Сборник задач по высшей математике

- 4 - 0

- 3 - 1

1 — ( - 2 )

- 4

- 4

3

2

-

3

1

2

- 3

1

3

2

4

3

2

4

= - 4

- 3

1

+ 4

2 1

+ 3

2

- 3

2

4

3 4

3

2

(2хI zx- - Зу - 3z - 9 = 0,

У = Ю t,

-

2 у + z + 3 = 0

* I' х "

z = - 3 + 2*.

2)

х

_ У+ 30 _ 2 - 2 , 5

х + 1 _

У-7

2 + 4

"

— - 1 '

- 1 ~

5

~

4

б — 2

х-2

у +у +1 1 _2 2

х X _уу++2 2 2 — 1

1

— ~ 2

"

2 "

т = - 1

t = - 5

п — — 1

2

t = t,

р =

1

- 1

t = St.

1

2

3

2

1

Уравнения искомой прямой есть

х + 2

у - 3

2 - 4

или

ж + 2 _ у - 3 _ 2 - 4

- 5*

t

St

- 5

~ 1

~

3

Замечания:

1) Систему уравнений

J т — п + 2р = 0,

I 2т + п + Зр = 0

Р

Р

,

2— + — + 3 = 0.

Р

Р

Отсюда

^

=

^ =

^ т.е. т : п

: р = — 5 :

1 : 3, поэтому

т = —п = t, р =

где t — число.

2) В качестве вектора s можно использовать вектор s\ XS2,

т.к. искомая прямая перпендикулярна данным прямым. Тогда

г

j

к

s

= 1

- 1

2

= — 5i + j + 3fc,

т.е.

т = —5,

п = 1,

р = 3.

2

1

3

5.3.30.

Составить канонические уравнения прямой, лежащей в плос-

кости Оху, проходящей через начало координат и перпендику-

лярной к прямой

х

~ ^

=

= z

~

5.3.31.

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через

точку

Mi(l;— 2; 3) и перпендикулярной к прямым

ж ~ ^

=

_

_ z - 3 х + 2 _ у + 4 _ z-1

~ — 2 '

2

~ - 5 ~

4 '

Дополнительные задачи

5.3.32.

Найти

расстояние

от

точки

М(—5; 4; 3) до прямой

х

—

-

У-3

-

2 - 1

~

3

~

2

'

5.3.33.

Найти расстояние

между

параллельными прямыми

х

~ ^

=

- 2/ + 1 _ г и х - 7 _ 2/ ~ 1 _ г - 3

~ 4 ~ 2 И

3

~ 4 ~ 2

'

Указание. Воспользоваться формулой 5д =

х Ь|.

5.3.34.

Проверить, лежат ли прямые

fx - 22/ + 8 = 0,

ГЗх + 2z - 3 = О,

^2/+ z - 6 = 0

И

[ х - 52/ + 9 = 0

в одной плоскости.

5.3.35.

В уравнении прямой х

~ ^

=

— £ найти параметр гг, при

п

г

V - 4

z + 1

,

котором эта прямая пересекается с прямой ^ =

— =

j

1) ось Ох;

Oyz.

2) плоскость

5.3.38.

Определить величины углов между осями координат и прямой

х-2 _ У Л- 4 _ z — 1

-1 " у/2

" 1 "

5.3.39.

Найти величину тупого угла между прямыми

( х = - 2 ,

и

У = 1 + 24,

z = t.

- * - 3 w х + 2 _ 2/ + 1 _ z + 2

~

4 и

-

2 ~

З

~

4

'

5.3.41.

Найти расстояние между скрещивающимися прямыми х — 5 _

-

2 ~

- У - 8 _ z — 2

тд

х — 3 _ 3 / - 7 _ z - 1

0

~~

3

—

-

2

—

—2

3 *

5.3.42.

Найти уравнение перпендикуляра, общего к двум скрещиваю-

щимся прямыми

х + 4

z — 4

f х =

- 2 + *,

у

=

3-t9

z

=

-l + t.

5.3.43.

Найти кратчайшее расстояние между диагональю куба с ре-

бром, равным 1, и непересекающей ее диагональю грани.

5.3.44.

Найти

уравнение

перпендикуляра,

опущенного из

точки

М(2; - 1 ; - 3 ) на прямую

= \ =

Величина угла между прямой (L) х

= У ~ У°

= z ~ ^Q

и плос-

костью

(Q) Ax + By + Cz + D = 0 определяется по формуле

sin (р =

|Ат + Вп + Ср\

= .

(4.1)

— — .

х/т2 + п2 + р2 • VА2 + В2 + С2

Условие параллельности прямой

(L) и

плоскости

(Q) имеет вид

Ат + Вп + Ср = 0 ;

(4.2)

условие

их перпендикулярности:

5.4.1.

Найти координаты точки, симметричной точке М\ (3; 4; 5) отно-

сительно плоскости х — 2у z — 6 = 0.

О

.

-

( * = 3 + f,

х — 3 _ у — 4 _

2 —

5-(= t)

или

У = 4 - 2*,

1

- 2

2 = 5 + *.

Координаты точки N пересечения перпендикуляра с плоско-

стью находим, решая систему (см. (4.4))

(х = 3 +

у = 4 - 2*,

2 = 5 + *,

- 2</+ z - 6 = 0.

Из равенства (3+*)—2(4—2*) +(5+*)—6 = 0 вытекает равенство

б* — б = 0, т. е. t = 1. Следовательно, я = 3 +1 = 4, у = 4 — 2 = 2,

2 = 5 + 1

= 6, т. е. ЛГ(4;2;6) — точка пересечения прямой и

плоскости. А так как N — середина отрезка М\М2, то

ХМг +

Хм2

,

Ум1 + Ум2

,

ZN =

ZM1 + ZM2

•

XN =

о

2/лг =

Имеем

3 + хМ2

0

4 + 2/м3

*

5 + 2м2

Отсюда находим хм2 — 5, ум2 —

zm2 — 7, т.е. точка М2

имеет координаты (5; 0; 7).

•

5.4.2.

Найти координаты точки, симметричной точке М(2; 8; 0) отно-

сительно прямой

=

=

Z Z\

•

5.4.3.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(2; - 3 ; 0) и прямую

f 2я + ?/ — 62 + 3 = 0,

[х

-у + 22 - 6

= 0.

О Один из способов решения этой задачи мы уже приводили

(см. задачу 5.2.12). Рассмотрим другой подход к решению.

Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через

данную прямую: 2x-hу — б2 + 3 + Л(я — y + 2z — 6) = 0 (см. (2.2)).

Выделим

среди

них

плоскость,

проходящую

через

точку

М(2; —3; 0), подставив ее координаты в уравнение пучка:

2 . 2 - 3 - 6 - 0 + 3 + Л ( 2 + 3 + 2 - 0 - 6 ) = 0.

А = 4 находим уравнение искомой плоскости

2х + у - 6z + 3 + 4(х - у + 2z -

6) =

О,

т. е. 6х - Зу + 2z - 21 = 0.

•

5.4.4.

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

(х — Зу + 5 = 0,

[2я + у + г - 2 = 0

и точку М(0; 1; 2).

5.4.5.

Составить уравнение

плоскости,

проходящей

через

точку

М(4; —3; 6) перпендикулярно прямой

х

~ ^

= У ~ 1

=

5.4.6.

Найти величину угла между прямой

ж ~ ^

=

^ ~ ^

=

и

плоскостью 4я — 2у — 2z — 3 = 0.

О

Применяя формулу (4.1), находим

14 • 1 — 2 • 1 — 2 • (—2)1

6

1

Sin (f = '

- — ,

z = — = — = = - .

л/1 + 1 + 4 • >/16 + 4 + 4

л/б-\/24

2

Значит, у? = ^.

•

5.4.7.

Найти величину острого угла между прямой

{

х - у + z = 0,

2x

+ y-z-3

=

0

и плоскостью 2х + у + 2z — 5 = 0.

5.4.8.

Установить взаимное расположение прямой и плоскости:

'я = 2 - 4 1 ,

1)

< 2/ =

и

5я - 6j/ -f 2z -

10 = 0;

\ z = —3 H- 2t

2 ) X ± l ^ y ^ .

=

z±A

и Зх

у — 4z — 15 = 0.

О

1) Имеем s

=

(—4;1;2), n

=

(5;—6;2). Как видно коор-

динаты направляющего вектора s прямой и нормального век-

тора п плоскости не пропорциональны: прямая не перпенди-

кулярна плоскости (см. (4.3)). Найдем значение выражения

Am + Вп + Ср:

Am + Вп 4- Ср = 5 • ( - 4 ) - 6 • 1 + 2 • 2 = - 2 0 - 6 + 4 = - 2 2 ф 0.

Условие (4.2) параллельности прямой и плоскости не выпол-

няется. Значит,

прямая

пересекает

плоскость.

2) Здесь з

= (3; —1; 2),

п

= (3;1; - 4),

М 0 ( - 1 ; 2 ; - 4 ) ,

Ат + Вп + Ср = 3 • 3 + 1

•

( - 1 )

- 4- 2 = 9 - 1 - 8 = 0. Сле-

довательно, данная прямая параллельна плоскости или лежит

на ней. Проверим условия (4.5) принадлежности прямой плос-

кости:

Ах о 4- Ву0 + Cz0 + D = 3 • ( - 1 ) + 1 • 2 - 4 • ( - 4 ) - 15 = 0.

Условия (4.5) выполняются, поэтому прямая лежит в плоско-

Iх

•

сти.

5.4.9.

Установить взаимное расположение прямой L и плоскости Q:

\2х

0

W и Зх — у + 62 — 12 = 0 (Q);

2) f =

=

^ b Z

(L)

и

5x-z

= 4 (Q).

Дополнительные задачи

5.4.10.

Написать

уравнение

плоскости,

проходящей

через прямую

х — 0 5

и -h 3

=

z -1-2 5

и перпендикулярной к плоскости

——2*- =

j—

3 7

Зх + 4у - 5z - 6 = 0.

5.4.11.

Написать уравнение плоскости, проходящей через параллель-

ные прямые ^ =

= z ± 2 И

= ЦА

=

5.4.12.

Найти координаты точки пересечения прямой Х ^ ^ =

У + ^

_

= z J ^ с плоскостью Зх — 2/ + 2z + 5 = 0.

5.4.13.

Найти координаты проекции точки М(2;2;—2) на плоскость

Зх - 2/ + 2 - 13 = 0.

5.4.14.

Найти координаты проекции точки М(—3; 0; 2) на прямую

х = 5 — 4,

2/= 24,

<

z = 34.

5.4.15.

При каком значении т прямая х

= У ~ ^ = Т Г ^ парал-

лельна плоскости 5х — Зу + 4z — 1 = 0?

5.4.16.

При каких значениях С и D прямая

х ~ ^

= У_ ^

= у лежит

в плоскости 2х — 2/ + Cz -f D = 0?

5.4.17.

Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

М (1; 1; 6) на прямую

f х =

- 1 + 34,

У = 24,

z

=

t.

5.4.29.

Найти уравнения плоскости, проходящей через линию Пересе-,

чения плоскостей

х + Ъу + z = О,

y-z+4=0

и образующей угол (р = ^ с плоскостью х — 4у — 8z + 12 = 0.

5.4.30*.

Доказать, что кратчайшее расстояние

между прямыми f =

= Й 4 s\t и f = г2 4- s2t может быть вычислено по формуле

d =

|(f2 ~ fi)8i82|

\si x 62|

5.4.31.

Можно ли через прямую х g" ^

=

= ^z™^ провести плос-

кость параллельно плоскости 12я — у + 10z — 3 = О?

5.4.32.

Каково уравнение прямой, проходящей через точку 0(0; 0; 0)

перпендикулярно к плоскости х + у + z + 1 = 0?

5.4.33.

Лежит ли прямая у ~

2 = —^ в плоскости Зх 4- 2у 4- z = 0?

А в плоскости Зх 4- 2у 4 z — 1 = 0?

5.4.34.

При каких значениях р и В прямая х ~ ^

=

^ ^ ^

= z ~ ^

перпендикулярна плоскости 6я 4 ify — 3z 4-1 = 0?

5.4.35.

При каком значении А плоскость Ах — 2у 4- 4z 4 5 = 0 парал-

2) Эллипсоид с

полуосями

а,

Ь, с

и

центром в начале координат

( Р И С . 57)

_

2

2

2

-

У1

+

_

a

2 + 7 2

c

2

—

b