Сборник задач по высшей математике

'у х 2 + а

Иногда к этому списку добавляют еще несколько интегралов:

13.j* sh х dx = ch х + С.

14.J ch x dx = sh x + C.

15.J tg x dx = - In | cos x| + C.

16.ctgxdx = In sinx| + C.

называть почти табличными интегралами.

8.1.1.Используя таблицу, найти следующие интегралы:

330

3)Используя табличный интеграл 4 (а = 2), находим:

4)Подставляя а = у/Ъ в табличный интеграл 10, получим:

331

Найти интегралы, используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла:

гdx

JV16 - 9х2 '

ОПоскольку \/16 — 9х2 = ^/16 — (Зх)2, то данный интеграл

332

2) Преобразуем подынтегральную дробь:

Отсюда имеем

8.1.28.f{x) = ^,хX 0 = У/2, уо = 1.

Найти интегралы, используя таблицу неопределенных интегралов, и результат проверить дифференцированием:

Найти интегралы, используя основные свойства неопределенного интеграла:

333

334

т. е. интеграл от произведения двух функций равен произведению интегралов от них?

§2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Метод подстановки (замена переменной)

^Пусть требуется вычислить интеграл J f(ip(x)) • (p'(x)dx, при

этом функции ф'(х) и f(x) непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки t = (р(х), используя равенство

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Иногда удобнее делать подстановку не t = ip(x), а х = где il>(t) — функция, имеющая непрерывную производную (т. е. непрерывно дифференцируема). Применяя такую подстановку к интегралу J f(x) dx, получим еще одну формулу замены переменной

Получающиеся после применения той или иной подстановки интегралы должны быть более удобны для интегрирования, чем исходные.

Не существует общего «рецепта», следуя которому можно всегда понять, какую подстановку надо применить к данному интегралу. Однако следует иметь в виду следующие полезные подсказки:

1) если под знаком интеграла стоит сложная функция /(у?(ж)), то, как правило, используется подстановка t = ip(x) (к примеру, если в подынтегральном выражении встречается функция sin 1, то стоит попробовать

подстановку t = а если е®2 — то t = х2 и т. д.);

2) если в подынтегральном выражении есть готовый дифференциал функции <^(а;), т. е. выражение (р'(х) dx, то имеет смысл попробовать подстановку t = <р(х). Поэтому целесообразно запомнить следующие формулы для наиболее часто встречающихся дифференциалов:

335

В простых случаях введение новой переменной можно (после приобретения определенного навыка) проводить в уме, мысленно обозначив соответствующую функцию через t или какую-либо иную букву:

Интегрирование по частям (метод стрелок)

^Пусть производные функций и(х) и v(x) существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Поскольку v'(x)dx = dv(x), u'(x)dx = dit(x), то формулу (2.3) часто

записывают в более компактном виде:

Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда получающийся в правой части формулы (2.3) (или формулы (2.4)) интеграл проще исходного либо подобен ему. Этим методом, например, пользуются, когда под знаком интеграла стоит произведение многочлена на одну из функций sinx, cosx, ax , lnx, arcsinx, arctgx и т. д. В частности, интегрирование по частям применяют к интегралам вида J хп ex dx, J xn sin xdx, J xn cos xdx, J xn lnxdx, J xn arcsinxdx,

(n = 1 , 2 , 3 , . . . ) или подобным.

Также с помощью интегрирования по частям находятся интегралы вида J arcsin xdx, J arccos xdx, J arctgxdx, J arcctgxdx, J e® cos xdx,

1 Автор С. H. Федин.

336

т. е. при интегрировании произведения двух функций под каждой из них рисуется стрелка, при этом на конце одной стрелки ^интегральной / J J пишется первообразная соответствующей функции, а на конце другой ^дифференциальной — производная второй функции; тогда в правой части равенства получается произведение функции, стоящей на конце интегральной стрелки, на функцию в начале другой стрелки (эти функции соединены пунктиром в формуле (2.5)) минус интеграл от произведения функций на концах стрелок. Или, более кратко, справа получается: конец интегральной стрелки на начало другой минус интеграл от произведения функций на концах стрелок.

8.2.1. Найти интеграл, используя подходящую подстановку:

1) J{7x - l)23dx;

2) J х2 • sin(x3 + 1 )dx\ o\ f xdx

О 1) Данный интеграл — почти табличный и поэтому легко вычисляется с помощью свойства 5 интеграла из предыдущего параграфа. Однако такие интегралы можно находить и с помощью замены переменной.

В нашем случае применим подстановку t = 7х — 1. Тогда dt = 7dx, откуда dx = ^dt. Поэтому

Возвращаясь к переменной я, получим окончательно:

2) Подынтегральное выражение содержит сложную функцию sin(:r3 -I- 1), поэтому стоит попробовать подстановку t =

= х3 + 1. Тогда dt = d(x3 + 1) = 3x2 dx, откуда x2dx = ^dt.

Таким образом,

стоит в знаменателе подынтегральной дроби, то целесообразно

337

22 - 2361

Мы избавились от знака модуля в последнем выражении, так как х2 + 1 > 0, Vs. •

Последний из разобранных интегралов является частным случаем интегралов вида J ^ (в числителе подынтегральной дроби здесь

стоит производная знаменателя), решаемых с помощью замены t = f(x). Поэтому

Найти интегралы, используя подходящую подстановку:

8.2.10. Найти интеграл с помощью подстановки, предварительно преобразовав подынтегральное выражение:

О 1) Представим исходный интеграл в виде разности двух интегралов:

= In \x\ — cos t + С = In \x\ - cos - -I- C. X

338

2) Запишем данный интеграл как разность двух интегралов:

Второй из двух полученных интегралов — табличный, а в первом сделаем подстановку t = 4-х2. При этом условимся писать все вспомогательные выкладки и обозначения, относящиеся к данной подстановке, в квадратных скобках под соот-

8.2.15.Найти интеграл, используя подходящую подстановку х = \j)(t):

ражение 1-х2 стало полным квадратом. Подходит, например,

= — ctg t — t + C.

339