Сборник задач по высшей математике

2) Поскольку у/1 + Ъх = (l + 5x)i, то здесь мы также имеем дело с неопределенностью 1°°, для раскрытия которой нам снова понадобится одна из форм второго замечательного предела. Сделаем замену у = Ъх. Тогда у —>• 0 при х —>• 0 и

3) Поделив числитель и знаменатель дроби на х, сведем данный предел к частному пределов из пункта 1):

4) Сделав замену у = 2х и применяя одно из следствий из второго замечательного предела, получим:

270

О Так как /(х) = 1 при х > 0, то

6.4.59.Заменяя бесконечно малые эквивалентными, найти пределы:

'x—>0 1 — COS X

О1) В силу следствия из первого замечательного предела sinax~ax, х-+0. Отсюда (при х-+0) sin4x~4x, а sin3x~3x, по-

Дополнительные задачи

Используя первое определение предела функции, найти пределы:

271

272

6.4.126. Привести пример функции, которая определена и не имеет предела во всех целых точках (х £ Z), но имеет предел во всех остальных точках.

6.4.127. Доказать, что:

1)сумма (разность) бесконечно малых при х —У хо функций также бесконечно малая при х —У хо функция;

2)произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию (в частности, произведение двух бесконечно малых) есть бесконечно малая функция.

6.4.128. Показать на примерах, что:

1)частное двух бесконечно малых при х ->• хо функций может не быть бесконечно малой функцией;

2)если а(х) — бесконечно малая при х —У хо, а /?(х) — бесконечно малая при х -У xi, то сумма а(х) + /?(х) может нигде не быть бесконечно малой функцией;

3)сумма бесконечно больших функций при х —У Xq может быть даже бесконечно малой при х —У xq.

6.4.129. Привести пример функции, бесконечно малой при х ->• 1, х ->• 2 и х —У 3, но не являющейся бесконечно малой в окрестностях других точек.

§5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ Непрерывность функции в точке

^Функция / ( х ) называется непрерывной в точке хо, если она

определена в некоторой окрестности этой точки и lim / ( х ) = X —

=/ Ы -

Если обозначить х — хо = Дх (приращение аргумента), f{x) — f(x0) = = Ау (приращение функции, соответствующее приращению аргумента Дх), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

274

^Функция f(x) называется непрерывной в точке хо, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

lim Ау = 0. Дя—>0

Таким образом, если функция f(x) непрерывна в точке Хо, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Односторонняя непрерывность

^Функция / ( х ) называется непрерывной слева в точке Хо, если она определена на некотором полуинтервале (а; хо] и

х—ухо— 0

^Функция / ( х ) называется непрерывной справа в точке хо, если она определена на некотором полуинтервале [хо; Ь) и

lim / ( х ) = / ( х 0 ) . X—>®о+0

Функция / ( х ) непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т. е. когда

Непрерывность функции на промежутке

^Функция / ( х ) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

При этом если функция определена в конце промежутка, то под непрерывностью в этой точке понимается непрерывность справа или слева. В частности, функция / ( х ) называется непрерывной на отрезке [а; 6], если она:

1)непрерывна в каждой точке интервала (а; 6);

2)непрерывна справа в точке а;

3)непрерывна слева в точке Ъ.

Точки разрыва функции

^Пусть точка Хо принадлежит области определения функции

/( х ) или является граничной точкой этой области. Точка Хо называется точкой разрыва функции /(х), если / ( х ) не является непрерывной в этой точке.

275

18*

Точки разрыва подразделяются на точки разрыва 1-го рода и 2-го рода.

^Если в точке xq существуют конечные односторонние пределы

/( х ) в точке хо-

^Если в точке хо не существует хотя бы один из односторонних

пределов lim / ( х ) или lim /(х), то Хо называется точкой

Х—УХО—О х—>жо+0

разрыва 2-го рода.

Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 6.5. Пусть функции / ( х ) и д(х) непрерывны в точке х0 . Тогда функции / ( х ) ± д(х)\ / ( х ) • д(х) и f(x)/g(x) (если д(х0) ф 0) также непрерывны в точке xq.

Вчастности, если функция / ( х ) непрерывна в точке Хо, то функция

а• /(х), где a G М, также непрерывна в точке х0 .

Теорема 6.6 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция

и(х) непрерывна в точке хо, а функция f(u) непрерывна в точке щ = = и(хо). Тогда сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке хо-

Непрерывность элементарных функций

Теорема 6.7. Все простейшие элементарные функции (с, х а , а х , loga х, sinx, cosх, arcsinх, arccosx) непрерывны в каждой точке своих областей определения.

276

Из этой теоремы, а также из двух предыдущих следует, что также непрерывны в каждой точке своих областей определения все функции, полученные из простейших с помощью конечного числа арифметических операций и операции композиции.

Свойства функций9 непрерывных на отрезке

Теорема 6.8 (Больцано-Коши). Пусть функция / ( х ) определена и непрерывна на отрезке [а; 6] и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдется хотя бы одна такая точка xq Е (а;Ь), что f(xо) = 0.

ределена и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке.

Теорема 6.11 (2-я теорема Вейерштрасса). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь]. Тогда эта функция принимает на отрезке [а;6] свои наибольшие и наименьшие значения, т.е. существуют такие точки x i , x 2 £ [а\ Ь], что для любой точки х Е [а; Ь] справедливы неравенства

277

На основании заполненной таблицы сделать предположение о поведении функции в точке Хо = 2.

О а) При Дх = —1 имеем х = хо + Дх = 2 — 1 = 1, откуда А» = / ( * ) " / Ы = /(1) - /(2) = 4 - 7 = - 3 .

Аналогично находим и другие значения Ду. В результате получаем таблицу

Заполнив таблицу, сделать предположение о поведении функции в данной точке. Построить график функции и указать на

278

279