Сборник задач по высшей математике

11.1.4. В шар радиуса R вписана пирамида, основанием которой является прямоугольник, а вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Составить зависимость объема V пирамиды как функцию сторон х и у ее основания. Однозначна или нет эта функция? Найти область определения функции.

11.1.5. Выразить объем V конуса как функцию его образующей I и высоты h. Указать область определения этой функции.

11.1.6. Дано /(х; у ) = ^ ^ . Найти:

а) /(2;3);

в) f(x; -х);

г) ДО; у);

О а) Чтобы найти /(2;3), надо в выражении для /(х,у) подставить х = 2, у = 3 и выполнить указанные в / действия.

•>/(*-,) = - а

г) f(0;y) = 2° Q Уу — не существует.

г ) Л ^ У

11.1.8. Для функции f(x;y) = ху + ^ найти:

а) / ( 1 ; - 1 ) ;

б)/(1;з);

в) /(з/;®);

450

Z

линия уровня

Рис. 122

О Действие извлечение квадратного корня возможно при условии R2 —х2 — у2 ^ 0. Это неравенство определяет замкнутый круг радиуса R с центром в начале координат 0(0; 0). Данная функция определяется уравнением сферы х2 + у2 + z2 — R2, а

451

29*

значит ее графиком Г является верхняя полусфера (рис. 122). Линиями уровня являются окружности х2 + у2 = R2 — с2 при условии 0 ^ с ^ R. Отсюда, в частности, следует, что множество значений функции — отрезок z Е [О, R]. %

Примечание. Для успешного решения последующих примеров рекомендуем вспомнить (см. гл. 5):

а) определения и канонические уравнения линий второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола) и их элементы (фокусы, полуоси, асимптоты, эксцентриситет и пр.);

б) канонические уравнения поверхностей второго порядка (сфера, эллипсоид, параболоиды эллиптический и гиперболический, гиперболоиды однополостный и двуполостный, конусы, цилиндры и пр.), их геометрические изображения и метод параллельных сечений.

11.1.14. Найти область определения функции z = In(x2—y2—R2), R > О, а также построить некоторые линии уровня для этой функции. О Область определения этой функции характеризуется неравенством х2 — у2 > R2. Она ограничена гиперболой с уравнени-

(ее фокусы расположены в точках F\ (—Ry/2; 0), F^Ry/2', 0); напомним с2 = а2 + Ь2 = 2R2 ). Для того, чтобы найти точки (х;у) Е D, удовлетворяющие неравенству х2 — у2 > R2, нужно проверить, верно или неверно оно в конкретных точках, не лежащих на самой гиперболе. Например, точки (х;0) оси Ох

гиперболы (это части плоскости, ограниченные гиперболой и содержащие ее фокусы, на рис. 123 они заштрихована).

Функция z = \п(х2 - у2 — R2) принимает постоянное зна-

с= 1). Отметим, что плоскости z = с, параллельные плоскости Оху, пересекают график Г функции z = In (я2 — у2 — R2) по линиям, проекции которых и есть линии уровня. При этом, если

с> 0, то сечения Г с плоскостью расположены над плоскостью

452

Примечание. Представим себе, что поверхность Г (график функции

г= f(x\ у)) пересечен плоскостями z = c\,z = С2,... z = сп,..равноотстоящими друг от друга. Тогда проекции полученных сечений на плоскость Оху принадлежат D и представляют собой линии уровня функции. Густота или разреженность этих линий в некоторой области позволяет судить о степени роста поверхности г = f(x;y) в соответствующей области. На рисунке 124 изображено несколько линий уровня функции

г= f(x;y). В точке Mo(xo;t/o) функции f(x;y) имеет экстремум (максимум или минимум). Слева от Мо линии уровня гуще, a f(x\y) растет (убывает) быстрее; справа от Мо линии уровня реже, a f(x\y) растет (убывает) медленнее.

У

Уо

Рис. 124

453

Найти и изобразить области определения следующих функццй:

454

11.1.34. и = х2 +у2 - z2.

Дополнительные задачи

a)f{g(x);(p(x));

б)g(f(x-,y)).

Найти (описать, изобразить) область определения данных функций:

455

456

§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И НА МНОЖЕСТВЕ

Предел функции в точке

Под d-окрестностью точки Мо(яо;2/о) будем понимать круг (открытый) радиуса d с центром в точке М0 (х0 ; уо), т. е. (х — х0)2 + (у-уо)2 < d2.

Если из этого круга удалить его центр, то получим проколотую d- окрестность точки M0 (x0 ;t/o), т.е. О < (ж — XQ)2 + (у - у0)2 < d2.

Предположим, что функция двух переменных г = f(x\y) определена в некоторой проколотой d-окрестности точки Мо.

(Дг = |М0М|).

Очевидно, что процесс поиска предела функции двух переменных, а тогда и доказательство равенства

А = & / ( * ; » )

у-+уо

существенно сложнее случая одной переменной хотя бы потому, что усло-

сложнее и разнообразнее: в них заложено произвольное приближение точки М(х\у) к точке Мо(хо;уо).

Наряду с определением предела, приведенным выше, который также называется двойным пределом, имеет смысл рассматривать и так назы-

определенных условиях эти пределы могут оказаться равными и совпадающими с двойным. Но этот вопрос мы обсуждать не будем, отсылая к более полным руководствам (например, Г.М. Фихтенгольц, том 1).

Замечание. Данное определение двойного предела будем сохранять и в том случае, когда функция f(x\y) определена только на некотором множестве Е, имеющем предельную точку Мо. Точка Мо называется предельной точкой (или точкой сгущения) множества Е, если каждая окрестность Мо содержит хотя бы одну точку множества Е. В таком

457

При вычислении двойных пределов можно и нужно использовать известные теоремы о пределах для функции одной переменной. Для краткости, будем писать /(М) вместо f(x\y).

Непрерывность функции в точке

^ Функция 2 = /(М) называется непрерывной в точке Мо, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) /(М) определена в некоторой окрестности точки Мо,

2) имеет предел в этой точке: lim /(М) = А, М-+Мо

3) этот предел равен значению функции в этой точке: A=f(Mo).

Замечание. Данное определение непрерывности функции в точке Мо будем сохранять и в том случае, когда f{x\y) определена только на некотором множестве Е, содержащем точку Мо. В этом случае условие 2) определения предела имеет вид lim /(М) = А.

М-+Мо

меЕ

Если функция f(x\y) не определена в точке Мо(хо;уо) или lim f(x\y) ф /(х0;2/о), то M0(x0;t/o) называется точкой разрыва.

У-+У0

Имеют место свойства, аналогичные свойствам непрерывных функций одной переменной.

Теорема 11.3 (о сохранении знака). Если / ( М ) непрерывна в точке

М0 и /(М0 ) > 0 (/(М0 ) < 0), то найдется d-окрестность точки М0, в которой / ( М ) > 0 ( / ( М ) < 0).

458

Теорема 11.4 (о непрерывных функциях). Пусть / ( М ) и д(М) —

две функции, определенные в некоторой окрестности точки Мо и непрерывные в этой точке. Тогда в этой точке непрерывны также функции (f±g)(M), (/ • д){М), £(М) при д(М0) ф 0, ( / ( М ) ) ^ м ) при

/(Мо) > 0.

Теорема 11.5 (о непрерывности сложной функции). Пусть / ( М ) определена в некоторой окрестности точки Мо и непрерывна в точке Мо, при этом значения / ( М ) попадают в некоторую окрестность точки Р0, причем /(Мо) = Ро. Пусть д(Р) определена в окрестности точки Ро и непрерывна в этой точке. Тогда сложная функция (суперпозиция) g[f(M)] = ip(M) непрерывна в точке Мо.

Функции непрерывные на множестве

^Функция, непрерывная в каждой точке некоторого множества точек Е называется непрерывной на этом множестве.

Для функций непрерывных на множестве имеют место аналоги теорем для функций одной переменной.

^Множество Е называется связным, если две любые его точки можно соединить некоторой непрерывной кривой, полностью принадлежащей этому множеству.

Теорема 11.6 (Коши об обращении в ноль). Если г = / ( М ) непрерывна на связном множестве Е и в двух различных его точках принимает значения разных знаков, то в ^ найдется точка Р такая, что

/( Р ) = о.

^Множество Е называется ограниченным, если оно целиком принадлежит некоторому кругу х2 + у2 ^ R2.

^Множество Е называется открытым, если каждая точка принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

^Открытое связное множество называется областью. Если к точкам области D присоединить точки ее границы, то такая область называется замкнутой и обозначается D.

Под граничной точкой области D имеется в виду такая точка Р, в каждой окрестности которой имеются как точки области D, так и точки

459