Сборник задач по высшей математике

Частным случаем наклонной асимптоты (при к = 0) является горизонтальная асимптота (рис. 86 в)).

Прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции f(x) при х —> +оо (при х —У — оо) тогда и только тогда, когда

lim f(x) = b

х->+оо 7 (соответственно, lim f(x) = b).

Построение графиков функций

При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1)найти область определения функции;

2)исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3)найти участки непрерывности функции, а так же точки разрыва с указанием вида разрыва;

4)найти точки пересечения графика с осями координат;

5)найти интервалы знакопостоянства функции;

6)найти асимптоты;

7)найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

8)найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

ОФункция определена на всей числовой оси, а ее производная

равна/'(х) = ЗХ2 -12Х = 3(х —2)(х+2). Функция / ( х ) возрастает тогда и только тогда, когда f'(x)) > 0, т. е. (х — 2)(х + 2) > О, откуда х Е (—оо; —2) U (2; +оо). Аналогично, данная функция убывает в точности когда f'(x) < 0, т.е. (х — 2)(х + 2) < О, откуда х Е ( - 2 ; 2).

Таким образом, функция / ( х ) возрастает на интервалах (—оо; —2) и (2; +оо), а убывает на интервале ( - 2 ; 2). •

Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x):

7.4.2./(х) = (х — 2)2 • (х + 2).

7.4.3.f(x)= ln(x2 - 2 х + 4).

7.4.4.Найти экстремумы функции / ( х ) = х3 — 9х2 + 15х.

ОФункция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем f'(x) = Зх2 —18х+15 = 3(х —1)(х—5). Критические точки х\ = 1, Х2 = 5. Воспользуемся вторым достаточным

320

условием экстремума, для чего найдем /"(1) и f"(5):

7.4.7. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции

«•> = 5^1-

О Функция определена и дважды дифференцируема на всей действительной оси. Находим вторую производную:

б(*2 - 1 )

/"(*) = (х2 + I)3 '

Отсюда получим: функция выпукла вверх тогда и только тогда, когда /" < 0, т.е. х2 - ^ < 0, или |х| < Функция

выпукла вниз тогда и только тогда, когда х2 — ^ > 0 , т.е.

Таким образом, функция выпукла вверх на V ^ ' ^ J '

21 -2361

Проверим, есть ли у графика функции наклонные асимптоты. Находим

ееграфик.

ООбласть определения D(f) функции — вся числовая ось,

за исключением точек х = — 2 и х = 2, т.е.

£>(/) = (-оо; - 2 ) U ( - 2 ; 2) U (2; +оо).

Функция непериодическая; исследуем ее на четность и нечет-

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при х ^ 0.

Найдем точки пересечения графика с осями координат: с осью Оу график пересекается при х = 0, откуда

у= т=о,

т.е. М(0;0) — точка пересечения с осью Оу;

s i

с осью Ох график пересекается, если f(x) = 0, т. е. —=-—^ = 4 — х1

— 0, откуда х = 0. Таким образом, М(0;0) — единственная точка пересечения графика с осями координат.

Находим интервалы знакопостоянства функции:

322

и так как мы рассматриваем только случай х ^ 0, то получаем

О < х < 2.

т. е. прямая х = 2 — вертикальная асимптота. Отсюда, в силу симметрии, следует, что прямая х = — 2 — также вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты:

т. е. прямая у = — х — наклонная асимптота при х —> +оо (то

Отсюда видно, что при х ^ О (см. рис. 87) функция имеет максимум в точке х = 2л/3 (причем /(2y/S) = —Зл/З « -5,2), возрастает на (0; 2) и (2; 2л/3) и убывает на (2\/3; +оо).

m

Рис. 87

Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную:

2 1*

Рис. 88

Учитывая накопленную информацию, строим график функции при х ^ 0, а затем симметрично отражаем его относительно начала координат (рис. 88). •

Провести полное исследование и построить графики функций:

Дополнительные задачи

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

324

Более сложные задачи

ция /'(х) строго убывает (соответственно, возрастает) на этом интервале.

325

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

ее график.

Вариант 2

1.Найти производную функции

2.Найти производную функции у = xa r c t g 7 x .

3.Найти производную у'(х) неявной функции

з

6.Провести полное исследование функции f(x) = -^Jr—- и построить

ееграфик.

326

Вариант 3

1. Найти производную функции

у = 2 V V® }

2.Найти производную функции у = (х2 + 3)t g *.

3.Найти производную 2/'(х) неявной функции

Вариант 4

1.Найти производную функции

у= log3 arcsin(^^g) .

2.Найти производную функции у = (cosx)?.

3.Найти производную у'(х) неявной функции

6.Провести полное исследование функции /(х) = х2 • е~х и построить ее график.

•

Глава 8. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

•

§1. ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРИРОВАНИЯ Первообразная функция

^Пусть функция /(х) определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале (а, Ь). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции /(х) на интервале (а, 6), если F'(x) = /(х) для всех х € (а, Ь)3.

Если F(x) — первообразная функция для функции /(х), то функция F(x) + С, где С — некоторая постоянная, также первообразная для функции f(x). Кроме того, если F(x) и G(x) — две первообразные для функции /(х), то они отличаются на некоторую постоянную, т. е. существует такое число С Е R, что F(x) — G(x) = С.

Таким образом, зная только одну первообразную F(x) для функции /(х), мы без труда находим и множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функций вида F(x) + С, где С — произвольная постоянная.

Если функция /(х) непрерывна на данном интервале, то у нее существует первообразная на этом интервале.

Неопределенный интеграл

^Совокупность всех первообразных для функции /(х) называется неопределенным интегралом от функции /(х).

Обозначения: J /(х) dx (читается так: «интеграл эф от икс дэ икс»).

Таким образом, если F(x) — какая-нибудь первообразная для функции /(х), то

I /(х) dx = F(x) + С

(в правой части последнего равенства более правильно было бы написать {F(x) -I- С}, поскольку речь идет о множестве всех первообразных, но фигурные скобки, обозначающие множество, обычно не пишут).

Знак J называется интегралом, функция /(х) — подынтегральной функцией, а /(х) dx — подынтегральным выражением.

^Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции.

3В дальнейшем указание интервала (а, 6) будем опускать.

328

Интегрирование — операция, обратная операции дифференцирования (т. е. операции, заключающейся в нахождении производной от данной функции). У всякой непрерывной на данном интервале функции существует неопределенный интеграл.

Основные свойства неопределенного интеграла

Везде далее предлагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. J [/(®) + g(x)] dx = j f(x) dx + J g(x) dx,

т. е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Таблица простейших интегралов

Следующие интегралы обычно называются табличными интеграла-

ми:

1. J 0 • dx = С.

2. fx«dx = ^ + C, (аф-1).

В частности, J ex dx = ex + C.

329