Сборник задач по высшей математике

4.3.17.

Найти при каких значениях к прямая у = кх пересекает окруж-

ность х2 + у2 — 8х — 2у + 16 = 0; касается этой окружности.

4.3.18.

Найти уравнения касательных к окружности х2 + у2 = 5, па-

раллельных прямой у = 2х + 1.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4.3.19*.

Найти уравнение касательной к окружности х2

+ у2 = R2 в

точке (яо5 2/о)-

4.3.20*.

Найти длины отрезков касательных, проведенных из точки

А(6; 3) к окружности (х — I)2 + (у + 2)2 = 1 от этой точки до

точек касания.

4.3.21*.

Найти

уравнение окружности, симметричной

окружности

х2 — 2х + у2 + Ау + 4 = 0 относительно прямой х + у — 5 = 0.

4.3.22.

Можно ли провести окружность через четыре точки: (1;—2),

(5; 2),

(5; —6),

(7; 1)?

4.3.23.

Пройдет ли окружность с центром в точке (—3; 4) и радиусом

R = 5 через начало координат?

4.3.24.

Какие из точек А(—2; 7), В( 1; 5), С(2; 3,9) лежат внутри круга,

ограниченного окружностью (х + 2)2 + (у — I)2 = 25?

4.3.25*.

Написать уравнение множества окружностей, образованного

параллельным переносом окружности х2 + у2 + 10х — 6у + 25 = 0

вдоль оси Ох.

4.3.26.

Дано множество концентрических окружностей х2 + у2 + 12у +

+ С =

0. Найти уравнение той окружности, радиус которой

Каноническое уравнение эллипса:

i ? + £ = 1'

(3-4)

с2 = а2 -Ь2.

(3.5)

О

1

х

\Fi

Рис. 32

Рис. 33

Фокальные радиусы определяются формулами:

ri=a + ex, Тч—а-ех ( r i + r 2 = 2a).

(3.7)

Директрисами эллипса называются прямые 1\ и

параллель-

х = -а и х = —а.

(3.8)

X2 + у2 = а2;

2) если фокусы эллипса лежат на оси Оу, то эллипс имеет вид, изо-

браженный на рисунке 33: В этом случае:

Ь > а, с2 = Ь 2 - а 2 ,

(3.9)

с

(3.10)

уравнения директрис у =

3) уравнение эллипса с осями, параллельными координатным, имеет

ВИД

/_

_

( _

\2

(х - х0)2

(;у ~ 2/о)2 _ ,

(3.11)

а-

ft*

где (хо;2/о) — координаты центра эллипса (рис. 34);

4) уравнения

х

= acos£,

t е

[0; 2тг]

{ у = bsin£,

4.3.27.

Показать, что уравнение 4я 2 + Зу2 — 8х+12у — 32 = 0 определяет

эллипс, найти его оси, координаты центра и эксцентриситет.

О

Преобразуем данное уравнение кривой. Так как

4х2 + Зу2 - 8х + 12у -32

= 4(х2 - 2х) + 3(у2 + 4у) - 32 =

= 4(ж2

- 2я + 1 -

1) + 3(t/2 + 4у + 4 - 4) - 32 =

=

4{х - I)2 - 4 + 3(2/ + 2)2 - 12 - 32,

то уравнение можно переписать в виде 4(я —1)2+3(?/ + 2)2 = 48,

(я _ л

2

+ 2)2

Получили уравнение вида (3.11);

т.е. -

—

—

^ ^

—

его центр симметрии имеет координаты (1;—2). Из уравнения

находим: а2 — 12, а = 2у/3 и Ь2 = 16, Ь = 4 (Ь > а). По-

этому с = y/b2

— а2

= V16 — 12 = 2. Эксцентриситет эллипса

г = — = —

Ш

6

Ъ

2'

W

4.3.28.

Дано уравнение эллипса 24ж2 + 49у2 = 1176. Найти:

49

24

1.

1) Отсюда а2

= 49, Ь2 = 24, т. е. а = 7, Ь = 2л/б.

2) Используя

соотношение

(3.5),

находим с2 = 72— (2у/б)2 =

= 25, с = 5. Следовательно, Fi(—5; 0)

и ^ ( 5 ; 0 ) .

ij

4) Уравнения директрис

(3.8)

имеют вид х=±-г, т.е. х = Щ

7

5

и х= —^р расстояние между ними

~~

= ^ = 19,6.

5) По формуле ri = а + еж находим абсциссу точек, рассто-

яние от которых до точки F\

равно 12: 12 = 7 +

с^х, т.е. х = 7.

Подставляя значение х в уравнение эллипса, найдем ординаты

этих точек:

24 • 49 + 49у2 =

1176,

49у2 = 0,

у

= 0. Условию

задачи удовлетворяет точка А{7; 0).

•

4.3.29.

Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и урав-

нения директрис эллипса 16х2 + 2Бу2 — 400 = 0.

4.3.30.

Составить уравнение эллипса, зная, что:

1) его большая полуось равна

10

и фокусы

суть

Fi(—6;0),

F2 (10;0);

2 ) a = 5 , F i ( - 3 ; 5 ) , F 2 ( 3 ; 5 ) .

4.3.31.

Составить

уравнение

эллипса,

проходящего

через

точки

Afi(2;-4VS) и М2(—1; 2%/l5).

О Уравнение эллипса ищем в виде (3.4)

2

2

а2 + Ь2

Так как эллипс проходит через точки М\ и М

2 , то их коор-

динаты удовлетворяют

уравнению

эллипса:

4

48

1

^

+ ^

= 1 и

с первым, находим — АДД = —3, т.е. Ь2 = 64. Подставляя най-

Ъ

денное значение Ь2 в первое уравнение, получаем \ +

= 1,

откуда а2 = 16. Таким образом, искомое уравнение эллипса

естьй + ё = 1-

•

1) М 1 (2л/3;0,4л/!0) и М 2 ( - | ;

— точки эллипса;

ной к эллипсу имеет вид у = —х + с. Общие точки прямой и

эллипса находим, решая систему уравнений

2

2

20

5

'

у = -х + с.

Получаем

+ х2 ~ 2™ + ^ =

1, т. е. Ъх2 - Sex + 4с2 - 20 = 0.

64с2

- 4 • 5 (4с2

- 20)

= 0

или 4с2 - 5(с2 — 5) =

0. Значит,

есть

два

решения: с\

= 5

и C2 = —5. Условию задачи удовлетворяют две касательные:

у = —х + 5 и у = —х — 5.

•

4.3.35.

При каких значениях а прямая у = х — а пересекает эллипс

х2 + 2у2 - 4 = 0? Касается его?

4.3.36.

Эллипс касается оси Оу в точке А(0; 2) и пересекает ось Ох в

точках В(4; 0) и С(10;0). Составить уравнение эллипса, если

оси его параллельны осям координат.

4.3.37.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси

Оу, а малая ось равна

Каждый из фокусов равноудален

от центра эллипса и от ближайшего конца фокальной оси.

2

О Уравнение эллипса

имеет вид

+ р-

=

1, Ь

> а.

По

условию задачи 2а =

2\/3, т.е. а

= \/3, и

с

=

Так

как

с2 = b2 - а2

(3.9),

то получаем:

i 2

- 3,

т.е. Ь2 = 4. Та-

^ = Ъ2

2

+

у2

•

ким образом, уравнение эллипса есть

= 1.

4.3.38.

Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены

на оси Оу, симметрично относительно начала координат, если:

1) его полуоси равны 5 и 8;

2) 2с = 2 4 , е =

Дополнительные задачи

4.3.39.

Найти длину диаметра (хорда, проходящая через центр) эл-

липса Зх2 + 8у2 = 22, делящего угол между осями координат

пополам.

4.3.40.

Найти координаты точек эллипса 16х2 + 25у2 — 400 = 0, для

которых расстояние от левого фокуса в два раза больше рас-

стояния от правого фокуса.

4.3.41.

Найти длину хорды эллипса х2 + 10у2 — 10 = 0, проходящей

через его фокус параллельно малой оси.

4.3.42.

Найти длину хорды эллипса

2 + у2 = 1, направленной по

диагонали прямоугольника, построенного на осях эллипса.

2

2

4.3.43.

Найти координаты точек эллипса yg +

= 1, в которых фо-

кальные радиусы перпендикулярны.

4.3.44.

Определить траекторию перемещения точки М, которая при

своем движении остается одинаково удаленной от точки А(2; 0)

и от окружности х2 + у2 = 16.

4.3.45.

Определить траекторию перемещения точки М, которая при

своем движении остается вдвое ближе к точке А(—1;0), чем к

прямой ж — 8 = 20.

4.3.46.

В эллипс х2 -Ь — 1 вписан правильный треугольник, одна из

вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти

координаты двух других вершин треугольника.

4.3.47.

В эллипс

2

= 1 вписан квадрат так,

что стороны его

+

параллельны осям эллипса. Найти площадь квадрата.

4.3.48.

Найти уравнения касательных к эллипсу х2 + 2у2 = 3, парал-

лельных прямой х — 2у + 1 = 0.

4.3.49.

Найти координаты точки эллипса 4х2 + 9у2 — 72 = 0, наиболее

удаленной от прямой 2х — Зу — 1 = 0, вычислить расстояние от

этой точки до данной прямой.

4.3.50.

Найти координаты точки эллипса 9х2 + 2Бу2

= 450, расстояние

от которой до правого фокуса в 4 раза больше расстояния до

левого фокуса.

4.3.51.

Вывести условие, при котором прямая Ах+Ву+С = 0 касается

rr2 V2 1

эллипса ^ + тт = 1.

а

о

4.3.52.

Доказать оптическое свойство эллипса: луч света, выходящий

из одного фокуса эллипса, отразившись от него, проходит через

второй фокус.

Указание. показать, что касательная к эллипсу образует рав-

ные углы с фокальными радиусами точки касания.

4.3.53.

Эллипс, симметричный относительно осей прямоугольной си-

стемы координат, касается двух прямых х + 2у — \/39 = 0 и

х — Зу + 7 = 0. Найти его уравнение.

4.3.54.

Отрезок постоянной длины скользит своими концами по сторо-

нам прямого угла. Найти уравнение кривой, описываемой фик-

сированной точкой М этого отрезка.

4.3.55.

Доказать, что отношение расстояний от любой точки эллипса

до фокуса и соответствующей директрисы есть величина по-

стоянная, равная е.

4.3.56.

Чему равен эксцентриситет земного меридиана, имеющего фор-

му эллипса, отношение осей которого равно

4.3.57.

Сколько касательных можно провести к эллипсу 4х2 + Ъу2 —

- 8 0 = 0 из точки Mi(0;4), М2( 1;2), М3(5;3)?

4.3.58.

Чему равен эксцентриситет эллипса, у которого малая ось рав-

на расстоянию между фокусами?

4.3.59.

Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого со-

2

?/2

впадают с вершинами эллипса yg +

= 1?

а2

(3.12)

Ь2 ~

Рис. 35

между фокусами (рис. 35). Числа а, Ь и с связаны соотношенем

с2 = а 2 + Ь2.

(3.13)

^

Число е =

-с

(£ > 1, т. к. с > а).

(3.14)

а

называется

эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами: для точек правой ве-

тви гиперболы:

т*1=а + £ж,

т*2 = — а + £х\

(3.15)

для точек левой ветви:

7*1 = — а — ех,

7*2 = а — £х.

(3.16)

у = ±-х.

(3.17)

а

отстоящие от нее на расстоянии, равном

называются дирек-

трисами гиперболы. Их уравнения

х = -а и х — —а.

(3.18)

х 2 — у2

= а2 .

(3.19)

2) если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы

имеет вид

2

2

У! _

а-2

- 1

(3.20)

ь2

~

Эксцентриситет этой гиперболы равен е =

асимптоты определяются

уравнениями у =

я, а уравнения директрис ?/ = ± Гипербола (3.20)

ц

\ Тч

/ Т /

Уо

А1

!

N.

Г

/1

|

N.

1 \

О

Хо

X

Рис. 36

Рис. 37

3) уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, име-

ет вид

(у - Уо)2 = 1,

(ж - хо)2

(3.21)

а

Ьг

где (жо;2/о) — координаты центра гиперболы (рис. 37).

4.3.60. Дано уравнение гиперболы Бх2

— 4у2

= 20. Найти:

2 _

2Г2 _

4

5

Отсюда:

1)

а2 = 4, б2 = 5, т.е. а = 2, 6 = л/5;

2)

используя соотношение

(3.13), находим с2 =4 + 5, т.е.

(3.17) и (3.18): у =

и ж = ±|;

5) точка М лежит на правой ветви гиперболы (х = 3 > 0),

о

воспользуемся формулами (3.15):

ri

= 2 + ^ • 3 = 6,5, г 2 =

= - 2 + 2 . 3 = 2,5.

•

4.3.61.

Составить уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси

Оу и расстояние между ними равно 10, а длина действительной

оси равна 8.

О Искомое уравнение гиперболы имеет вид (3.20). Согласно

условию 2с = 10, с = 5; 26 = 8, 6 = 4. Из соотношения (3.13)

найдем мнимую полуось а: 25 = а 2 + 16, а2 = 9, а = 3. Получаем

2 — 2 = 1 — уравнение гиперболы.

#

4.3.62.

Составить каноническое уравнение гиперболы, если:

1) 2с = 10, а = 3;

2) с = 3, е = 1,5;

3) Ь = 6, уравнения асимптот у =

х.

4.3.63.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) с = 10 и уравнения асимптот у =

х;

о

о

2) £ = ^ и расстояние между директрисами равно

3) s = л/2 и точка М(>/3; л/2) лежит на гиперболе.

4.3.64.

Найти уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точ-

ках Fi(—2; 4) и F2 (12;4), а длина мнимой оси равна 6.

О Центр гиперболы лежит на прямой у = 4, параллельной оси