Сборник задач по высшей математике
.pdf
треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Три слагаемых, входящих в сумму (2.1) со знаком « - » , определяются аналогично, но относительно второй (побочной) диагонали:
«+»
2. Разложение определителя 3-го порядка по первой строке:
detA = an |
0,22 |
О 23 |
^21 |
а23 |
|
О 21 |
0-22 |
(2.2) |
|
032 |
озз |
- а 12 • ^31 |
азз |
+ ai3 |
^31 |
^32 |
|||
|
|
При таком способе вычисления определителя каждый из трех элементов ciij первой строки умножается на определитель 2-го порядка, составленный из элементов матрицы А, оставшихся после вычеркивания 1-й строки и j-го столбца. При этом слагаемое с множителем aij умножается на число (—l)1"1"^:
— |
— |
( - 1 )1+2 |
|
— |
— |
|
detA = ( - 1 ) 1 + 1 • an <->21 0,22 0,23 + |
Ol2 |
^21 |
^22 |
023 |
||
Ц31 |
OS2 O33 |
|
|
^31 |
932 |
озз |
|
+ |
( - 1 )1+3 |
Ol3 |
a2i |
a22 |
^23 |
|
|
|
|
^31 |
^32 |
4зз |
Таким образом, вычисление определителя 3-го порядка сводится к вычислению 3-х определителей 2-го порядка. В общем случае можно вычислять определитель n-го порядка квадратной матрицы А, сводя его к вычислению п определителей (п — 1)-го порядка.
3. Разложение определителя п-го порядка по первой строке. Аналогично последней формуле, имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<'21 |
а>12-«13 |
|
|
&*TL |
||
|
022 |
023 |
• |
|
0,2п |
||
detA = (—1)1+1 • an |
С 31 |
032 |
озз |
• |
• |
Озп |
|
сni |
оп2 |
апз |
|
|
|
|
|
20
|
|
|
&rt—— |
|
|
|
|
|
|
||
|
1+2 |
|
a 21 |
^22 |
|
^23 |
0-2n |
|
|||
+ ( - 1 ) |
ai2 |
^31 |
^32 |
|
^33 |
a>3n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0>nl ("П2 0>п3 |
an |
|
|
|||||
|
|
|
a r t — — |
|
|
-От |
|
|
|||
|
|
|
a2i |
|
a22 |
|
^23 |
0>2n |
|
|
|
+ ( - l ) 1 + 3 - a 1 3 - |
^31 |
|
^32 |
|
<>33 |
a>3n |
|
|
|||
|
|
|
Q>nl |
an2 |
|
L nS |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
art——Q13 |
|
|
|
|
|
|
|
1+n |
|
|
fl21 |
^22 |
^23 |
t>2 n |
|
|
|
+ |
( - 1 ) |
ain |
^31 |
^32 |
азз |
С'Зп |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0"nl 0>п2 0>п3
т. е.
|
^22 |
^23 |
а>2п |
|
|
|
|
det А = ац |
^32 |
^33 |
а>3п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а>п2 а>пз |
|
|
|
|
|
|
^21 |
^23 |
|
а>2 п |
а21 |
а22 |
а24 |
а>2 п |
^31 |
^33 |
|
а>з п |
^31 |
а32 |
^34 |
а>зп |
- а 12 |
|
|
+ а13 |
|
|
|
|
0"п1 а>пг |
|
|
^nl |
^п2 |
0>п4 |
0>пп |
|
|
|
|
|
|
a2i |
а22 |
0>2п-1 |
|
|
|
. . . + ( - 1 )1+п |
|
|
|
а>Зп-\ |
|
|
|
|
^31 |
^32 |
(2.3) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Q"nn—1
0"п1 0>п2
Аналогично задаются другие способы вычисления определителя п-го порядка — «разложение» по произвольной строке или произвольному столбцу — (2.4), (2.5).
Определителем |
(детерминантом) |
1-го порядка |
квадратной |
матрицы |
А = (ail) называется значение ац: det А = ац. |
|
|
||
Дополнительным |
минором Mij к |
элементу а^ |
квадратной |
матрицы |
А называется минор, составленный из элементов А, оставшихся после вычеркивания г-й строки и j-ro столбца.
21
Алгебраическим дополнением Ац к элементу ац квадратной матрицы
А — (ац) называется произведение Ац — (—1)*+-? • Мц.
/ 1 |
2 |
3\ |
Например, в матрице I 4 |
5 |
6 1 минором М21 является определи- |
\7 |
8 |
0 / |
те ль, составленный из элементов матрицы, оставшихся после вычерки-
2
вания 2-й строки и 1-го столбца: ( ^—ё—&
|
|
|
8 |
0 |
|
2 |
3 |
" |
|
Таким образом, М21 = |
8 |
0 |
= 2 - 0 — 3 - 8 = -24; соответственно, |
|
алгебраическим дополнением А21 |
будет число А21 = (—1)2+1 • М21 = |
|||
= ( - 1 ) 3 • ( - 2 4 ) = 24. В новых обозначениях, аналогично формуле (2.2), записывается формула «разложение определителя 3-го порядка по первой строке»:
з
det А = ап • Ац + а12 • Аг2 + ai 3 • А13 = ^ а ^ • Aij. 3=1
Аналогично формуле (2.3) записывается формула «разложение определителя n-го порядка по первой строке»:
п
det А = ацАц + ai2 • Ai 2 Н h ain _i • Ain _i + a i n • Ain = ^ aij • Aij. 3=1
4. Разложение определителя n-го порядка no i-й строке:
|
|
|
|
|
|
|
n |
det A = ац • Ац + a<2 • |
H |
|
h ain-1 • Ain-1 + a^n • Ain = ^ ац • Ац, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
j=i |
|
|
|
|
Уг = T~n. |
(2.4) |
||
5. Разложение определителя |
n-го порядка |
по j-му столбцу: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
det А = aij • Aij -h a2j • A2j Л |
|
|
Ь an-ij • An-ij + an j • An<7- = ^ ац • A^- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
Vi = M . |
(2.5) |
||
6.Метод приведения к треугольному виду заключается в приведении определителя (с помощью элементарных преобразований) к такому виду, когда все элементы, расположенные по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю.
7.Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что определитель n-го порядка выражают через определители того же вида, но более низкого порядка, используя элементарные преобразования и разложение по строке или столбцу.
22
Свойства определителей
1.Если у определителя какая-либо строка (столбец) состоит только из нулей, то определитель равен 0.
2.Если какие-либо две строки (два столбца) определителя пропорциональны, то определитель равен 0.
3.Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить на произвольное число, то и весь определитель умножится на это число.
4.Если две строки (два столбца) определителя поменять местами, то определитель изменит знак.
5.Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить ка- кую-либо другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то определитель не изменится.
6.Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
Матрица, определитель которой равен 0, называется вырожденной; матрица, определитель которой не равен 0, называется невырожденной.
1.2.1. |
Вычислить определитель второго порядка |
1 |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 |
2 |
= 1 - 4 - 2 - 3 = - 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислить |
определители |
второго |
порядка: |
|
|
|
|
|
|
||||
1.2.2. |
1 |
2 |
|
|
|
1.2.3. |
- 3 |
5 |
|
|
|
|
|
- 3 |
- 4 |
|
|
|
о |
о |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.2.4. |
х |
ху |
|
|
|
1.2.5. |
а |
Ь |
|
|
|
|
|
1 |
У |
|
|
|
|
с |
d |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1.2.6. |
COS if |
Sin if |
|
|
1.2.7. |
tg (р |
1 |
|
|
|
|||
— sin (f |
cos (f |
|
|
- 1 |
tg <р |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решить |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2.8. |
2x +1 |
|
3 |
|
|
|
я + З |
|
х- 1 |
|
|
||
ar + 5 |
|
2 = 0. |
|
1.2.9. |
1-х |
|
х — 1 |
= |
0. |
||||
1.2.10. |
2x - 1 |
|
x + 1 |
= |
- 6 . |
1.2.11. |
х - 2 |
|
у + 3 |
= 0. |
|||
|
x+2 |
|
x-1 |
|
|
|
-у- |
3 |
|
х-2 |
|
||
1.2.12. |
sin 2x |
|
sin x |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.2.13. |
Вычислить определитель 3-го порядка: |
3 |
2 |
1 |
|
|
|||||||
2 |
5 |
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
2 |
|
|
23
О Вычисляя определитель разложением по первой строке, получим:
5 |
3 |
- 2 - |
2 |
3 |
+ 1- |
2 |
5 |
4 2 |
3 2 |
3 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=3- (5 - 2 - 3- 4) - 2 • (2 - 2 - 3- 3) + 1 • (2 - 4 - 5 - 3) =
=3 • ( - 2 ) - 2 • ( - 5 ) + 1 • ( - 7 ) = - 3 .
Вычислить определители 3-го порядка: |
|
|
||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
1.2.14. |
4 5 6 |
1.2.15. |
|
|
||
|
7 |
8 |
9 |
|
|
|
1.2.16. |
3 |
|
- 1 |
|
|
|
- 2 |
|
3 |
1.2.17. |
|
|
|
|
4 |
|
- 3 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1.2.18. |
4 |
5 |
9 |
1.2.19. |
|
8 |
|
16 |
25 |
81 |
25 |
49 |
64 |
1.2.20. Вычислить определитель с помощью «правила треугольников»
1 |
О |
О |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
3 |
О Из шести слагаемых не равным нулю будет только одно: + 1 - 2 - 3 = 6. •
Вычислить определители с помощью «правила треугольников»:
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
X |
0 |
1.2.21. |
0 |
2 |
0 |
1.2.22. |
У 0 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
z |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
1.2.23. |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
0 |
5 |
0 |
|
|
|
|
1.2.24. Вычислить определитель разложением по какой-нибудь строке или столбцу:
5 |
|
6 |
3 |
0 |
|
2 |
0 . |
7 |
- |
4 |
5 |
О Удобнее всего вычислять определитель разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество ну-
24
лей. Разложим определитель по 2-й строке:
|
2+1 |
6 |
3 |
|
2+2 |
|
5 |
3 |
+ ( - 1 ) 2 + 3 . 0 . |
( - 1 ) |
|
- 4 5 |
+ ( - 1 ) |
|
7 |
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 • (25 - 21) = 8. |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
2 |
|
|
1.2.25. Вычислить определитель |
- 5 |
3 |
- 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
6 |
0 |
3 |
|
|
О При разложении определителя 3-го порядка по строке или столбцу, знаки («+» или « - » ) перед слагаемым а^ • Мц проще всего запомнить в следующем виде:
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
Разложим определитель по 2-му столбцу:
32
-0 + 3. 6 3 - О = 3 • (9 - 12) = - 9 .
Вычислить определители 3-го порядка разложением по какой-нибудь
строке |
или |
столбцу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
а |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.2.26. |
|
7 |
1 |
6 |
|
|
|
|
1.2.27. |
|
Ь с d |
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
е |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
- 3 |
|
|
|
||||||
1.2.28. |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1.2.29. |
|
0 |
1 |
- 1 |
|
|
|
||
|
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
3 |
- 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
sin a |
cos а |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2.30. |
|
sin/? |
cos/3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
sin 7 |
cos 7 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решить |
уравнения |
и |
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
- 1 |
|
|
- 2 |
|
|||
1.2.31. |
-1 |
|
7 |
|
х - 3 = 0 . |
1.2.32. |
|
2-Зх |
|
|
5 > 0 . |
|||||||
|
5 |
- |
3 |
|
|
6 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|||
|
- 1 |
|
|
0 2х + 3 |
|
6 |
|
3 |
|
|
х — 1 |
|
||||||
1.2.33. |
|
3-х |
|
|
1 |
|
1 |
= 0. 1.2.34. |
|
2х |
1 |
|
0 |
= 0. |
||||
|
|
2я + 1 - 1 |
|
2 |
|
|
4 х + 2 |
2 |
|
|||||||||
1.2.35. |
Доказать равенство, используя свойства определителей: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Oi |
bi |
ci + aix + b\y |
|
|
Oi |
bi |
Ci |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
02 |
Ь* |
C2 + Й2® + £>21/ |
= |
02 |
62 |
С2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
03 |
Ъг |
c3 + а3а: + b3y |
|
|
аз |
Ьз |
сз |
|
|
||
25
О Так как третий столбец левого определителя можно представить в виде суммы трех столбцов, этот определитель можно представить в виде суммы трех определителей:
|
bi |
С\ |
|
аг |
bi |
а\х |
|
аг |
Ьг |
Ь\у |
а2 |
ь2 |
С2 |
+ |
а2 |
ь2 |
а2х |
+ |
|
ь2 |
Ь2у |
аз |
Ьз |
сз |
|
аз |
Ьз |
а$х |
|
а>з |
Ьз |
ЬзУ |
Третий столбец во втором определителе пропорционален пер- |
|
вому столбцу, а в третьем определителе — второму столбцу, |
|
следовательно, оба этих определителя равны нулю. Что и за- |
|
вершает доказательство. |
• |
Доказать |
равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а\ — хЬ\ |
а\ + хЬ\ |
|
|
а\ |
Ьг |
|
|
|
|
|
С\ |
|
С\ |
|
|
|||||
1.2.36. |
а2 — хЬ2 |
а2 + xb2 |
с2 |
= 2х |
а2 |
Ь2 |
с2 |
|
|
|
|
аз — хЬз |
аз + хЬз |
сз |
|
аз |
Ьз |
сз |
|
|
|
|
а 1 + хЬ\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а\х + Ь\ |
с\ |
|
|
|
а\ |
Ь1 |
С\ |
||
1.2.37. |
а2 + хЬ2 |
а2х -h Ь2 |
с2 |
= (1--х2) |
а2 |
ь2 |
С2 |
|||
|
аз + хЬз |
азх + Ьз |
сз |
|
|
|
аз |
Ьз |
сз |
|
Вычислить, используя |
свойства |
определителей: |
|
|
||||
|
sin2 а |
cos2 |
а |
|
|
sin2 а |
cos2 а |
cos 2 a |
1.2.38. |
sin2 р |
cos2 р |
1.2.39. |
sin2 р |
cos2 р |
cos2p |
||
|
sin2 7 |
cos2 |
7 |
|
|
sm2 7 |
cos2 7 |
cos 27 |
|
|
b + c |
|
|
|
|
|
|
1.2.40. |
|
c + a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a + 6 |
|
|
|
|
|
|
1.2.41. |
Вычислить определитель 4-го порядка разложением по строке |
|||||||
|
или столбцу: |
- 2 |
- 3 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Д = |
1 |
- 1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
- 1 |
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
О |
- 2 |
1 |
|
|
О Удобнее пользоваться разложением по строке или столбцу, содержащим наибольшее количество нулей. Разложим определитель по первой строке:
|
- 1 |
2 |
2 |
|
1 2 |
2 |
|
1 - 1 |
2 |
||
Д = ( - 2 ) . |
- 1 |
5 |
- 2 |
— (—3) - |
3 |
5 |
- 2 |
+ 0- |
3 |
- 1 |
- 2 |
|
- 2 |
4 |
1 |
|
0 |
4 |
1 |
|
0 |
- 2 |
1 |
1 |
|
- 1 |
2 |
- 2 3 |
- |
1 5 |
= - 2 • 9 + 3 • 31 + 0 - 2 • 6 = 63. |
0 |
- |
2 |
4 |
26
При вычислении определителей 4-го порядка разложением по строке или столбцу, знаки («+» или «—») перед слагаемым ац • Мц проще всего запомнить в следующем виде:
+ - + -
- |
+ |
- |
|
+ |
+ |
- |
+ |
- |
' |
-+ - +
Аналогично, для вычисления определителя n-го порядка знаки расположены следующим образом (в «шахматном» порядке, слева вверху знак «+»):
+ |
- |
+ |
- . . . |
- |
+ |
- |
+ ... |
+ |
- |
+ |
- . . . |
|
+ |
|
+ ... |
1.2.42. Вычислить определитель 4-го порядка
а О 3 5
0 0 6
1 с 2
О О О
О Разложим определитель по 4-ой строке:
а |
0 |
3 |
разложим определитель |
|
Д = (+d) 0 |
0 |
6 |
||
по 2-ой строке |
||||
1 |
с |
2 |
||
|
Вычислить
цу:
1.2.43.
1.2.45.
1.2.47.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
О |
= —d |
b - а - с. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
с |
|
|
|
|
|
|
определители, |
используя |
разложение |
по |
строке |
или столб- |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
-Ь |
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
а |
|
|
|
|
0 |
—а |
|
-d |
|
|
||||
2 |
0 |
Ь |
0 |
|
|
|
1.2.44. |
а |
0 |
|
—с |
|
—е |
|
|
|
3 |
с |
4 |
5 |
|
|
|
Ь |
с |
|
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
d |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
d |
е |
|
0 |
0 |
|
|
||
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
- 3 |
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
0 |
0 |
8 |
|
|
|
1.2.46. |
4 |
- 2 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
3 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
а |
Ь |
|
с |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4 |
4 |
7 |
5 |
|
|
|
|
3 |
- 1 |
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
с |
о |
Л |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|||
о |
|
—0 |
Z |
—4 |
|
|
2 |
3 |
|
7 |
10 |
13 |
|
|||
о |
|
Л |
|
•о |
о |
|
|
|
|
|||||||
—о |
|
4 |
|
О |
|
1.2.48. |
3 |
5 |
|
11 |
16 |
21 |
|
|||
с |
|
7 |
*7 |
с |
|
|
|
|||||||||
—0 |
|
( |
5 |
0 |
|
|
2 |
- 7 |
|
7 |
7 |
2 |
|
|||
8 |
|
- 8 |
- 6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
4 |
|
5 |
3 |
10 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
27
1.2.49. Вычислить определитель приведением к треугольному виду:
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
- 1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
- 1 |
- 1 |
2 |
2 |
|
2 |
Dn = |
- 1 - 1 |
- 1 |
3 . |
|
3 |
|
|
- 1 |
- 1 |
- 1 |
- 1 . |
. |
п — |
О Прибавляя к каждой строке определителя первую строку, получим:
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
Dn |
= |
0 |
0 |
3 |
3 |
|
3 |
разложим по |
0 |
0 |
0 |
4 |
|
4 |
первому столбцу |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
п |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
.0 |
3 |
3 |
|
3 |
|
повторяем разложение по |
= |
1 • |
0 |
0 |
4 |
|
4 |
= |
|
|
первому столбцу п — 2 раза |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
0 |
0 |
0 |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71— 1 |
|
|
= 1 • 2 • 3 •... • (п - 1) • п = п! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.50. Вычислить определитель n-го порядка:
О |
0 |
... |
0 |
- 1 |
0 |
0 |
|
-1 |
о |
Dn = |
|
|
о |
о |
0 |
- 1 |
|
||
-1 |
о |
|
о |
о |
ОРазложим определитель по первой строке:
0 |
0 . . . |
0 |
- 1 |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
Dn = ( - l ) n + 1 • ( - 1 ) |
|
|
= (—1)п + 2 • Dn-\. |
0 |
- 1 |
0 |
О |
- 1 |
0 |
О |
О |
|
71 — 1 |
|
|
Аналогично Dn-i = ( - l ) n + 1 |
• Dn-2 |
и т.д. Таким образом, |
|
Dn = ( - 1 ) п + 2 • ( - l ) n + 1 . . . . . ( - 1 ) 2 + 2 • Dx.
28
Учитывая, что |
|
|
( - !)»+» |
= ( - 1 ) " , ( - ! ) " + ! = (_1)«-1, |
(-1)2+2 = ( _ 1 ) 2 ; |
|
£>i = - 1 , |
|
получим выражение для Dn: |
|
|
Dn = |
l)n ' (—l)n _ 1 •... • (—l)2 • (—l)1 |
= |
Вычислить определители |
п-го порядка: |
|
|
||||||||
|
п |
|
п |
п |
|
|
|
п |
п |
п |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
п |
п — 1 |
п |
|
|
|
п |
п |
п |
|
|
|
п |
|
п |
п-2 |
|
|
|
п |
п |
п |
|
1.2.51. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
п |
п |
|
|
3 |
п |
п |
|
|
|
п |
|
п |
п |
|
|
|
п |
2 |
п |
|
|
п |
|
п |
п |
|
|
|
п |
п |
1 |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
. . . |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- 1 |
|
0 |
3 |
. . . |
|
п |
|
|
|
|
1.2.52. |
- 1 |
|
- 2 |
0 |
. . . |
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
- 2 |
- 3 ... |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 . . . |
|
п --2 |
п - 1 п |
||||
|
2 |
|
3 |
4 . . . |
|
п -- 1 |
п |
|
п |
||
1.2.53. |
3 |
|
4 |
5 . . . |
|
п |
п |
|
п |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п — 1 п п . . . |
|
п |
п |
|
п |
|||||
|
п |
|
п |
п . . . |
|
п |
п |
|
п |
||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.54. |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1.2.55. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11
п1
1п
1 1 1 |
п |
1.2.56. Вычислить определитель n-го порядка методом рекуррентных соотношений:
|
2 |
1 |
0 |
0 . |
. |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
1 |
0 . |
. |
0 |
0 |
Dn = |
0 |
1 |
2 |
1 . |
. |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 . |
. |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
29