Сборник задач по высшей математике

^Пусть данная функция определена на множестве D. Тогда, если каждое значение х £ D и соответствующее ему значение функции у удовлетворяют некоторому (одному и тому же) уравнению F(x\ у) = 0, то говорят, что эта функция задана неявно уравнением F(x; у) = 0. Сама функция в этом случае называется неявной функцией.

^Графиком уравнения F(x\y) = 0 называется множество всех точек координатной плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Пусть на некотором множестве X С R заданы две функции х = x(t) и у = y(t). Тогда множество всех точек на плоскости Оху с координатами (x(t),y(t)), где t G I, называется кривой (или линией), заданной параметрически.

Если кривая, заданная параметрически, является графиком некоторой функции у = /(ж), то эта функция также называется функцией, заданной параметрически (или параметрически заданной).

6.1.1. Найти области определения функций:

1)№ =

вен нулю. Поэтому область определения данной функции находится из условия х2 — 1 / 0, т.е. х / ±1. Таким образом, D(f) = (-оо; - 1 ) U ( - 1 ; 1)Ц(1;+оо).

2) Функция f(x) = у/5 — Зх определена, если подкоренное выражение неотрицательно, т. е. 5 — Зх ^ 0. Отсюда х ^ jj, и,

значит, D(f) = ( - о с ; |j.

3) Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, поэтому функция 1п(х + 2) определена в том и только в том случае, когда х + 2 > 0, т. е. х > —2. Значит, U ( / ) = ( - 2;+оо) . •

6.1.2. Найти области определения функций: 1) / ( s ) = 2 ± + arcsin^±^;

230

6.1.13. Найти множества значений функций:

1)f(x) = х2 + 4х + 1;

2)/ ( * ) = 2®2;

3)f(x) = 3 — 5cosx.

же функция (х + 2)2 принимает все значения от 0 до оо, то

231

232

6.1.23. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а какие — общего вида:

1)/(*) =

2)/(*) = х4 - 5|х|;

3)/(ж) = ех - 2е - х ;

4)/ ( х ) =

О1) £>(/) = (-оо;-boo), и, стало быть, область определения функции симметрична относительно начала координат. Кроме

6.1.24. Какие из следующих функций четные, какие нечетные, а ка-

кие — общего вида: 1) № =

2) f(x) = хъ + Зх3 - х;

3)f(x) = V®;

4)f(x) = arcsina;;

5)f(x) = sinx + cos x;

6)/(x) = |x| — 2;

7)/(*) = ^

8) f(x) =xex.

6.1.25. Определить, является ли данная функция периодической, и найти ее наименьший положительный период, если он существует:

1)/(#) = sin4#;

2)f(x) = cos2 Ъх\

3)/ ( s ) = t g § ;

4)f(x) = sin2a; + cos3#;

5)/(*) = x2 .

О1) Наименьшим положительным периодом функции sin я является число 27г. Покажем, что наименьший положительный

233

Наибольшее целое число, не превосходящее х (т. е. ближайшее слева на числовой оси), называется целой частью х и обозначается [х] (или Е(х)). Например, [7г] = 3, [-4,5] = - 5 и т.д.

Число х — [х] называется дробной частью х и обозначается {я}. Так {1,8} = 0,8, {—2,7} = 0,3 и т.д.

6.1.27. Построить график функции:

1)у = М;

2)у = {*}.

О1) Функция [х] равна тг на каждом полуинтервале [n; n +1), поэтому ее график имеет следующий «ступенчатый» вид (рис. 70).

-L-3

2) На каждом полуинтервале [n; п+1) имеем: [х] = п, поэтому функция {я} принимает одни и те же значения. Таким образом, достаточно построить ее график на [0; 1) (здесь {х} = х), а затем параллельно перенести эту часть на все остальные промежутки. В итоге получим график, изображенный на рисунке 71. •

6.1.28. Построить график функции:

1)у = х2 + 4х + 3;

2)у = —2 sin Зя;

S ) V = | { * } - J •

О 1) Выделяя полный квадрат в данном квадратном трехчлене, преобразуем функцию к виду у = (х + 2)2 — 1. Теперь ясно, что для построения графика функции, достаточно сначала сместить параболу у = х2 влево на 2 единицы (получается график функции у = (х + 2)2), а затем на 1 единицу вниз (рис. 72).

2) Сжав стандартную синусоиду у = sin ж в три раза к оси Оу, получим график функции у = sin3x (рис. 73). Растянув полученный график в два раза вдоль оси Оу, получим график

235

Рис. 75

части этого графика, которые расположены ниже оси Ох, отражаем относительно этой оси — в итоге имеем искомый график (рис. 75 б)).

237

6.1.40. Доказать, что функция у = х2 не имеет обратной на интервале (—оо; +оо).

О Для любого уо > 0 уравнение уо = х2 имеет два решения

— у/Уо и х2 = — у/уо (т.е. каждая горизонтальная прямая у = у0 пересекает график функции у = х2 в двух точках). Но функция имеет обратную только в том случае, если такое решение единственно. Значит, данная функция действительно не имеет обратной на интервале (—оо; +оо). •

Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций

238

6) shx • shy = i[ch(x + y) - ch(x - y)]; 7) shx • chy = + y) + sh(z - y)].

6.1.53. Функция у задана неявно. Выразить ее в явном виде.

1)ху = 7;

2)х2 + у2 = 1, у ^ 0.

О1) При х ф 0 из данного уравнения получим У

2) Выражая у из данного уравнения, имеем у = — л/1 — я2.

6.1.54. Функция у задана неявно. Там, где это возможно, выразить ее в явном виде:

239