Сборник задач по высшей математике

Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции /(х) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует):

310

311

(задача 7.3.18). Таким образом,

In lim у = lim \пу = О, х—>-0 Х-УО "

откуда lim у = 1, т.е. lim хж = 1.

х — х —

2) Здесь неопределенность вида 1°°. Обозначив у = (cos х) ®,

найдем limlny:

х—

х0 = 1;

2)Разложить по формуле Маклорена функцию /(х) = arctg х до о(х3).

312

О 1) Сначала найдем формулу для n-го члена разложения. Так как

/'(1) = -1!, /"(1) = 2!, /"'(1) = -3!, f(IV\ 1) = 4!, ... , /<п>(1) = ( - 1) п - п!,

Разложить no формуле Тейлора функцию f(x) в точке х^:

Дополнительные задачи

Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функции f(x) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует):

7.3.36./(х) = х2 , [1;3]. 7.3.37. /(х) = х3 - 16х, [-4;4].

313

Проверить справедливость теоремы Лаграпжа для функции /(х) на данном отрезке, найти соответствующее значение с (если оно существует):

7.3.42. f(x) — Inх, [е; е2].

Найти точку М, в которой касательная к кривой у = f(x) параллельна хорде АВ, если:

Разложить многочлен P(x) no степеням x — хо, если

Разложить no формуле Тейлора функцию f(x) в точке хо:

314

координат графики /(х) и соответствующих многочленов Тейлора Р\(х), Р2(х) И Р3(х).

Более сложные задачи

7.3.72. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ъ] и /(а) = f(b). Следует ли из того, что /(х) дифференцируема не во всех точках интервала (а; Ь) (т. е. условия теоремы Ролля не выполнены), что не существует такой точки с G (а; 6), что /'(с) = О?

7.3.73. Используя теорему Лагранжа, доказать, что если функция /(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и имеет положительную (соответственно отрицательную) производную на интервале (а;Ь), то она возрастает (соответственно убывает) на этом отрезке.

315

7.3.85. С точностью до 0,0001 вычислить sinl°, используя формулу Маклорена.

7.3.86. С точностью до 0,001 вычислить In 1,3, используя формулу Маклорена.

§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Условия МОНОТОННОСТИ функции

Если функция f(x) дифференцируема на интервале (а; Ь)1 и для любого х из интервала (а; Ь) выполнено неравенство f'(x) > 0 ( f ' ( x ) < 0) то f(x) возрастает (соответственно убывает) на этом интервале.

Условие же Vx G (а;Ь): /'(х) ^ 0 (/'(х) ^ 0) равносильно тому, что функция f(x) не убывает (соответственно, не возрастает) на интервале (а;6), т.е. Vxi,x2 Е (а;Ь) из х\ < х2 следует / ( х i ) ^ /(хг) (соответственно, / ( х i ) ^ /(х2 )).

Экстремумы функции

Точка хо называется точкой локального максимума (локального минимума), если существует такая окрестность U(xо) этой окрестности, что

/ ( х ) ^ /(хо) Vx Е U(x0), X ф х0

(соответственно, / ( х ) ^ /(хо), Vx Е U(xо), х ф хо).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в этих точках — экстремумами функции.

Теорема 7.4 (Ферма — необходимое условие экстремума). Если

хо — точка локального экстремума для функции /(х), то в этой точке производная функции либо равна нулю (f'(xо) = 0), либо не существует.

1В том числе возможны случаи а = —оо, Ь = +оо.

316

^ Точки области определения непрерывной функции /(х), в которых ее производная не существует или равна нулю, называются критическими точками функции.

В силу теоремы Ферма экстремумы функции находятся среди ее критических точек.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция /(х) непрерывна в точке хо и дифференцируема в некоторой ее окрестности (кроме, быть может, самой точки хо). Тогда, если /'(х) меняет знак при переходе через точку хо, то хо — точка локального экстремума (если с «+» на «—» — локальный максимум, если же с «—» на « + » — локальный минимум).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция /(х) имеет в точке хо производные первого и второго порядков. Тогда, если f'(xo) = 0, /"(хо) ф 0, то хо — точка локального экстремума. В частности, если /'(хо) = 0, /"(хо) < 0, то хо — точка локального максимума, а если /'(хо) = 0, f"(xо) > 0, то хо — точка локального минимума.

Если xi, Х2,..., хп — критические точки непрерывной на отрезке [а; Ь] функции /(х), то наибольшее и наименьшее значения этой функции есть соответственно наибольшее и наименьшее из чисел /(а), /(хi),

Дх2),...,/(хп), f(b).

Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба

^Функция /(х), определенная на интервале (а; 6), называется

выпуклой вверх (выпуклой вниз) на этом интервале, если точки любой дуги графика функции расположены выше (соответственно, ниже) хорды, стягивающей эту дугу (рис. 83,а и б).

Рис. 83

Иногда выпуклость вверх (соответственно, выпуклость вниз) называют просто выпуклостью (соответственно, вогнутостью).

График выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; Ь) функции также называют выпуклым вверх (соответственно, выпуклым вниз).

317

Можно дать другое, эквивалентное, определение выпуклости вверх (выпуклости вниз): функция /(х) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз) на интервале (а; 6), если график этой функции при х Е (а; Ь) расположен ниже (соответственно, выше) касательной, проведенной в любой

Достаточное условие выпуклости вверх (вниз). Пусть функция /(х) имеет вторую производную на интервале (а; Ь). Тогда, если /"(х) ^ О (соответственно, /"(х) ^ 0) на этом интервале, то функция /(х) выпукла вверх (соответственно, выпукла вниз) на нем.

^Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки хоТогда если при переходе через точку хо функция меняет направление выпуклости, то эта точка называется точкой перегиба функции /(х). Точка (хо, /(хо)) при этом называется точкой перегиба графика функции /(х) (рис. 85,а и б).

Необходимое условие точки перегиба. Если хо — точка перегиба функции /(х), то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю (/"(хо) = 0), либо не существует.

^Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2-го рода.

Первое достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x)

непрерывна в точке хо и имеет вторую производную в некоторой окрест-

318

ности этой точки (кроме, быть может, самой точки хо)- Тогда если при переходе через точку хо вторая производная меняет знак, то хо — точка перегиба.

Второе достаточное условие точки перегиба. Пусть в точке хо функция f(x) имеет производные до третьего порядка включительно. Тогда если /"(хо) = 0, a f'"{x0) Ф 0, то х0 — точка перегиба этой функции.

Асимптоты

Прямая линия га называется асимптотой графика функции у = = /(я), если расстояние d от точки М, лежащей на этом графике, до прямой га стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность (рис. 86 а), б), в))2.

Рис. 86

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

^Прямая х = хо называется вертикальной асимптотой графи-

ка функции /(х), если хотя бы один из односторонних пределов

^Прямая у = kx+b называется наклонной асимптотой графика

Прямая у = hx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х —> + оо (при х —> — оо) тогда и только тогда, когда существуют пределы

2Приведенное здесь наглядное описание асимптоты не является, вообще говоря, строгим математическим определением.

319