Сборник задач по высшей математике

ч

ч

fx = t2

-2t +

1,

t s 1.

в)

ч

'

Найти уравнения заданных кривых в виде F(x\ у) = 0.

4.1.80.

Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каждой точ-

ки которой до точек Fi( - 2;0) и F2 (2;0) равна 2\/5.

4.1.81.

Вывести уравнение геометрического места точек, для которых

модуль разности растояний до точек Fi(—4;0) и ^ ( 4 ; 0 ) ра-

вен 4.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4.1.82.

Найти уравнение множества точек, произведение расстояний

от которых до двух данных точек Fi(a;0) и F2(—а; 0) есть ве-

личина постоянная, равная а2. Полученное уравнение записать

в полярных координатах.

4.1.83.

Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс

из начала координат. Найти параметрические уравнения кри-

вой, описанной точкой окружности, которая при начальном по-

ложении совпадала с началом координат. (За параметр t взять

4.1.84.

угол поворота радиуса окружности.)

Отрезок АВ длины 2а скользит своими концами по сторонам

прямого угла. Из вершины этого угла на этот отрезок опущен

перпендикуляр ОС. Найти уравнение кривой, описанной осно-

ванием таких перпендикуляров. (Поместить полюс О в верши-

ну прямого угла, полярную ось направить по стороне угла.)

4.1.85.

Составить уравнение геометрического места центров окружно-

стей, касающихся оси Ох и проходящих через точку А(2;3).

4.1.86.

Прямая перемещается так, что треугольник, образованный ею

с осями координат, меняется, но сохраняет постоянную пло-

щадь S. Найти траекторию движения середины отрезка, отсе-

каемого осями координат на этой прямой.

4.1.87.

Изобразить множество точек плоскости,

равноудаленных от данной точки А (фо-

У

куса) и данной прямой (директрисы).

Составить уравнение кривой, обозначив

через р расстояние от фокуса до дирек-

трисы (систему координат выбрать так

О

\А х

как указано на рис. 22).

4.1.88.

Какие геометрические образы соответ-

ствуют уравнениям:

а)

2ху = 0;

Рис. 22

б) X2 + ху = 0;

в) х2 + у2

= 0?

^

+ | =

(2.3)

a

b

ь

о

а

^ ^ ^

х

У~Уо = к { х - х 0 ) ,

(2.4)

ходящих через

точку пересечения двух прямых

А\х + В\у + С\

= 0 и

А2х + В2у + С2

— 0

имеет вид

Агх

+ Вгу + Сг+ А (А2х + В2у + С2)

= 0,

(2.5)

определяется по формуле

_

к—

У1 .

(2.7)

х2

— Х\

6. Нормальное уравнение прямой:

х cos а + у sin а — р = 0,

(2.8)

уравнение

(2.8) путем умножения на нормирующий множитель

Л =

#2 ' з н а к п е Р е д ДР°бью берется противоположным знаку

7. Уравнение прямой в полярных координатах имеет вид

г cos(ip — а) = р,

(2.9)

4.2.1.

Построить прямую, заданную уравнением 2х — у — 4 = 0.

О 1- Д л я построения прямой достаточно знать координаты

двух ее произвольных точек. Полагая в уравнении прямой, на-

пример, х = 0, получим у = —4. Имеем одну точку А(0;-4).

Полагая х = 1, получим у = — 2. Отсюда вторая точка В( 1; — 2).

Осталось построить точки А и В и провести через них прямую

т. е. ^ +

= 1 — уравнение прямой в отрезках на осях. На

оси Ох отложим 2 единицы вправо (от начала координат); на

оси Оу отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях,

через которые проводим прямую (рис. 27).

•

4.2.2.

Записать уравнение прямой у — 2х — Зъ отрезках и построить

ее.

4.2.3.

Определить при каком значении а прямая (а2 —а)х + (2 + а)у —

- За + 1 = О

а)

параллельна оси Ох;

б)

проходит через начало координат.

4.2.4.

Найти к из условия, что прямая у = кх + 2 удалена от начала

координат на расстояние у/3.

4.2.5.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А ^—2;

и образующей с осью Ох угол, равный arctg3.

4.2.6.

Уравнение прямой 4х - Зу + 12 = 0 представить в различных

видах (с угловым коэффициентом, в отрезках, в виде нормаль-

ного уравнения).

О

Д л я

получения уравнения прямой с угловым коэффициен-

том разрешим заданное уравнение относительно у. Получим

Зу = 4я +12 и далее у =

+ 4 — уравнение прямой с угловым

коэффициентом; здесь к =

b = 4.

Для получения уравнения прямой в отрезках перенесем

свободный член С = 12 вправо и разделим обе части урав-

нения на - 12 . В результате получим

+ ^ = 1 — уравнение

в отрезках на осях; здесь а = — 3, b = 4.

Приведем исходное уравнение к нормальному виду (2.8).

Для этого умножим обе части

уравнения 4я-Зу+12 = 0 на нор-

мирующий множитель А =

= L = = = =

т. е. А = —

Перед

У

- у/42 + ( - 3 ) 2

^

корнем взят знак «минус», т. к. свободный член (С = 12) имеет

1

4

4

1 9

знак «плюс». Получим —^{4х — 3?/+12)=0, т.е.

— ^ =

= 0; здесь cosa = — s i n a = | ^cos2 а + sin2 а =

Щ + ^

= 1^,

р =

т. е. расстояние от 0(0; 0) до прямой равно 2,4.

•

4.2.7.

Записать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и

нормальное для заданных прямых и определить на каком рас-

стоянии от начала координат они находятся:

а) 2х - Зу + б = 0;

б) х + 2,5 = 0;

в) у = х - 1;

г)

х + Ъу — 0.

а)

Л(0;2),В( - 3;7);

б)

А(2;1),В(4;1).

у

О а) Используем уравнение (2.6).

1"

'

А

В

У=1

Полагая в нем xi=0, у\—2, х2

=

- з ,

1

1

у2

=

7, получим

=

- 0

О.

2

4

х

3 - 0 '

или

У ^ ^ =

т.е. - 3 у + 6

=

Ъх

Рис. 28

или Ъх + Зу — 6 = 0.

б) Решаем аналогично:

х-2

У1

=

2/2,

4_2' Т а к к а к

но, искомое уравнение прямой

есть у + 3 = — 2(х — 2), т.е.

2х + у - 1 = 0.

•

4.2.13. Найти

прямую, принадлежащую

пучку

—4х+2у+1+\(х—Зу+2) =

0

и проходящую через точку А( 1; 0)

и написать ее уравнение.

4.2.14. Составить уравнение прямой в по-

лярных координатах, если извест-

но, что она проходит через точку

М^2; ^

и наклонена к полярной

9

р и г

OQ

ОСИ ПОД у г л о м | 7 Г .

^

= 2cos^ = 2^ = л/3, т.е. p = л/3. Следовательно, уравнение

искомой прямой есть rcos^cp — ^ = у/3.

Ф

4.2.15.

Найти уравнение прямой:

а) образующей с осью Ох угол ^ и пересекающей ось Оу в

точке (0; -6);

б) параллельной оси Ох и отсекающей на оси Оу отрезок, рав-

ный 2;

в) отсекающей на осях координат отрезки, равные 3 и 4.

Дополнительные задачи

4.2.16.

Составить уравнение прямой, если точка М(4;2) является се-

рединой ее отрезка, заключенного между осями координат.

4.2.17.

Составить уравнение прямой, отсекающей на положительных

полуосях координат равные отрезки, если длина отрезка, за-

ключенного между осями координат, равна 7у/2.

4.2.18.

Луч света, пройдя через точку А(2; 3) под углом а к оси Ох,

отразился от нее и прошел через точку В(—5; 4). Найти угол а.

4.2.19.

Луч света направлен по прямой х — у — 1

= 0. Определить

точку встречи луча с осью Ох и уравнение прямой, по которой

направлен отраженный луч.

4.2.20.

При каких значениях а и /3 прямая (а — (3)х + {2а + /3)у — 1 = 0

отсекает1на оси Ох отрезок, равный ( а на оси Оу — отрезок,

равный ^ (единиц масштаба).

4.2.21.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку -4(4; 4)

и отсекающей от координатного угла треугольник площадью

5 = 4.

4.2.22.

Составить уравнение биссектрисы внутреннего угла А тре-

угольника ABC с вершинами А( 1; - 2), В(5;4), С(-2;0).

4.2.23.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3; —4),

являющуюся основанием перпендикуляра, опущенного из на-

чала координат на прямую.

4.2.24.

Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(3; 8), С(6; 2). Написать

уравнения сторон треугольника.

4.2.25.

Составить уравнение прямой, зная, что расстояние от нее до

начала координат равно \/2, а угол между перпендикуляром,

опущнным из начала координат на прямую, и осью Ох, ра-

вен Q

4.2.26.

Найти площадь треугольника, заключенного между осями ко-

ординат и прямой 2х — Ъу + 10 = 0.

4.2.27.

Составить (в полярных координатах) уравнение прямой, про-

ходящей через точки Mi ^4; ^ и М2(4;0).

4.2.28.

Равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 4 имеет острый

угол

Написать уравнение сторон трапеции, приняв за ось

Ох большее основание, за ось Оу — ось симметрии трапеции.

4.2.29.

Через середину отрезка АВ, где А(4;0), В(0;6), провести пря-

мую, отсекающую на оси Ох отрезок вдвое больший, чем на

оси Оу и написать ее уравнение.

4.2.30.

Написать уравнение прямой, параллельной биссектрисе второ-

го координатного угла и отсекающей на оси Оу отрезок, рав-

ный 3.

4.2.31.

При каком значении С прямая 2х — Зу + С = 0 пересекает ось

Оу в точках с ординатами Ь\ = 2;

= - 3 ?

4.2.32.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2; - 1 )

и параллельной биссектрисе второго координатного угла.

4.2.33.

Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых

я - 2 у + 3 = 0 и 2 я + ?/ + 5 = 0и параллельную оси ординат и

написать ее уравнение.

4.2.34.

Через точку пересечения прямых х + у — 6 = 0 и 2 я + у — 13 = 0

провести прямую (не совпадающую с данными), отсекающую

на осях равные отрезки и написать ее уравнение.

4.2.35.

Составить уравнение прямой, которая проходит через точку

М(2; — 6) и отсекает на осях Ох и Оу отрезки одинаковой длины

(считая каждый отрезок направленным от начала координат).

4.2.36.

Через точку М(4; 3) проведена прямая, отсекающая от коорди-

натного угла треугольник, площадь которого равна 3. Найти

точки пересечения этой прямой с осями координат.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4.2.37.

Даны две точки Mi(—3;8) и М2(2; 2). На оси абсцисс найти

такую точку М, чтобы ломаная МХММ2 имела наименьшую

длину.

4.2.38.

Из точки А(—5; 6) выходит луч света под углом arctg(—2) к оси

Ох и отражается от оси Ох, затем от оси Оу. Найти уравнения

прямых, по которым направлены все три луча.

4.2.39.

Доказать, что условие принадлежности трех точек М\(х\-,у\),

^ ( # 2 ; 2/2)) ^з{хз\Уз) одной прямой

можно записать в виде

XI

У1

1

Х2

У2

= 0 .

ХЗ

Уз

4.2.40.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересече-

ния прямых х + у — 1 =

0их + 2у + 1 = 0и отсекающей на

отрицательной части оси Оу отрезок, равный 2.

4.2.41.

Какова должна быть зависимость между коэффициентами А и

В, чтобы прямая Ах + By + С = 0 была наклонена к оси Ох

ПОД углом ^7Г?

4.2.42.

Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису острого

угла, образованного прямыми у = у/Зх + 4 и у = 4.

4.2.43.

При каком значении а прямая х + у + а2 — 2 а + 1 = 0 проходит

через начало координат?

4.2.44.

Является ли уравнение

+ \у\ = 0 уравнением прямой?

4.2.45.

Является ли уравнение х2 - у2 = 0 уравнением прямой, содер-

жащей биссектрису второго координатного угла?

4.2.46.

Под каким углом к положительному направлению оси Ох на-

клонены прямые у = 1,5я и у = —у/Зх?

4.2.47.

Какая из прямых 2х — 4у + 3 = 0их + у = 0 отсекает на оси

ординат отрезок большей длины?

4.2.48.

Прямая у = Зх + Ъ пересекает ось Ох в точке с абсциссой а — 4.

Чему равен параметр Ы

4.2.49.

Является ли уравнение g — ^ = 1 уравнением прямой в отрез-

ках? Какие отрезки отсекает она на осях координат?

4.2.50.

При каких значениях С площадь, ограниченная координатны-

ми осями и прямой Зх + 10у Л-С — 0 равна 135 кв.ед.?

4.2.51.

Каково уравнение семейства прямых, угловой коэффициент ко-

торых равен

3 '

ми у = kix + Ь\ и у = к2х +

то угол (р между ними вычисляется по

формуле

,

,

( 2 Л 0 )

Условие параллельности прямых 1\

и 12

имеет вид

кг = к2,

(2.11)

а условие их перпендикулярности

kx

= ~ к2

(2.12)

формуле

А\В2

- А2Вг

(2.13)

tg <Р = А\А2

+ В\В2

условие их параллельности

^ =

(или АХВ2 - А2В! = 0),

(2.14)

условие их перпендикулярности

A x A 2 + B x B 2 = 0 .

(2.15)

Для нахождения общих точек прямых 1\ и 12 необходимо решить

систему уравнений

\Агх + Вгу + С\ = 0,

\у = к1х + Ьи

1cv

или

<

(2.16)

I А2 х -f- В2 у + С2 = 0,

b = fc2z + 62.

При этом:

если 41

ф

±>2

то имеется единственная точка пересечения прямых;

л.2

A

=

B

C

— прямые 1\

и 12

не имеют общей точки, т. е.

если -г1

JD2

Ф

Л2

L>2

параллельны;

B

C

A

если -д1

=

—

— прямые имеют бесконечное множество общих

точек, т. е. совпадают.

^

Расстоянием d от точки Мо(я0; У о) ДО прямой Ах + By + С = 0

называется длина , перпендикуляра, опущенного из этой точки

на прямую.

Расстояние d определяется по формуле

d = Ах о + Ву0 + С

(2.17)

\Л42

+ В2

d = \хо cos а + уо sin а - р\.

(2.18)