Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Пусть даны две пересекающиеся в точке Мо(хо,у#) кривые У = /i(#) и у — /2(2;), причем обе функции имеют производные в точке хо• Тогда углом между этими кривыми называется угол между касательными к ним, проведенными в точке Мо.

Этот угол (р можно найти из формулы

tg <р =	/ 2 Ы - Д Ы
	1 + Л Ы - Л Ы *

Логарифмическая производная

При нахождении производных от показательно-степенной функции и(х)у(х\ а также других громоздких выражений, допускающих логарифмирование (произведение, частное и извлечение корня), удобно применять логарифмическую производную.

^ Логарифмической производной от функции у — f(x) называется производная от логарифма этой функции:

(In,)' = t .

Используя логарифмическую производную, нетрудно вывести формулу для производной показательно-степенной функции u ( x ) v ^ :

(uvy =uv-v' -\xiu + uv~l - и' -v.

Производная неявной функции

Пусть функция у = у(х), обладающая производной в точке я, задана неявно уравнением

F(x,y)= 0.

(1.1)

Тогда производную у'(х) этой функции можно найти, продифференцировав уравнение (1.1) (при этом у считается функцией от х) и разрешая затем полученное уравнение относительно у'.

Производные высших порядков

^Производная f'(x) от функции f(x) называется также производной первого порядка. В свою очередь производная от функции f'(x) называется производной второго порядка от функции f(x) (или второй производной) и обозначается f"(x).

Аналогично определяются производная третьего порядка (или третья производная), обозначаемая f'"(x) и т.д.

Производная п-го порядка обозначается f ^ ( x ) .

290

Производная функций, заданных параметрически

Пусть функция	у = /(х) определена параметрически функциями
х = x(t) и у = y(t).	Тогда если функции x(t) и y(t) имеют производные

в точке to, причем x'(to) ф 0, а функция у = /(х) имеет производную в точке хо = х(to), то эта производная находится по формуле

у ' ^ - Ш и л и	=
xt(to)	Xt

Вторая производная у"(х) находится по формуле
л	У" * xt ~ x't ' Vt
ухх	( х , ) 3	•

Т. 1.1 * Пользуясь определением, найти производную функции y=f(x)\ 1 ) у = Зх2;

2)у = sinx.

О1) Придадим аргументу х приращение Дх. Тогда соответствующее приращение Ду функции будет иметь вид

Ду = f ( x + Дх) - /(х) = 3(х 4- Дх)2 - Зх2 =

= 3(х2 + 2хДх 4- (Дя)2 - х2 ) = ЗДх(2х 4- Дх).

Отсюда находим предел отношения ^^ в точке х при Дх —> 0:

lim	= lim	3 A X ( 2 A X + A a : )	= 3	lim (2х+Дх) = 3-2x = 6x.
А з — Д х	Az-Ю	Д х		Az-^0

Таким образом, у' — (Зх2)' = бх.

2) Найдем приращение Ау функции, соответствующее приращению Дх аргумента, используя формулу разности синусов:

л • / л ч	^ . Дя	(	Дх\
Ay = sin(x + Ах) — sin х = 2 sm —- • cos I x 4- - г - J.
	A	\	Z /

Отсюда
Ay	Л
lim —^- = lim
А з — Д х	Аз->0

2sin%£-cos(x + ^)

— — ^ — =

Д х

sin				/	Дх\
= lim	, А	\	• lim	cos	х 4 - г - = cosx.
Да-Ю			Да-Ю	V	2 /

В последнем равенстве мы воспользовались первым замеча-

тельным пределом	и непрерывностью cosx. Таким образом,
у' — (sinx)' = cosx.	•
	291

18*

Пользуясь	определением,		найти производные	функций:
7.1.2.	у = Ьх-2.		7.1.3.	у = х3.
7.1.4.	У =	у/х.	7.1.5.
7.1.6.	Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти
	f'(x),	если:

1)/(®) = - 5 ^ r - 5 * + 1 ;

2)/(х) = (х4 — а;) • (3tgx — 1).

О1) Преобразуем функцию к виду

				/(х) = 9 • х - 2 / 3 — 5 • 5®.
		Отсюда, используя таблицу производных, получим
		/'(») = (9 • х - 2 / 3 - 5 • 5)' = (9 • х - 2 / 3 ) ' - (5 • 5)' =
		= 9 • ( х - 2 / 3 ) ' - 5 • (5х)' = 9 •					• х - Ь 1 - 5 • 5* In5 =
							= —6х- 5 /3 — 5X + 1 In 5.
		2) Воспользуемся формулой для производной произведе-
		ния:
		/'(*)=		[(x4-x)(3tgx-l)]'		=
			= {х4 - x)'{3tgx		-	1) + {х4	-	x)(Stgx	- 1)' =
				= (4я3	-	l)(3tgz - 1)		+ {х4	- х) • - Д - .
									COS X
Найти		производные		указанных функций:
		У = х3	-	+ 2я		1.8.	у = ах2 + Ьх + с.
	1.7.	У = х3	-	+ 2я		1.8.	у = ах2 + Ьх + с.
	1.9.	У = 6х7 +		4я3 -		1.10.	у = # х - У 3 .
	1.11.	У = V		X xz		1.12.	у =	1	- 2 + V 7 - ® .
	1.13.	У = x ^ i +		3sinl.		1.14.	у = b - 2х + ^ ctgx.
	1.15.	У = tg x — ctg X.				1.16.	у = -lOarctgz + 7-е*.
	1.17.	У = x3	log2 X.			1.18.	у	= (х2	+х+1)(х2-х + \).
	1.19.	/(*) _	l + e<			1.20.	z =	(у/у + 1) arcsiny.
		~	1 -	e*'
	1.21.		21"	1'		1.22.	/(ж) =		arccos х —
	1.21.	и = 2 1 " +		1'		1.22.	/(ж) =		arccos х —

292

Найти производную данной функции в точке хо:

7.1.23.	у = х • arctgх, х0 = 0.	7.1.24.	у = х4 + х3	- 175, х0 = 1.
7.1.25.	у = Щ?,х0 = е.	7.1.26.	y =	= 9.
	х		у/Х + 1
7.1.27.	Применяя правило дифференцирования сложной функции,
	найти производную функции у:

1)у — sin2 х;

2)у = ln(arctg3x).

О1) Данная функция является композицией двух имеющих

производные функций и = sinx и f(u) = и2. Так как и' = cosx, a f'(u) = 2и, то с учетом правила дифференцирования сложной функции получим:

у'(х) = (и2)'х = 2и • и' = 2sinx • cosx = sin2x.

2)Функция ln(arctg3x) — композиция функций и=arctg Зх

иf(u) = In it, откуда

Функция arctg Зх, в свою очередь, является композицией двух функций v = Зх и g(v) = arctg v, поэтому для нахождения ее производной нам придется еще раз применить правило дифференцирования сложной функции:

(arctg Зх)' = (arctgv)'

~ • v' =1-

——s-

3• 3 = -——s-.

1 + v2

1 + (Зх)

1 + 9x

Отсюда окончательно

~ arctg Зх

' ( a r c t g 3 a ; )

~ ( 1 + 9x2 ) arctg Зх'

Найти

производные

функций:

7.1.28.

у = cos Ъх.

7.1.29.

у = 73х~г.

7 1

.30.

у = cos3 х.

7.1.31.

у = (х + I)1 0 0 .

.32.

у = y/tgx.

7.1.33.

у =

arcsin у/х.

.34.

у —

lnx'

7.1.35.

t/ = lnsinx.

.36.

у = ectg ж.

7.1.37.

у = arccos(ex).

.38.

у = arctg2 i.

7.1.39.

t/ = sin9 (|).

7.1.40.

у = < / ( l - 3 x ) 2 .

7 Л .4i.

y = a r c s i n

293

7.1.42.

7.1.44.

7.1.46.

7.1.48.

7.1.50.

7.1.52.

7.1.54.

7.1.56.

7.1.58.

У= 1п(х + л/я2 - 1).

У= х3 • sin(cosx).

У= log6 sin4x.

,(х + 1)(х + 3)3

У(х + 2)3 (х + 4)

У= s i n 4 f + c o s 4 f .

У_ х + е3*

У= arctg* + }.

7.1.43. у = (l + tg2 3x)

7.1.45. у=tg 4 х + 1 tg3 4 х + i tg5 4®.

7.1.47. у = З®2 • \/х3 - 5х.

7.1.49.
7.1.51.	y=arctg(*			SJ + ^ f j A - .
7.1.53.	у	_	e s h 2 5 ®
7.1.53.
7.1.55.	у = arccos у/х + у/х — х2 .
7.1.57.	v	_	sin2 х	\|	cos2 х
7.1.57.	у		ctgx + 1		tgx + 1'
	у		ctgx + 1		tgx + 1'

Используя логарифмическую производную, найти производные функций:

l ) y	= x sinx.
) У	^/(х + 1)2	•
О	1) Прологарифмируем обе части равенства у = xsmx. Тогда

In у = In xsm х, т. е. In у = sin х • In я. Теперь продифференцируем последнее равенство, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой — производную произведения: (Inу)' = (sinx • lnx)', т.е. У- = (sinx)'Inх + sinx(lnx)'

/		.	У
или У = cosх • lnx/+		х	.	или, учитывая, что у =
Отсюда у'	= у (cosx • lnx + ^ ^ )			или, учитывая, что у =
_ ^sin X ^	\		Х	.
	у' = xsin х(cos X • In X +			•

2) Непосредственное дифференцирование данной дроби привело бы к громоздким вычислениям, зато применение логарифмической производной позволяет найти ответ без труда:

1пУ = 1п	(х +	ТТо/з •
	(х +	1)2 / 3

Отсюда, используя формулы для логарифма произведения, частного и степени, получим:

In у = ln(x - I)3 + ln(x + 2)1 /2 - ln(x + I)2 /3 ,

Т 'е '

In 2/ = 31п(х - 1) + 11п(х + 2) - | ln(x + 1).

294

Осталось продифференцировать обе части полученного равенства:

(In у)' = [з 1п(х

1) + j 1п(я? + 2)

11п(х +

1)]'

у'

уу

х-1

2(х + 2)

3(х + 1)'

о т к У д а

_ 1

, =

т.е.

~ У ' U -

2(2(х++ 2))

3(3(х ++ 11))'

у,

= (х — 1)3%/аГ+~2! '/

+ I)2

" U - l+

2(x + 2)

3(х + 1)/

Найти

производные:

7.1.59.

у = хх.

7.1.60.

t/ = xl n *.

7Г.1l.eD1i .

2 / - у

( а+- З ) 3 + ^

7.1.62.

^ -

) • У ^ Ч П

у =

7.1.63.

у = (tgx)€OSX.

7.1.64.

у=

(^^Цр08^.

7.1.65.

Найти производную неявно заданной функции у:

х3

+2/3 = sin(x - 2у).

О Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что у —

есть функция от х (поэтому, например, (у3)'х = Зу2 • у'), полу-

чим:

Зх2

+ Зу2

• у'

= cos(x

- 2у)(1 - 2у')

И Л И

Зх2 + Зу2 • у' = cos(x - 2у) - 2у' • cos(x - 2у).

Отсюда находим у':

Зу V + 2у'

• cos(x - 2у)

cos(x - 2у)

- Зх2

или

у'(3у2 + 2cos(x -

2у))

cos(x

2у)

- Зх2,

Т'6'

, _

cos(x — 2у) — Зх2

Зу2 + 2 cos(x — 2у)

Найти

производную функции у,

заданной

неявно:

7.1.66.

еху — cos(x2 + у2) = 0.

7.1.67.

4 + Й = 1-

7.1.68.

х2 + v2 = ln^ + 7.

7.1.69.

х sin у-ft/sinx = 0.

295

7.1.70.

х * - у * = х2 у2 .

7.1.71.

еу = е — ху. Найти у' в точке (0; 1).

7.1.72.

Найти производную у'(х) от следующей функции, заданной па-

раметрически:

х — 2 cos t,

у = 3sin£.

Производная функции у (х)

находится по формуле у'(х)

y'(t)

= ^т^f, откуда в нашем случае

{t)

„ ч

(3sintY

3cost

л к

у'(х) = 7

77 =

2smt

= - 1 , 5 Ctg*.

•

У К }

(2cos ty

Найти

у'(х)

для

заданных

параметрически

функций

у =

у(х):

7 . 1 . 73 .

+ t,y = t2

+ t + 1.

7.1.74 .

х =

t-sint,

у = 1 - cos*.

7.1.75.

x = e*sin£, у = e*cos£.

7 . 1 . 7 6 .

ж = sin2£, у = cos2£.

7 . 1 . 7 7 .

ж = 5ch£, у = 4sh£.

7 . 1 . 7 8 .

Написать уравнения касательной и нормали к параболе у2

=4х в точке М(1; 2).

2)Найти точки, в которых касательная к графику гиперболы У — ~ параллельна прямой у = — ^х + 3.

3)Найти угол, под которым пересекаются кривые

у = \|	и х2 — у2 = 12.
х

О1) Найдем у'(х) как производную неявной функции: (у2)' =

= (4я)', т.е. 2уу' = 4, откуда у'		=	Значит, 2/'(я0) = 2/'(1) = 1.
Отсюда получаем уравнение касательной в точке М:
у — 2 = х — 1,		т.е. у = х + 1.
Теперь найдем уравнение нормали:
у — 2 = — (х — 1),			т.е. у =-х + 3.
2) Угловой коэффициент данной прямой равен — j, поэтому
			4	1
производная к кривой в искомой точке хо также равна — ^:
У'(*О) = - \| ,	т . е .

откуда х2 = 4, или х = ±2.

3) Сначала найдем точку пересечения кривых, для чего

подставим у = — во второе уравнение:					х2 — (—) = 1 2 , или
fi4	где	х	t	о	\Х /
t — ^ =				= аг. Решая последнее уравнение, найдем

296

t = 16, откуда x = ±4, у = ±2. Таким образом, имеем 2 точки
пересечения Mi(4;2) и М 2 ( - 4 ; - 2 ) .
Найдем угол	пересечения кривых в точке Mi, предвари-
			/1	и	2/^ = 12:
тельно вычислив у[(4) и 2/2(4) из уравнений 2 =					2/^ = 12:
=		= >	= - А= _о,5;
(х2 - у2)' =		12'	2х-2у2-у'2 = 0	=»
	l4	= f = *	2/U4) = \| = 2.
		2/2	^
Теперь окончательно найдем
te(fl		-
t g V l " l + » i ( % i ( 4 ) - 1 - Г
Поскольку знаменатель дроби обратился в ноль, то это озна-
чает, что (fi =
Аналогично находим угол			= ^ во второй точке пересе-
чения данных кривых.					#

Найти уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке xq :

7.1.79.	у = е х , х 0 = 0.
7.1.80.	у = sinx, хо =
7.1.81.	В какой точке касательная к кривой у = lnx параллельна пря-
	мой:
	а) у = 2х + 5;
	б) у = х + л/3?
7.1.82.	Найти углы, под которыми пересекаются кривые у2 = 2х и
	х 2 +</ 2 = 8.
7.1.83. Найти:
	1)	/"'(х), где /(х) = sin Зх;
	2) у"х для функции у = у(х), заданной параметрически х = £2,
	y	= t\
	О	1) Находим первую производную:
		/'(х) = (sin Зх)'	= 3cos3x.
	Отсюда получим вторую производную —
		/"(х) = (3cos3x)' = —9 sin Зх,
	а затем и искомую третью:
		f'"(x) = (—9 sin Зх)'	= —27 cos Зх.

2)Воспользуемся формулой

пxt' Vtt ~ ~ Vt' xtt

ОА)3

297

откуда

„

(t2Y'

(t3)" - (t3)' •

(t2)" _ 2t-

6t - st2 • 2

бг2 _ з

[(*2)']3

(2*)3

~8t3~4t'

Найти

производные

указанных

порядков для

следующих

функций:

7.1.84.

У = tg3x,

у"

7.1.85.

2/ = —х • cosx, I/" =?

7.1.86.

У = In2 х,

2/"

7 . 1 . 87 .

2/ = х • lnx, 2/'" =?

7.1.88.

У = e

2 « > y ( V )

= ?

7.1.89.

2/ = ln(l + x),

2/(n) =?

7 . 1 . 90 .

X =

t\y

t2,y';x =?

7.1.91.

X = cos

2/ = sin*, 2

Дополнительные задачи

Пользуясь

определением,

найти

производные

следующих

функций:

7.1.92.

у = —4.

7.1.93.

у = ех.

7.1.94.

?/ = 5£3

— 2£ + 7.

7 . 1 . 9 5 .

/(Л) =

гь -I- 1

Найти

/'(хо)

по

определению

производной:

7.1.96.

/ ( х )

= 4х2 - З х + 8,

1.7.1.97.

/ ( х )

cos2x,

х0 = 0.

Найти

производные

функций:

7.1.98.

у = Ьу/х + 13

2 в

7.1.99 .

2/ = Юя6 - ^ + З^ж.

у х

7 . 1 . 100 .

у = 2ctgx — 3sinx.

7 . 1 . 101 .

2/ = arctg х + 7 • ех.

7 . 1 . 102 .

у = 19х — 8arcsinx.

7 . 1 . 103 .

у =

(х2

1)(х3х).

7 . 1 . 104 .

ф(а) = 3arcsina — 4arccosa + 14^а .

7 . 1 . 105 .

f(t) = Y~P'

7 . 1 . 106 .

у = 3sin2 х — lg;х + 3 cos:

7 . 1 . 107 .

„ =

( I ) * -

+ 4*.

7 . 1 . 108 .

2/ =

f .

7 . 1 . 109 .

у = (х + 1)(х + 2)(х + 3).

7 . 1 . 110 .

у =

(х2 - 1)(х2 - 3)(х:

7 . 1 . 111 .

f{x)

7 . 1 . 112 .

2/ =

7 . 1 . 113 .

у =

+ у/х — 2).

7 . 1 . 114 .

2/=

^ - ^ i - l n x 5 .

Найти производную			данной функции в точке xq:
7.1.115.	/(*)	= - ^ L - *о		=	1.
7.1.116.	f(x)	=4х +	6^х,	хо	= 8 .
7.1.117.	f(x) = х2 -f		3 sin x -		7гх, x0 =
7.1.118.	f(x)	= e* + 1	• (4® - 5), x0 = In2.
Найти	производные		функций:

7. 1. 119.	y		=	10*a + 1 .
7.1.121.	i/ = c h 4 \| .
7 . 1 . 123 .	у = cos4 x - sin4 x.
7 . 1 . 125 .	у =				+ ctg Юж.
7. 1. 127.	x = In4 sin St.
7 . 1 . 129 .	y =				1
				arcsin x
7 . 1 . 131 .	y	у = * Щ .
	y			x-1
7 . 1 . 133 .	у = x arcsin я -h л/1							- x2 .
7 . 1 . 135 .	2/ = e " l n ^					x + 2
	*					x + 2
7 . 1 . 137 .	y		=	x - 2 ^ .
7 . 1 . 139 .	»		=
7 . 1 . 141 .	2/ =			or
7 . 1 . 141 .	2/ =			2\/l — x4
				2\/l — x4
7 . 1 . 143 .	*		=	V 1 +		C O S	X
7 . 1 . 145 .	/(x) =						+ arctg		i
7 . 1 . 146 .	у		-	14arcsin				-
7 . 1 . 147 .	у		=	H * 2 +		2 )	+	А "	^
				2			4(x2 + 2)

1.120. 2/ = tg4x.

1 . 1 2 2 . y = \n(bx3-x).

1.124. у = V4 - 7x2 .

1.126. у = (sin 3x - cos 3x)2 .

1.128. /(ft) = arctg y/h.

1.130. у =	, s ,i n /	.
*	1 + tg x

1.132. 1/ = sh(ln(tg2x)).

1.134. ^ — 3sin3 2x+4sin 2ж

1.136. у = arcsin л/1 - x2 .

1.138. y = b W l o * * x \

1.140. у = 1п(е2ж + 1) — 2 arctg еж.

1 142 у = te Зх + In cos2 Зх

.1.144	f(x) =	ьха^х	x
.1.144.	д х ;	2	2 ( l + x 2 ) '

" 1	9 ) ^ - 2 *
-	- V	^ c t g	\/2
4л/2		6

299

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc