Сборник задач по высшей математике

240

Построить графики функций:

Какие из следующих функций имеют обратные? Для таких функций найти обратные функции.

Выяснить, какие из следующих функций монотонные, какие — строго монотонные, а какие — ограниченные:

13-2361

1)сумма, разность и произведение двух четных функций есть четная функция;

2)произведение двух нечетных функций есть четная функция;

242

3)сумма двух нечетных функций есть нечетная функция;

4)произведение четной и нечетной функции есть нечетная функция.

6.1.120. Верно ли, что сумма четной и нечетной функции есть четная функция? нечетная функция? Ответ пояснить.

6.1.121. Какая функция, определенная на всей действительной оси, является и четной и нечетной одновременно? Показать, что такая функция единственна.

6.1.122. Пусть /(х) — произвольная функция с симметричной относительно нуля областью определения. Доказать, что:

1)функция /(х) + /(—ж) — четная;

2)функция /(х) — /(—х) — нечетная.

6.1.123. Пусть функция /(х) периодическая и имеет период Т. Доказать, что функция f(kx + Ь), где к ф 0, также периодическая с

периодом Т

6.1.124. Пусть функции /i(x) и /2(х) периодические с периодами Xi и T<i соответственно. Доказать, что любое положительное число, кратное Т\ и является периодом функций /1 ± /2, Л • /2-

6.1.125. Обозначим через D(x) функцию Дирихле:

при рациональных х,

D (4x )' = (^0 при иррациональных х.

Доказать, что:

1)периодом этой функции является любое рациональное число, большее нуля (поэтому у этой периодической функции нет наименьшего положительного периода);

2)никакое иррациональное число не является периодом этой функции.

6.1.126. Доказать, что следующие функции не являются периодическими:

1)f(x) = cosx2;

2)f(x) = sin |х|;

3)f(x) = х • sin я;

4) f(x) = In cosx.

6.1.127. Найти наименьший положительный период функций:

1)у = cos2 х — sin2 х;

2)у = \ sin2x|;

3)у = sin4 | + cos4 |.

6.1.128. Доказать, что:

1) график функции у = |/(х)| получается из графика функции

у= f(x) так: часть графика, расположенная не ниже оси Ох, остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отражается относительно оси Ох\

243

2)график функции у = /(|х|) получается из графика функции

у= /(х) так: правая часть графика (при х ^ 0) остаётся без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «правой» относительно оси Оу.

Построить графики функций:

6.1.137. Решить графически уравнения:

1)|х — 3| — х — 1 = 0;

2)х3 + 2х - 4 = 0;

3)lnx + x = 1.

6.1.138. Решить графически неравенства:

1)х3 > х;

2)2х + х > 0;

3)sinx ^

6.1.139. Найти /(х), если известно, что 1) / ( х + 2) = ^ ;

6.1.140. Доказать, что существует только одна функция /(х), определенная на всей числовой оси, такая, что для любой функции д(х), также определенной на всей оси, справедливо равенство

/ о д = д о / .

Найти эту функцию.

6.1.141. Существуют ли функции, обратные сами себе? Ответ обосновать.

6.1.142. Что можно сказать о графике функции, обратной самой себе? 6.1.143. Доказать, что четная функция не может быть строго монотон-

ной.

6.1.144. Доказать, что:

1)сумма двух возрастающих (убывающих) функций — также возрастающая (соответственно, убывающая) функция;

2)сумма, разность и произведение двух ограниченных функций — также ограниченная функция.

244

6.1.145. Показать, что:

1)частное двух ограниченных функций может не быть ограниченной функцией;

2)произведение двух возрастающих функций может не быть возрастающей функцией.

6.1.146. Показать, что следующие функции ограничены: 1) М = ^

2) / ( * ) = v/2Ш—Хcos х• 6.1.147. Доказать, что

1) функция у = shx, х Е М имеет обратную функцию, равную 1п(х + у/х*П). Эта обратная функция называется ареасинус гиперболический и обозначается arshx. Таким образом,

Эта функция называется ареатангенс гиперболический и обозначается arthx. Таким образом,

arth х = -2In 1 - х .

6.1.148. Исключив параметр t, явно выразить функцию у:

*[x = t + 3,

^ \I/ = t 2 + 6 t + 10;

FX = 3 C O S 2 £ ,

2) | у = 2 sin2

§2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ СВОЙСТВА Определение последовательности

^Формулы, позволяющие выразить п-й член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.

245

Свойства последовательностей

^ Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

^Последовательность { х п } называется возрастающей (убывающей), если Vn: хп < хп +ь т. е. х\ < х2 • - < хп < xn+i... (соответственно, Vn: xn > Xn+i, т. е. Х\ > х2 > • • • > хп > xn +i > ...)

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим названием — строго монотонные последовательности.

^Последовательность {хп} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М, что все члены последовательности меньше (соответственно, больше), чем М.

Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной.

Это определение равносильно следующему: последовательность {хп} ограничена, если существует такое число М > О, что для всех п справедливо неравенство \хп\ < М.

^Последовательность {хп} называется неограниченной, если для любого М > О найдется такой ее член хп , что |xn| > М.

Действия над последовательностями

^Пусть {хп} и {уп} — две произвольные последовательности.

Суммой (разностью) последовательностей { х п } и {уп} называется последовательность, каждый член которой есть сумма (соответственно, разность) соответствующих членов последовательностей {хп} и {уп}-

Таким образом, {хп} -h {уп} = {хп -I- уп}.

246

Аналогично определяется произведение и частное двух последовательностей { х п } и {уп}> причем в случае частного, разумеется, предполагается, что уп ф 0, Vn.

Другими словами, для того, чтобы сложить, вычесть, умножить или разделить две данные последовательности, надо сложить, вычесть, умножить или разделить их соответствующие члены.

Частным случаем операции умножения последовательностей (если одна из последовательностей постоянна) является операция умножения последовательности на число: для того, чтобы умножить последовательность {х п } на число х, необходимо каждый член этой последовательности

З ' З ^ ' З ? ' - - ' 4 ) - 2 , 4 , - 8 , 1 6 , . . .

247

О 1) Данная последовательность, состоящая из всех четных положительных чисел, ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2) Последовательность ограничена сверху (х п — - п 2 < 0.

п= 1,2,3, ... ), но не ограничена снизу.

3)Последовательность ограничена, так как она ограничена снизу и сверху: 0 < хп = ^ < 1.

4)Последовательность {(—2)п} не ограничена, так как для любого числа М > 0 можно найти такой номер п, что |хп| =

Какие из следующих последовательностей {хп} ограничены, если:

ляется ни монотонной, ни строго монотонной, так как, например, Х\ < £ 2, НО £2 > Хъ-

ктому же, например, х\ = х2-

5)Данная последовательность невозрастающая, так как хп ^ xn+i, п = 1,2, ... и некоторые (например, первый и второй) члены этой последовательности равны между собой. •

248

Какие из следующих последовательностей монотонные? строго монотонные? ограниченные?

Дополнительные задачи

Найти первые четыре члена последовательности {хп}, если:

249