(соответственно, |
|
|
lim ^ |
= к и |
lim \f(x) - кх1 = Ь). |
Х-+-ОС |
X |
X—У—оо |
Частным случаем наклонной асимптоты (при к = 0) является горизонтальная асимптота (рис. 86 в)).
Прямая у = Ь является горизонтальной асимптотой графика функции f(x) при х —> +оо (при х —У — оо) тогда и только тогда, когда
lim f(x) = b
х->+оо 7 (соответственно, lim f(x) = b).
Построение графиков функций
При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой:
1)найти область определения функции;
2)исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;
3)найти участки непрерывности функции, а так же точки разрыва с указанием вида разрыва;
4)найти точки пересечения графика с осями координат;
5)найти интервалы знакопостоянства функции;
6)найти асимптоты;
7)найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;
8)найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
7.4.1. |
Найти интервалы возрастания и убывания функции / ( х ) = |
|
= х3 - 6х2 + 5. |
ОФункция определена на всей числовой оси, а ее производная
равна/'(х) = ЗХ2 -12Х = 3(х —2)(х+2). Функция / ( х ) возрастает тогда и только тогда, когда f'(x)) > 0, т. е. (х — 2)(х + 2) > О, откуда х Е (—оо; —2) U (2; +оо). Аналогично, данная функция убывает в точности когда f'(x) < 0, т.е. (х — 2)(х + 2) < О, откуда х Е ( - 2 ; 2).
Таким образом, функция / ( х ) возрастает на интервалах (—оо; —2) и (2; +оо), а убывает на интервале ( - 2 ; 2). •
Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x):
7.4.2./(х) = (х — 2)2 • (х + 2).
7.4.3.f(x)= ln(x2 - 2 х + 4).
7.4.4.Найти экстремумы функции / ( х ) = х3 — 9х2 + 15х.
ОФункция определена и дифференцируема на всей числовой прямой, причем f'(x) = Зх2 —18х+15 = 3(х —1)(х—5). Критические точки х\ = 1, Х2 = 5. Воспользуемся вторым достаточным