Сборник задач по высшей математике

Глава 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

•

§1. ВЕКТОРЫ. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

^ Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом АВ (или одной буквой, а, 6, ... ) . Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора А В и обозначается \АВ\, \а\. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 или просто 0. По определению нулевой вектор не имеет направления и коллинеарен любому вектору. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ё.

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается а0 . Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный вектору а, обозначается —а; вектор А В противоположен вектору В А (ВА = -АВ).

^Векторы а и Ь называются коллинеарными< если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают а || Ь. Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

^Два коллинеарных вектора а и Ь называются равными (а = Ь), если они сонаправлены и имеют равные длины.

Совместим параллельным переносом начала неколлинеарных векторов а и Ь. Начало и концы векторов образуют вершины треугольника. Углом между векторами а и Ь называется угол при вершине этого треугольника, соответствующий началу векторов. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен нулю; если противоположно направлены — угол между ними равен 180°.

Обозначение: с — а + Ь.

Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рис. 1 и 2 соответственно.

91

Под разностью векторов а и Ь понимается вектор с такой, что b 4- с = = а. Обозначение: с — а — Ь. Справедливо равенство а — Ь = а + (—5).

/

Рис. 1

/

Рис. 2

^ Произведением вектора а ф 0 на число А ф 0 называется вектор, который имеет длину |А| • |а|, его направление если А > О и противоположное направление, если А < 0.

Обозначение: А • а.

Отметим, что а = \а\ • а0, т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Два ненулевых вектора а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них есть произведение другого на некоторое число, т. е. Ь = А • а, А — число (признак коллинеарности векторов).

Три ненулевых вектора а, 6, с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, например, с = Ai • а + Аг • 5 (Ai, Аг — числа не равные нулю одновременно) (признак компланарности векторов).

на стороны ВС. Выразить вектор AM через векторы а и Ь.

О Через точку М проведем прямые, параллельные сторонам АВ и АС. Получим параллелограмм ABiMCi (рис. 3), в котором AM

92

является диагональю. Следовательно, AM = АВ\ + АСНо АВ\ = i a, ACi = ^ 6 (#iM и CiM — средние линии, поэтому

ABi = BiB, ACi = С\С). Получаем AM = ± • а + ± • Ь, т.е.

3.1.2.Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы

аи 6, чтобы имело место соотношение |а + Ь| = \а — Ь\?

ОПостроим на векторах а и 6, отложенных от точки О, параллелограмм OADB (рис. 4).

Тогда OD = а+ ВА = а-Ь.

Равенство |а + b\ = \а — Ь\ означает, что длины диагоналей

параллелограмма равны, т.е. \АВ\ = \OD\. Отсюда следует, что данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторы а и Ь перпендикулярны. •

3.1.3.По данным векторам а и Ь построить векторы:

1)^а — 26; 2) 4 a + 6;

3)2 . ( a - 5 ) ;

4)|(a + 2g) - i ( a - 2 6 ) - a - 6 .

3.1.4.Даны векторы а и b. Коллинеарны ли векторы с— а — 2\/3 • Ь и d = -у/3 • а + 6 • Ь?

3.1.5.При каких значениях Л векторы 2А • а и (Л3 - 1) • а, (а ф 0) имеют одинаковое направление?

3.1.6.При каких значениях х векторы х3 • а и (х2 — х — 2) • а, а ф 0, противоположно направлены?

3.1.7.Дано: \а\ = 13, |Ь| = 19, \а + Ъ\ = 24. Найти |а - Ь|.

3.1.8.Дано: а ±Ь, \а\ = 5, \Ь\ = 12. Найти \а + Ь\и\а- Ъ\.

3.1.9.В треугольнике ABC: М — точка пересечения медиан треугольника, AM = a, AC = b. Разложить АВ и ВС по векторам

аи Ь.

3.1.10.В параллелограмме ABCD: АТ и М — середины сторон ВС

93

^ Проекцией вектора АВ па ось I называется число, равное длине вектора А\ВХ (рис. 5), взятой со знаком «плюс», если на-, правление вектора A\Bi совпадает с направлением.оси и со знаком «минус» в противном случае. Точки А\, В\ — это точки пересечения оси I с перпендикулярными ей плоскостями, проходящими через точки А, В.

Рис. 5

Обозначение пр^ АВ. Основные свойства проекции:

1.npj(a + 5) = npj а + npj 6;

2.npi(\ • а) = А • npj а.

Если г, j, к — орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор а единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами

az: а = ax-i+ay-j+az-k. Коэффициенты ах,ау и az линейной комбинации называют координатами вектора а в базисе г, j и к. Координаты ах, ау, az вектора а — это его проекции на соответствующие координатные оси. Вектор а с координатами ах> az записывают в виде а = (ах;ау] az). Длина вектора а определяется по формуле

Вектор а образует с координатными осями Ох, Оу и Oz углы а, /3 и 7 соответственно. Направление вектора а определяется с помощью направляющих косинусов: cos a, cos/3, cos7 для которых справедливы равен-

94

2) векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда их соот-

при вычитании — вычитаются, при умножении вектора на число — умножаются на это число:

а±Ь = (ах =Ь Ьх; ау ± Ъу,az ± bz),

Л • а = (А • ах; Л • ау; Л • az).

Вектор г = ОМ, соединяющий начало координат с произвольной точкой М (х; у; г) пространства называется радиус-вектором точки М. Ко-

и В (х2; Уъ\ z2), то его координаты ах , а^, а2 вычисляются по формулам

3.1.15. Найти координаты вектора а, если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору Ь = 5 • г — 4 • j + 2\/2 • fc, и его модуль равен 5.

О Можно записать, что а = 5 • а0 . Так как вектор а напра-

95

3.1.16.Вектор а составляет с осями Ох и Оу углы а = 60° и Р = 120°. Найти его координаты, если \а\ =2.

Условию задачи удовлетворяют два вектора а\ и а2: а\ с направляющими косинусами cos а = 1, cos Р — — c o s 7 =

и а2 с направляющими косинусами cos а = 1, cos Р = — 1,

96

Итак, сила F = 8 действует в направлении вектора, обра-

3.1.20.Доказать, что в любом треугольнике длины его сторон пропорциональны синусам противолежащих углов (теорема синусов).

О Рассмотрим треугольник ABC. Пусть В А = с, ВС = а, АС = 5. В плоскости треугольника ABC возьмем вспомогательную ось /, перпендикулярную, например, вектору 5 и спроектируем на эту ось векторы а, 5 и с (рис. 6). Так как 5 = а — с, то npz 5 — прi(a — с), т.е. прi(a — с) = 0, (прг 6 = 0, т.к. 5 _L I). Поэтому npz а — npz с = 0, т. е. npf а = прг с.

Но пр;а = |а| • cos(90° — С) = \а\ • sin С, a ПР/С = |с|х х cos(90° - А) — \с\ • sin Л. Поэтому \а\ - sin С — \с\ sin Л или

7 - 2361

Дополнительные задачи

98

3.1.43.Даны радиус-векторы вершин треугольника ABC: та = i + 2j+ +3fc, г в = Зг -I- 2j + fc, f с = г + 4j + fc. Показать, что треугольник ABC равносторонний.

3.1.44.Радиус-вектор точки М составляет с осью Оу угол 60°, а с осью Oz угол 45°; его длина \г\ = 8. Найти координаты точки М, если ее абсцисса отрицательна.

3.1.45.Три вектора а, Ь и с попарно перпендикулярны, а длины их соответственно равны 2, 3 и 6. Найти длину суммы S этих векторов и направляющие косинусы вектора S.

3.1.46.Три силы F1, F 2 , Fз приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Найти величину их равнодействующей F, если известны величины сил: |Fi| = 2, |F2| = 10, \F з| = 11.

3.1.47.Найти равнодействующую силу R сил F\ и F 2 , а также углы аи|9, составляемые силой R с силами F\ и F 2 , если |Fi| = 15, |F2| = 10; угол между силами Fi и F2 равен 45°.

3.1.48. Найти направление и скорость ветра, являющегося результатом взаимного действия морского бриза, дующего со скоростью 14 м/с на берег и ветра, дующего с берега на море со скоростью 9 м/с и под углом в 60° к береговой линии.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

3.1.49.К двум тросам подвешен груз массой 30 т так, как это показано на рис. 7. Определить силы, возникающие в тросах, если Z.ACB = 120°.

99