Сборник задач по высшей математике

5.2.42. Найти величину острого угла между плоскостями:

190

Дополнительные задачи

5.2.48. Установить, какие из следующих пар плоскостей являются параллельными, какие — перпендикулярными:

1)Зх + Ay - z + 8 = 0 и 6х + 8у - 2z - 3 = 0;

2)Зх - 6у + 3z - 12 = 0 и - х + 2у - z + 4 = 0;

3)х + 2у - 5z + 1 = 0 и 2х -f 4у + 2z - 7 = 0.

5.2.49.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М(4;0;2) и перпендикулярной плоскостям х + у + z = Ои

у - z = 0.

5.2.50. Найти координаты точки на оси Оу, равноудаленной от двух плоскостей х -\-2у — 2г + 6 = 0 и 2 х + 2/ + 2 г - 9 = 0.

5.2.51.Дана пирамида с вершинами А(2; 2 - 3), В(3; 1; 1), С(—1; 0; -5), D(4;—2;—3). Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.

5.2.52.Составить уравнение плоскости, расположенной на расстоянии четырех единиц от плоскости Зх — 6у — 2z + 8 = 0 и параллельно ей.

5.2.53.Доказать, что параллелепипед, грани которого лежат в плоскостях 8x—4y+5z—7 = 0, Зх+2/—4z+13 = 0, llx+472/+20z+2 = 0, является прямоугольным.

5.2.56.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2х — у — 12 z — 3 = 0и3х + у — 7z — 2 = 0 перпендикулярно плоскости 4х - 2у 4- 25 = 0.

5.2.57.Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и составляющей с плоскостью х + y/бу — z — 3 = 0 угол 60°.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

5.2.58.Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугран-

ные углы, образованные плоскостями 2х — 2у + z + 5 = Ои

х + 2у - 2z - 3 = 0.

5.2.59.Написать уравнение плоскости, расположенной на равном рас-

стоянии от двух данных параллельных плоскостей 4х - Зу + + z — 2 = 0 и 4 х — Зу+ z + 8 = 0.

5.2.60. Написать уравнение плоскости, проходящей через две точки Mi(0;0;2) и Мг(0;1;0) и образующей угол 45° с плоскостью

Oyz.

191

5.2.61.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей А\х + Biy + C\z + D\ — 0 и А2х + В2у 4- -f C2z + D2 = 0 и начало координат.

5.2.62.Найти уравнение плоскости, параллельной оси Оу и проходящей через точки Afi(ai;bi;ci) и М2(а2\Ь2\с2).

5.2.63.При каких значениях а и /? уравнения будут определять параллельные плоскости:

1)2х 4- ay + 3z - 8 = 0 и /Зх - 6у - 6z + 4 = 0;

5.2.64.Определить, при каких значениях у следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

1) 4х - 7у + 2z - 3 = 0 и - З х + 2у + yz + 5 = 0; 2) х — 72/ + z = 0 и 2х + Зу + 72: — 1,2 = 0.

5.2.65. Пересекаются ли плоскости 2х - у + г - 140 = 0, х - г = 0,

х -f - 2z -f 1 = 0?

§3. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Различные виды уравнения прямой в пространстве

1. Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку (#o>2/o>zo) параллельно вектору а = (m,n,p), имеют вид

Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой. В частности, вектор а — (m,n,p) — направляющий для прямой, заданной уравнениями (3.1). Обращение в нуль одного из знаменателей уравнения (3.1) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

2. Параметрические уравнения прямой:

где t — переменный параметр, t € К. В векторной форме уравнение (3.2) имеет вид

192

Замечание. Каноническое уравнение прямой можно полу-i чить, зная две точки этой прямой. В качестве координат этих; точек можно взять два любых решения данной системы урав-'

Направление прямой задает вектор s = (4; 7; 6). Он образует с координатными осями Ох, Оу, Оз углы а, /? и 7 — соответственно. Находим эти углы по известным формулам

{х = - 1 + 2*,

У = 2 — 4£, z = t;

194

2)прямая параллельна оси Оу;

3)прямая перпендикулярна плоскости Зх + у — z - 8 = 0.

О1) Так как прямые параллельны, то они имеют один и тот же направляющий вектор s = (2; —4; 1). Согласно формулам (3.2) имеем искомое уравнение прямой

х = 2 + 2*,

2/= - 1 - 4 * , z = -3 + t.

2) В качестве направляющего вектора оси Оу можно взять вектор s = (0; 1; 0), совпадающий с ортом j. Искомое уравнение прямой есть

+ y—z—8 = 0. Следовательно, в качестве вектора s можно взять вектор гг, т.е. 5 = (3; 1; —1). Тогда параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости Зх-\-у — z — 8 = 0, примут вид

кг = -3-t.

Найти параметрические уравнения прямой:

1) проходящей через точку (1; 0; —1) и параллельной вектору

а= { 2;3;0);

2)проходящей через точки (2; 2; 2) и (6;2;1).

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0 (4;3; —2) параллельно 1) вектору а = (3; - 6 ; 5);

щей через точку Мо возьмем вектор s равный вектору а, т.е. s = (3; —6; 5). Тогда, по формуле (3.1), канонические уравнения прямой примут вид

195

2) Направляющий вектор s\ данной прямой находим по формулам (3.6):

= - l l f + 6j - 7к ,

т. е. si = (—11; 6; —7). Так как данная прямая и искомая параллельны между собой, то в качестве направляющего вектора s искомой прямой можно взять вектор si, т.е. s = si. Получае^ канонические уравнения

Дополнительные задачи

— (—2; 5; 0).

196

Контрольные вопросы и более сложные задачи

для того, чтобы прямая:

1)проходила через начало координат;

2)была параллельна оси Оу;

3)пересекала ось Oz;

4)совпадала с осью Ох.

5.3.22. Найти уравнения плоскостей, проектирующих прямую

j х — ~Ь 2z — 4 = 0, [2x + 2 / - 2 Z + 6 = 0

на координатные плоскости. 5.3.23. Каково уравнение оси Ох?

5.3.24. Написать параметрические уравнения прямой

{х -I- у + z = 0,

х - у + 2z = 0.

197

Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; условие компланарности двух прямых

Под углом между прямыми понимают угол между направляющими векторами = (mi;ni;pi) и а.2 = (7712; 7725^2) • Величина угла между прямыми L\ и Z/2 определяется из формулы

Для нахождения величины острого угла между прямыми Li и L2 числитель правой части формулы (3.7) следует взять по модулю:

Условием, при котором две прямые L\ и L>2 лежат в одной плоскости,

является равенство

при этом, если ai Ц" 02, то прямые Lj и L2 пересекаются.

5.3.25. Найти величину острого угла между прямыми

О Направляющий вектор первой прямой есть s\ = (—3; 1; —2). Находим направляющий вектор S2 второй прямой:

198

О 1) Выпишем направляющие векторы первой и второй прямых: si = (4; 3; —2), s2 = (—8;—6; 4). Как видно, координаты этих векторов пропорциональны:

Следовательно, данные прямые параллельны или совпадают. Возьмем на первой прямой какую-нибудь точку, например точку (2; 0; —1). Подставим ее координаты в уравнение второй прямой:

t = — 1 — из третьего. Это означает, что точка (2; 0; —1) не принадлежит второй прямой; прямые не совпадают, значит они параллельны.

тельно, прямые либо пересекающиеся, либо скрещивающиеся. Проверим выполнение условия (3.11) принадлежности двух прямых одной плоскости, предварительно выписав координаты точек Mi и М2, через которые проходят данные прямые:

199