Сборник задач по высшей математике

х = —2. 7.3.40. с = — у/3. 7.3.41. Теорема Лагранжа неприменима^ поскольку f'(x) не определено в точке х = 0, принадлежащей отрезку [—2; 1].

7.3.42.с = е2 - е. 7.3.43. М(2,25; 1,5), см. рис. 133. 7.3.44. М(1; 0).

7.3.45.0,5. 7.3.46. 10. 7.3.47. 1. 7.3.48. - i . 7.3.49. 1. 7.3.50. оо. 7.3.51. 0.

7.3.59.1. 7.3.60. е -. 7.3.61. 2. 7.3.62. 1. 7.3.63. 1. 7.3.64. 1.

7.3.65.(х + 2)4 - 8(я + 2)3 + 21(х + 2)2 - 19(х + 2) + 1.

7.3.66.( х - 1 ) 4 И ( х _ 1 ) Ч ^ ( х _ 1 ) + 6 .

Указание. Рассмотреть, например, функцию f(x) = \х2 — 2х\ на отрезке

[—1; 3]. 7.3.73. Указание. Пусть х\ ихг, где х\ < х2 — произвольные точки из отрезка [а; 6]. Показать, что f(xi) < f{x2), применив теорему Лагранжа к отрезку [х\,х2]. 7.3.74. Указание. Обозначим f(x) = ех — х — 1. Тогда

f'(x) = ех - 1 и /(0) = 0. Поэтому Vx > 0, f(x) = f(x) - /(0) = f'(c) • я, (где 0 < с < х) по теореме Лагранжа, примененной к отрезку [0;х]. Так как /'(с) > 0 при с > 0, то f(x) = f(c)x > 0, т. е. ех - х - 1 > 0 при х > 0. Далее рассмотреть случай х < 0, используя предыдущую задачу.

7.3.76. Указание. Применить теорему Ролля к функции Р(х) на отрезке [xi\x2]. 7.3.77. Указание. Использовать теорему Лагранжа.

7.3.78. Представим f(x) в виде f(x) = (х + 2)(х 4-1) • х • (х — 1)(ж — 2). Отсюда видно, что /(—2) = /(—1) = /(0) = /(1) = /(2) = 0. Применяя теорему Ролля к функции f(x) на отрезке [—2; —1], получим, что f'(ci) = 0 для некоторой точки ci £ (—2; —1). Аналогично показывается, что f'(x) имеет корни с2, сз и С4 соответственно на интервалах (—1;0), (0; 1), (1;2). Других корней у f'(x) нет, так как это многочлен четвертой степени. 7.3.79. Поскольку

х-юо (х 4- cosx)

исходного предела поделить числитель и знаменатель дроби на х.

550

7.3.88. i. 7.3.89. 0,5. 7.3.90. A.

§ 4. Исследование функций и построение графиков

7.4.8. Выпукла вверх на (—2; 0) и на (2; +оо), выпукла вниз на (—оо; —2) и на (0; 2); х = 0 — точка перегиба. 7.4.9. Выпукла вверх на (—2; 4), выпукла вниз на (—оо; —2) и на (4; +оо); х\ = — 2 и х2 = 4 — точки перегиба.

7.4.11. Прямые х = — 3 и ж = 3 — вертикальные асимптоты, прямая у = 1 — горизонтальная асимптота 7.4.12. Прямая у = 0 — горизонтальная асимптота при х -> —оо. 7.4.16. Строго возрастает при х < 0, строго убывает

7.4.18. Строго возрастает на (0; 1) и (1; +оо), строго убывает на (—оо; — 1) и (—1; 0). 7.4.19. Возрастает на (-оо;+оо) 7.4.20. / т а х = / ( - 1 ) = 3,

/min = /(1) = - 1 . 7.4.21. ymin = у(2) = е. 7.4.22. Экстремумов нет.

7.4.25. Выпукла вверх на (—оо; 1), выпукла вниз на (1; +оо); х = 1 — точка перегиба. 7.4.26. Выпукла вверх на [ —^ + 27га; ^ + 27га j, п е Z, выпукла

вниз на ^ + 27га; ^ + 27raj, п € Z; х = •• • — точки перегиба.

7.4.27. Выпуклость вниз на (—оо;+оо); точек перегиба нет. 7.4.28. а = 12. 7.4.29. Прямая х = — 2 — вертикальная асимптота, прямая у = 3 — горизонтальная асимптота. 7.4.30. Прямая х = 0 — вертикальная асимптота, прямая у = 1 — горизонтальная асимптота. 7.4.31. Прямые х = 1 и х = —6 — вертикальные асимптоты, прямая у = 0 — горизонтальная асимптота.

551

Глава 8. Неопределенный интеграл

§ 1. Важнейшие свойства интегрирования

8.1.6.8.1.7. 1п|х + ч / ^ ^ Т з | + а 8.1.9. ^ + 1п|х| + | + С.

8.1.56. 4х + 21 In |х - 5| + С. 8.1.57. 9tgx - 4 c t g x - 25х + С. 8.1.58. Зх + |ln||^|| — 4 arcsin х + С. 8.1.59. С - t g x - ctg х. 8.1.60. С — 2cosx. 8.1.61. Да. 8.1.62. Указание. Показать, что если

552

первообразная F(x) существует, то она должна иметь вид:

если х ^ О, если х ^ О,

откуда из непрерывности функции F(x) в нуле следует, что С\ = СгДалее показать, что функция

не имеет производной в нуле и, значит, не может быть первообразной для функции у. 8.1.63. Например, функция

Далее показать, что указанная функция F(x) имеет производную в точке

подынтегральной дроби в виде хА = (х4 — 1) + 1 = (х2 — 1)(х2 + 1) + 1. 8.1.65. tg£ — ctga; + С. Указание. Воспользоваться цепочкой равенств

Указание. Использовать тождество sm3x • cos5x = i(sin8x — sin2x).

8.1.67.tg j + С. Указание. Учесть, что 1 -I- cosx = 2 cos2

8.1.68.3x — |xyfx + С. Указание. Учесть, что 9 — x = (3 — y/x)(3 + y/x).

8.1.69.^ v ^ - \x • tyx + x + C. Указание. Учесть, что 1 + x = l3 -I- ( ^ i ) 3 , далее применить формулу суммы кубов. 8.1.70. С — i — arctg х.

8.1.72. arctg(x + 2) + С. Указание. Выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной дроби. 8.1.73. — i sin2x + ^ sin4x + С.

Указание. Дважды применить формулу понижения степени.

8.1.74.sinх — cosx + С. Указание. Воспользоваться формулой суммы кубов.

8.1.75.Нет. Указание. Например, рассмотреть функции f(x) = д(х) = х.

553

§2. Основные методы интегрирования

8.2.2.I v W ^ F + C.8.2.3. - Щ з ^ + С .

- у / Т ^ а ё + С . 8.2.60. l l n | | ^ | - 3 1 n | ® 2 - l | + C. 8.2.61. | $/(1 + sin2ж)4 + С.

Указание. Воспользоваться тождеством cos 2х = cos2 ж — sin2 х.

554

8.2.76. 2(л/Г+х axccos х - 2у/1 - х) + С. 8.2.77. 2(у/х - у/1 - х arcsin у/х) + С.

+ 1п | cosx| +С. 8.2.83. ^ ( х 2 - 1 ) + С. 8.2.84. ж • 1п(х + у/х2 + 1) - у/х2 + 1 + С.

8.2.88. х • arcsin2 х + 2у/1 — х2 arcsin х — 2х + С. Указание. Дважды применить правило интегрирования по частям. 8.2.89. 2 sin у/х + С.

8.2.90. (х + 1) axctg y/Z-y/Z+C. 8.2.91. 1 ln|CQSa;~ \ I + С = lnltg § I + С. I | COS X + 1 I \ l\

Указание. Домножить числитель и знаменатель подынтегрального выражения на sinx, после чего сделать замену t = cosx. 8.2.92. —1\/3 — lnx(ln2 x + 41nx +

+ 24) +С. 8.2.93. earctgx +41n(l + x2) + C. 8.2.94. 5cos(^r) - Зе~х(х + 1) + С. 8.2.95. i(arcsinx + xy/1 — х2) + С Решение. J y/1 — x2 dx =

= arcsin x — (—xy/1 — x2 + J y/1 — x2 dx) = arcsin x + xy/1 — x2 — J y/1 — x2 dx.

8.2.98. i(arcsin x — xy/1 — x2) + С. Указание. Проинтегрировать по частям,

555

8.2.100. 21п(ж2 — 2ж + 10) + arctg x ~ * + С. Указание. Выделим в числителе

производную знаменателя: (ж2 — 2ж + 10)' = 2х — 2=>4х — 1 = 2(2х — 2) + 3.

Далее сделать в первом интеграле подстановку t = х2 — 2Ж + 10, а во втором — у = х - 1. 8.2.101. — In |ж2 - 1| - ж 2 ] + С.

Указание. Применив интегрирование по частям, получить интегралJ [х \—dx1,

то есть ./[ хж$ —х d x1. Далее сделать подстановку t = х2 — 1. Тогда

556

557

8.3.58. ущ In |ж200 — 1| — In |ж| + С. Указание. Поделив числитель и

знаменатель подынтегральной дроби на ж101, сделать замену t = ж100

х

§ 4. Интегрирование иррациональных функций

8.4.17.С - 6 ^ - 2 ^ - f v ^ - | ^ - 3 1 n

558

8.4.24.+ С. 8.4.25. +С . Указание. Учесть, что

8.4.34.+ §я2 + I х 2 у/х + дж3 + С. Указание. Раскрыть скобки.

8.4.37.л/ж2 - 1 0 + 29 + 3 In \х - 5 + л/ж2 - 10ж + 29| + С. Указание. Вычислив

вчислителе производную подкоренного выражения, представить данный интеграл в виде суммы двух интегралов (как при интегрировании простейших рациональных дробей третьего типа).

8.4.38.Зл/я2 - 4х + 5 + In \х - 2 + л/я2 - 4х + 5| + С.

559