464

Дополнительные задачи

Вычислить пределы

§3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Определение частных производных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x\y), определенную и

непрерывную в некоторой области D. Считаем, что точки с координатами (ж; у), (ж + Ах; у), (ж; у + Ау), (ж + Ах; у + Aj/), где Ах, Ау — приращения

аргументов, также принадлежат области D.

^Частными приращениями функции z — f(x\ у) по независимым

переменным х и у называются разности Ax z = /(ж + Aх;у) — - /(ж; у), Ayz = /(ж; у + Ау) - /(ж; у).

^ПОЛНЫМ приращением функции z = /(ж;у), соответствующим

приращениям аргументов Дж и Ау, называется разность Az = /(ж + Дж; у + Ау) - /(ж; у).

465

30 - 2361

Геометрический смысл частной производной

на плоскость Оху, zo = MqPq. Через прямую MQPO проведены две плос-

кости pi wp2: Pi параллельна плоскости Oxz, р2 параллельна плоскости

Oyz.

Рис. 126

Сечение Г с первой плоскостью представляет собой кривую z = = f{x]yo) = (р(х) — функцию переменной х, а сечение Г с р2 представляет кривую z = f{xo',y) = д{у) — функцию переменной у. На чертеже изображены также касательные ti к tp(x) в точке Ро nt2 — к д(у) в точ-

Дифференциал функции. Линеаризация функций

Если функция f(x;y) обладает частными производными f'x и fy, непрерывными в точке Мо(а?о;2/о)) то теорема Лагранжа (конечных приращений) для функции одной переменной позволяет получить следующее

466

приближенное равенство (при Дх ~ О, Ду ~ 0):

Az = f(x0 + Ах; уо + Ay) - /(х0 ; Уо) =

= f{x о + Ах; уо + Ay) - /(х0 ; 2/0 + А у) + /(ж0; 2/о + А?/) - /(ж0; 2/о) =

= /£(аг0 + As; Уо + Ау)Дх + fy{xo] Уо + 02Ау)Ау »

« /^(жо;2/О)АХ 4- fy(xo',yo)Ay

(О < в\ < 1, 0 < в\ <1 — некоторые числа, фигурирующие в теореме J1 агранжа).

Таким образом, полное приращение функции приближенно равно f'x(x0;y0)Ax 4- fy(xo;yo)Ay.

^ Это выражение представляет собой главную, линейную часть приращения функции и называется дифференциалом этой функции в данной точке.

Обозначение: dz = z'xdx + z'ydy (здесь dx = Ах, dy = Ay — произвольные приращения аргументов). Приняты также обозначения: dxz = z'xdx, dyz=z'ydy — частные дифференциалы функции z. Тогда dz=dxz-\-dyz — полный дифференциал функции z.

Как правило, под дифференциалом функции будем понимать полный дифференциал.

^Если полное приращение Az функции z = f(x,y) в точке

Мо(хо',уо) можно представить в виде Az = А • Ах + В • Ау +

Теорема 11.8. Для того, чтобы функция z = f(x',y) была дифференцируемой в данной точке, достаточно, чтобы она обладала частными производными, непрерывными в этой точке.

Сравнивая Az и dz, заключаем, что они являются величинами одинакового порядка малости при Дх —> 0 и Ау 0, т. е. Az » dz (Дх ~ 0, Ay ~ 0). Это приближенное равенство (тем точнее, чем меньше Дх и Ау), записанное в виде

f{xо + Дх; уо + Ay) « /(х0 ; у0) + fx{x0',yo)&x 4- fy{x0',yo)Ay

называется линеаризацией функции z = f(x;y) в окрестности точки

М0(х0;уо)'

Это соотношение применяется в приближенных вычислениях: дифференцируемую функцию можно заменить линейной функцией в окрестности рассматриваемой точки.

467

29*

Замечание. Понятие частных производных, дифференциала, линеаризации распространяются на функции трех и более переменных.

z(x о + Дх; уо) = «(3,1; - 2 ) = 3,1 • ( - 2 ) 2 + Ц- = 13,95;

z(x0;y0 + Д») = 2(3; -2,05) = 3 • (-2,05)2 + ^ = 14,07;

Очевидно, что Az = 1,04 ф 0,45 + 0,57 = 1,02 = Axz + Дy z. •

Найти частные и полное приращения данной функции в данной точке и при данных приращениях аргументов:

11.3.2. г = х2у, М0( 1; 2); Ах = 0,1; Ду = -0,2.

Найти полные приращения данных функций в данных точках (или при переходе от точки Мо к точке Mi):

11.3.5. z = Zx2+xy-y2 + 1; М0(2; 1); Да; = 0,1; Ау = 0,2. 11.3.6. z = Зх2 + ху — у2 + 1; М0(2; 1); Ах = 0,01; Ау = 0,02. 11.3.7. z = x2-xy + у2-, М0(2; 1); Afi(2,l; 1,2).

11.3.8. z = lg(x2+y2); M0 (2;l); Mi(2,1; 0,9).

468

469