Сборник задач по высшей математике

11.5.23. Для функции у (я), определенной неявно уравнением я3г/2 —

—ху5 + 5х — у = 0, найти у'"(0).

ОПродифференцируем три раза по х данное уравнение с учетом того, что у = у[х). Получаем

Подставим в данное уравнение х = 0 и получаем у = 0. Подставляем в (5.1) я = 0, у = 0 и находим у'(0) = 5. Подставляем

в(5.2) х = 0, у = 0, у'(0) = 5 и находим у"(0) = 0. Подставляем

в(5.3) х = 0, у = 0, у'(0) = 5, у"(0) = 0 и находим у"'(0) = 0. •

490

Для получения последующих производных можно продифференцировать последнее равенство, а затем подставлять значение у

491

Q Высшие производные для функций, заданных неявно как функции двух и более переменных, находят практически по тем же правилам, что и первые производные. Данное уравнение дифференцируем по х (у — постоянная).

492

Для получения искомых производных необходимо в правых частях (5.13), (5.14) и (5.17) заменить zx и z'y на соответствующие выражения из (5.12) и (5.16).

Подставляем (5.12) в (5.13):

,, = 2 1 + 3 ( Ш £ = g ( l - 6 z ) 2 + 3 ( 2 * + 2/)2

Подставляем (5.12) и (5.16) в (5.14):

„Х + 6 ' 2 ^ ; ^ (1 - 6z)2 + 6(2х + ;/)(х + Ау)

(см. предыдущую задачу).

О Поскольку соответствующие частные производные найдены в предыдущем примере, то наше замечание состоит только в том, что искомые величины можно найти как из равенств (5.12)—(5.14) и (5.16)—(5.17), так и из последних трех равенств предыдущей задачи. В любом случае, при х = 1, у = —2, z = 1

Найти dz и dPz, если z = z(x; у) — неявная функция, определяемая уравнениями:

q3 11.5.41. Дано z = cos(ax + еу). Найти ^ ~ * .

axat/

11.5.42. Дано z = х ~ 80х^ . Найти

11.5.43. Дано и = xln(ху). Найти

я3

11.5.44. Дано и = х3 sin у + 2/3 sinx. Найти Q°Qyfiz •

493

494

§6. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ Определение производной по направлению

Частные производные ^ и ^ представляют собой производные от

функции z = f(x\y) по двум частным направлениям осей Ох и Оу. Пусть z = f(x-,y) — дифференцируемая функция в некоторой обла-

сти D, М(хо',уо) е D. Пусть I — некоторое направление (вектор с началом в точке Мо), аё = (cos a; sin а) — орт этого направления. Пусть М(х0 + Дх; уо + Ау) — точка в направлении I от М0. Обозначим Ар =

= \JАх2 + Ау2. Тогда ^ = cos а, ^ = sin а.

^Предел отношения

Теорема 11.14. Производная по направлению, касательному к линии уровня поверхности z = f{x;y), равна нулю.

495

Случай нескольких переменных

По аналогии со случаем функции двух переменных можно определить производную по направлению для функции трех переменных и =

— f{x\y\z)- Окончательная формула такова:

где ё = (cos a; cos /3; cos 7) — орт направления l или cos a, cos/3, cos 7 —

направляющие косинусы направления I.

Теорема 11.15. Производная по направлению, касательному к поверхности уровня функции и = f(x\y\z), равна нулю.

Градиент

Градиентом функции z = f(x;y) (скалярного поля) называется век-

Теорема 11.16. Имеет место равенство -gj- = gradz • е, т.е. производная по направлению I равна скалярному произведению векторов градиента и орта направления I.

Следствие. Вектор grad z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции. При этом

Теорема 11.17. Скорость изменения функции / по некоторому направлению I равна проекции вектора градиента на это направление, т.е.

= npj-grad/.

11.6.1. Найти производную функции z = 2,5х2 - Ъху + 3у2 + by в точке А(1;2) в направлении, составляющем с осью Ох угол 30°. Определить направление максимального роста данной функции в данной точке.

496

вление максимального роста функции в точке А(2; 1). Наибольшее значение производной в А(2; 1) равно V132 + 22 = л/173.

осями Ох, Оу, Oz углы соответственно а, /3, 7, а также градиент

этой функции, его величину и направляющие косинусы.

ОИмеем

grad/ = 2х(у2 + z2)i + 2у(х2 + z2 )J + 2z(x2 + y2)k,

498

a grad f(A) = i + j + к = (1; 1; 1). Следовательно, |grad/(A)| =

же найти и построить grad и в точках пересечения поверхности и = 4 с осью Ох.

§7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Формула Тейлора для функций двух переменных

^Пусть z = f{x;y) — функция, непрерывная вместе со всеми частными производными до (п + 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки Мо(#о; Уо)- Тогда для любой точки М(хо + Дх; уо + Ау) этой окрестности имеет место равенство

f(x0 + Ах]у0 + Ay) = f(xo',yo) + df(xo',yo) + ^d2f(x0]yo) + • • •

которая называется формулой Тейлора, а первые (n-f 1) слагаемых в правой части — многочленом Тейлора степени п. При (#o5 2/o) = (0;0) имеем формулу и многочлен Маклорена.

Определение экстремума функции двух переменных в точке

Рассмотрим функцию z = f(x;y) двух переменных, определенную в некоторой области D.

из некоторой достаточно малой окрестности точки Мо.

Вопрос определения экстремумов (максимумов или минимумов) в некоторых случаях решается просто, если /(х; у) дифференцируемая функция в окрестности точек экстремума.

499

32*