Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4624 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Поволжский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf
Скачиваний:
7375
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
5.01 Mб
Скачать
☆

 

. _

y/u+y/vt + v*

 

,

 

 

vdv

11.3.33.

dz =

 

 

/

—

 

du +

—.

+ ^ + uy/tfT^

 

 

2y/u2 + t,'

 

 

2yju2

 

 

 

 

 

 

 

11.3.34. dz =

yx2-\-y2

dx + —-M

 

dy.

 

 

 

 

 

yyx2-\-y2

 

11.3.35. dz

=

-Xyfdx

-x2V2dy

 

 

11.3.36. dz =

(-cos £ cos ^

+

A- sin £ sin &)dx-

 

 

\У

 

У

x

 

 

x

У

xj

- ( c o s £ COS ^ + - sin ^ sin

 

 

dy.

 

 

\y

у

XX

у

 

 

XJ *

 

 

11.3.37. dz =

2 •

1 - 3 : 2

-У* ~Ух2 + У2 (Xdx + ydy).

 

 

 

 

(l +

x / ^ + y 2 ) 2

 

 

11.3.38. du = (Зх2

+ Зу - 1) dx + (z2

+ Sx) dy + (2yz + 1) dz.

11.3.39. du =

V-x^~ldx +

-x*

lnxdy — K x * lnxdz.

 

 

z

 

 

z

 

 

 

z

 

11.3.40.dz = yzxyZ~1dx + zyz~lxyZ ln xdy + yzxyZ \nx\nydz. 11.3.41.

11.3.42.- Щ . 11.3.43. 11.3.44. 0,08. 11.3.45. 0,25e. 11.3.46. и 7,5.

11.3.47.

2,95.

11.3.48.

0,345.

11.3.49.

0,75.

11.3.50.

257,408.

11.3.51.

Уменьшится на и 15,7 см3.

Указание. V =

R2H,

AV и dV = 1тг(2ДЯ ДД + Д2 ДЯ) и -5тг (см3). 11.3.52. Уменьшится на

0,32 см. 11.3.53. 4370 ± 100 см3.

§ 4. Дифференцирование сложных и неявных функций. Касательная и нормаль к поверхности

11.4.4.^ = a(2x + y)cost-a(2y + x)smt.

11.4.6.

= 2ху3и + 6x2y2ut + х2у3

cost или

 

= *7(8sin* + t cost).

11.4.7. §

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

11.4.8. (у arctg а?у +

 

 

а)

/

-2* + (yaxctgsy +

х \ Л

-3t2.

\

 

 

 

1 + х у

 

\

 

1 + X у '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.9. 2е2х~3у—Ц

 

3e2x~3y(2t — 1). 11.4.10. уа^"1^ + ху lnxcosf.

 

 

cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

11.4.14. dz = Зи2 (г;3 + Д^) du + и3 (зг;2 -

4) dv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.15. dz = \

 

 

vuv~l

 

 

jJL

lnt; ] du+

 

\\/x2-y2

 

 

 

 

 

y/x2-y2

)

 

 

570

+ (

*uV

Inи-^л

- у2

 

*Л dv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\y/x2-y2

 

 

y/x2

V J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.16. dz = — ^yev 4- x^j sinxydu — (yev 4- xlnu) sinxydv.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.17. dz = —V,\(

. Уц

 

 

+ x")

 

 

 

+ f -- US

 

 

 

 

 

 

x) d» .

 

11.4.18. (i2 =

- /

,

 

 

 

 

 

+ (—1,

 

 

 

 

sin v /

 

 

J

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2y/x + у L sin 2v

V cos и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.19. cfz = 7(x

+ 3y 5)-f(2xcosv + 15y4sinv)ciu+(—2xMsint;+15i/4MCOSv)rfvlJ.

11.4.22. y' =

e2» _ £

 

11.4.23. y'

=

 

2 6 y - l 4 e

: l

 

 

11.4.24. j,' = f + f

 

In x — 2xe y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ey — 9x e

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - у

 

11.4.25. у' = У- • У Г

2 ^ ^ . 11.4.26. у' = -У-. 11.4.28. (t):

 

 

 

 

 

 

 

 

х х2-2у2\пх

 

 

 

 

 

"

 

х

 

 

 

 

 

 

 

v'

 

 

 

 

 

 

Их + 2y - 24 = 0,

(n): 2x - lly 4- 7 = 0.

11.4.29. (t):

 

 

7ж - у - 13 = 0, (n):

 

 

11.4.35. dz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7y - 9 = 0.

 

 

+

 

 

 

 

n.4.36.

дх

=

ду

=

 

J

=-.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z - xy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х + У + z -1

11.4.37. ^ =

2

z

z'

= - 7

2^ . 11.4.38. я+ 4t/4 62 = ±21.

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.39. ±x±y±z = y/a2

4 b2

+c2 . 11.4.40. В точках

(1; 1; 0)

и

(1; -1; 0)

 

касательные плоскости параллельны плоскости Oxz, в точках (0; 0; 0) и

(2; 0; 0) касательные плоскости параллельны Oyz, а касательных плоскостей,

 

 

 

 

 

 

 

J

 

(x — и)

 

 

 

 

 

 

 

2e2t

параллельных Оху, нет. 11.4.42. ^ =

 

х

^

+ у

 

 

 

 

 

 

 

d*

 

 

11.4.43. dz = 2(4х3 - 8ху2) + (4у3 - 8x2y)e2t dt.

11.4.44. * = [ ( , + 1 )

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.4.46. dz =

 

h

У

очо

htyb*2

• In2 + - ^22

) dt.

 

y/(x2 4- y2Y

v

*

 

 

л/l

-

4^2 ^

11.4.47. & =

[•38Ь(« + У)усов(х + у)

+

^ _ 1} c o s ( y + x ) j ^

11.4.48. dz =

f

- 2

^ -

y2

cos

t /

dt.

 

 

 

 

V

y(t + 2)

 

 

 

 

 

11.4.49. dz =

f — — sec2 ^sin2* - 2^ sec2 ^cos21) dt. 11.4.56. Да.

 

V

у

у

 

у

 

 

У

'

11.4.57. Нет. 11.4.58. Да. 11.4.59. Нет. 11.4.60. Нет. М0(-1; 1) не лежит на

линии. 11.4.61. Да. 11.4.62. у = ±^3х2± у/9х4

- arctg^r.

11.4.63. у =

Ух41п(20я + 18х3 + 1). 11.4.64. у = ± Vaxctg(3x2 + 17) - ж2.

__

3

 

 

+ lfa4

4- у/9 4- 16s4 ± v/(3 + л/9 + 16ж4)2

11.4.65. у =

4х^

 

571

 

 

 

J(3 -

 

 

 

у =

3 -

Л/9 + 16Я4 ±

Л/9 + 16S4 )2

4- LFO4

. 11.4.66. В окрестности жо = 1

 

 

1——-я

 

 

 

 

4х

 

 

уравнение определяет две однозначные неявные функции, так как при хо = 1 уравнение допускает два корня у = 2 и у = 0. Касательная через (1; 0):

у = — ^ ( я — 1), через (1; 2): у — 2 = — — 1)- В окрестности у = 2

уравнение допускает также две однозначные неявные функции, ибо при у = 2 уравнение име-

ет два корня х = 1 и х =

20.11.4.67. §§ = 2и (f -

, Щ

= 2и

-

.

11.4.68. dz =

(2s#(tt;t>)

- ДУ

afl(it;t>)) <fc+ (

^f a /4(t>; p)-3f'v(u; v)) dy.

11.4.69. OX =

X — у

+

°У -

2*y/J(u;«)

- x — у

 

 

11.4.70. dz = ^(2ш; — v2) sin у — (гг2 — 2tw)y sin xj d;r4-

+^(2ш; — v2)x cos y 4- (tt2 — 2tw) coszj dy.

11.4.71. dz =

 

v) — yf'u(u\ v) sinxy^ dx — {xsmxyf'u(u\ v) + lf'v(u\

dy.

11.4.72. dz = Д-(соз |/i(u;t;) + ±

u)) (y d*

-xdy).

 

 

11.4.73. dz =

—

Указание. Из данных условий нужно исключить и

и v: и = у/х 4- у, v = ^/ж — у. Тогда 2 = \/х2 — у2,

 

 

 

=

xdx

_

?/dy

= xdx-ydy 11ЛЛ4л

dz=xdx

+ u4L.

 

 

у/х2 - у2

лЛ2

- У2

2

а

а

 

11.4.75. dz = y/z(xdx — ydy). 11.4.76. dz = 2(xdx 4- ydy).

 

 

11.4.77.dz = 2(® dx 4- У dy).

§5. Частные производные и дифференциалы высших порядков

11.5.7.— sin ж sin у dx2 4- 2 cos ж cosy dxdy — sin ж sin ydy2. 11.5.8. 24ж + 6у.

11.5.9. -sm(x + y).

11.5.10. _ 4 c o s 2 ( * 4 y )

2e

х ( х ± 2 у )

v

'

sin 2(® + y)

 

+ y)2

11.5.13. y(2 — y2) cosяу — яу2 sinxy. 11.5.14. sinycos(x 4- cosy).

 

11.5.15. , У2 ~

(dx2

-dy2)- 4 xy,

dx dy2>2.

11.5.16. - cos(z 4- y)(dx 4- dy)2.

(я + y )

 

 

+У )

 

 

11.5.17. dz = (2xy - y2)dx 4- (я2 - 2xy)dy, d2z = 2ydx2 4- 4(® - y)dxdy - 2xdy2.

11.5.18. dz

= (y 4-

4- (ж - l)dy, d2z = ~^£dx2 4- 2^1 4- ^

11.5.19. dz

= 6(z2 4- y2)2(xdx 4- ydy),

d2z = 6(x2 4- у2)[(5я2

4- y2)dx2 4- 4яу dx dy + (ж2 + 5y2)dy2].

11.5.20. dz = (sin x)cosy (cos у ctgxdx — sin у In sin xdy), d2z = cos ж (sin ж)cos y [(cos у - l)ctg2 z - 1] dx2- —2sinyctgx(sina;)COS2/(l 4- cosy In sin x) dxdy+

572

4-(зтх)С08у In sin я (sin у • In sin я — cos y)dy2. 11.5.21. dz — dx — 3cos y,

 

d2z = 3 sin у dy2. 11.5.22. d* = 2s<fe + dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(x

+ y )

 

 

 

 

 

 

 

 

d2z

=

 

(b-lx2)dxy^xdxdy-dy\ 11

5

25

 

 

 

yl

= 0)

y„

= уШ =

 

 

11.5.26. d2 *

= - ^ r f a ; 2 .

11.5.27. d2z =

-dx2 + 2dxdy. 11.5.28. y'(2) = - 2 ,

if" (2)

= - 5 .

Указание. Из 2x + 2уг/' +

 

2 x 2 +

2

= 0 с учетом ж2

+ у2

ф 0 легко

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

+2/

 

 

 

 

 

 

получить у' = - J, или х + уу' = 0.

11.5.29. у' = - f q j ^ J , J/" = -

,

г/'"

=

-

1 6 2

*

5

. 11.5.30. у' =

 

х21-Ь у'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(х + 2 у)5

 

 

 

 

"

 

 

 

 

 

 

 

 

у„

__

у2\у( 1

~ Inx)2

- 2(х - у)( 1 - lnx)(l

- In у) - х(1

- In у)2]

 

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х (1

InуУ

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

11.5.32. у' =

 

X

у" = Ц. 11.5.33. у' = - 1, у" = 0.

11.5.34. у' = -У-,

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

у" =

 

11.5.37. dz =

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.5.38. dz

=

 

 

 

-t1-V^)dx

+

{l-xz)dy

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

— ху

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2z _

2

— ^у) 6?Х2

Ч- [ж Ч- г/ — ^(1 Ч- ху)] dx dy 4- x(l - xz) dy2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 -ХУ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

11.5.39. dz =

 

* i v f

+

*{v)

9 d2z

=

 

 

 

У

[x

4- z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x 4- z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.5.40. dz = dx-

 

,

 

 

 

 

 

, d2z =

 

 

 

+

 

 

tf.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x - z ) 2 + y(y +1)'

 

 

 

 

 

 

[ ( * - * ) a + v(v + l)]8

11.5.41. aey(eysm(ax

 

+

ey)

-

cos(ax

+

ey)).

 

11.5.42.

4.

11.5.43.

 

0.

 

11.5.44.—6(cosx 4" cosy). 11.5.45. exyz(l + 3xyz + x2y2z2).

11.5.46. - 4 - +

4 8 (* ~

г

~

f Г д е г = л/(х — и)2

+ {у — v)2. 11.5.47. р\ •

 

г

 

 

 

 

 

 

1 1 Ь 48 2 ( - 1 Г ( щ 4- п - lj! ^пж 4- т у )

 

 

 

 

 

 

 

11.5.49. ех+2/ [ж2 4- у2

4- 2(тх 4- пу) 4- т(т - 1 ) 4 - n(n - 1)]. 11.5.50. 0.

Ц.5.51.

 

11.5.52. 2<К

+

+

<

 

(я + у)10

 

 

ж3

 

 

у3

^

11.5.53. еаж+б2/(а<*г + Му)п. 11.5.54.

еа я ! + Ь у + "(а& + bdy + с ^ ) п .

«(!)•"'О-s-f^+^erv

11.5.57.

 

 

sin ^ - у cos ^) dx2+4х (2у

4 .

22г/

- х sin ^) dx riy-4x

 

 

2у (2ж

cos

^

 

2 c o s j M y ^

 

 

 

x

sin2

^

 

 

573

11.5.58. еху [(1 4- ху) dx2 + 2(-J 4- х - \)dxdy 4- (®2 - ^ 4- Л) J Ж/2] •

11.5.59. ^ = 4®3

4- 9®2у - 8®у2 - 5у3, ^ = 3 *3

~ 8x2У + 1ЪхУ2 ~ 4У3»

 

= 12®2 + 18ху - 8у2, z''y = 9®2 - 16ху + 15у2, z'j2

= -8®2 4- 30®у - 12у2,

z'£y = 18® - 16у,

 

 

= 18® - 16у, z™2 = -16® 4 ЗОу. 11.5.60.

= у2еху,

z'x'y

=еху(ху + 1),

z'J2 = х2еху. 11.5.61. (1

- ®2yV)cos®y2 - 3®y2sin®t/2.

11 5 64

d2z = d2z f дгЛ2 . о

 

д2;г

^ i

 

f д?Л2 i

д2Ц i

dz д2^

 

 

" Ъх1

dv?\dx)

 

 

dudvdxdx

 

 

frv^ydx)

 

dv~dx

д2г _ d2z f ^mV

 

 

^ — 4

( ^ V 4-

 

dz dju

 

Ъу1

 

dv?\dy/

 

 

dudv Ъу ду

dv*\dy)

Шду7

cfody7'

 

d2z

_

d2z ди ди

•

d2z /дгг dv , di; du\

,

d2g &v_dv *

dz d2u

, дг d2p

 

 

^ dx

Jhuh

 

 

 

 

 

 

 

 

Шду ^ ~5v ЪхБу'

11 5 65

 

 

I 4xy d2z .

2d2z • 2 d z

 

 

 

d2z

_ Ахи&Л + 2(®2

4- y 2 ) - ^ - 4-

 

 

4-

 

 

 

 

dxdy~^Xyd7

{

 

 

У

}dudv+Xyd?

ди

 

 

 

H 5 66

д2* — d2^

I

d2g

I

2 д2;г

dxdy

_ а2 г _

d2z

 

 

 

 

Ъх1

Ъи

 

Ъг?

 

 

dudv'

 

~du

dv7'

 

 

ay

=

cm 4- cto

 

 

ouov

11.5.68. sin(® 4- 2y3) dx3 4- 12y sin(® 4- 2y2) d®2 dt/4-

+[48y2 sin(® 4 2y2) — 12 cos(® 4- 2y2)] d® dy24- 4-[64y3 sin(® 4- 2y2) - 48y cos(® 4- 2y2)] dy3.

§6. Производная по направлению. Градиент

11.6.5.Линия уровня, проходящая через А, — это окружность ®2 4- у2 = 2,

grad;g(l; 1) = (—2; —2). Вектор направлен к центру окружности, т. е. по радиусу. 11.6.6. Линия уровня — это прямая, проходящая через начало

координат \ = tgc (® ф 0), grad* = (

2 У 2;

-2-7—7),

 

 

 

 

 

 

( - i ; i ) , ^ 2 ( l ; - l ) =

( i ; i ) . 11.6.7.

2) = (2;4).

11.6.8. 4=- И.6.10.

= (2; 2; 2),

% = 2 +л/2. 11.6.11. ^аЛ гг = (±4; 0; 0).

V2

 

ш

 

§7. Экстремум функции двух переменных

11.7.2.2(® - I)3 + (® - I)2(у + 2) - 4(® - 1 )(у + 2)2.

11.7.3.1 + (® + 1) + 2(у + 1) + (® 4-1)2 - 3(® + 1)(у + 1) 4- 2(у + I)2. 11.7.5. 2,86.

11.7.6.0,503. 11.7.8. — стационарная точка, удовлетворяющая

условию минимума, /min(®;y) =

=

И.7.9. Функция имеет

574

максимум в точке М(—5; —1), /тах = /(—5; —1) = 1. 11.7.11. / т а х

— см.

задачу 11.7.10; /mi„(*;y) =

;

= -3. 11.7.12.

-

точка

минимума;

 

— точка максимума; /тin = -/шах =

 

 

11.7.14. Mi ( - 1

 

— точка минимума с 2min = 4

 

 

М 2 ( ^ 3 - 1 ;

_ т о ч к а максимума с гтах =

11.7.15. (—2;3) —

точка минимума,

— точка максимума.

 

 

 

11.7.17. шах f(x\ у) = /(±4; 0) = 16, min /(я; у) = /(0; 0) = 0,

 

/min(s;y) = / ( ± Ц ; ± § ) =

 

11.7.18. 2min

= 5, *т а х

= 12.

 

11.7.19. 2min = -2(>/2 + 1), 2?max = 2(у/2 - 1). 11.7.21. у = 2,08* - 0,5. 11.7.22. у = + 11.7.23. Mi(l; - 4) — точка максимума с

/шах(1; —4) = —14. 11.7.24. М(3;6) не является точкой экстремума.

11.7.25.— точка минимума. 11.7.26. Mi(l;0), М2(1; - 3) —

стационарные, не экстремальные. 11.7.27. Mi(0;0) — не экстремальная. М2(6; 6) — точка минимума. /min = /(6; 6) = -422. 11.7.28. Afi(l; 1) — точка минимума, zmin = —82; М2(—1; —1) — точка максимума, zm&x = 82;

М3

и

Ц р ) — не экстремальные.

11.7.29. zmin(y/2; -у/2) = 2min(—V^; л/2) = -8, М(0; 0) — требует дополнительного исследования. 11.7.30. 2тах (6;4) = 6912.

11.7.31. 2min(5; 6) = -86. 11.7.32. *max = z(0; - 5) = 41, 2min = z(-2; - 1) = -3. 11.7.33. zmm(3; - 2) = -11, 2 m a x ( l ; 2 ) = 9. 11.7.34. Минимум в точке (—6;6л/3). 11.7.35. В точке (1; —1) максимум z = 6 или минимум z = —2 (уравнение определяет две однозначные функции). 11.7.36. z(—1;2) = —2 или

z(-1; 2) = 2. 11.7.37. Q ; i) — точка максимума. 11.7.38. (а; а) — точка

минимума. 11.7.39.

 

 

—точки максимума,

~

~

— т о ч к и

минимума.

 

11.7.40. 2max =

- § ) = 11, 2min =

j; |) = 1. 11.7.41. Куб.

11.7.42.

V2F х V2V х 1 V2F. 11.7.43. Куб. 11.7.44. £ + | + \ = 1.

11.7.45. Размеры параллелепипеда: Л

Л» Л

где а, 6, с —

R6

соответственные полуоси эллипсоида. 11.7.46. /тах = 27"-

•

По вопросам оптовых закупок обращаться: тел./факс: (495) 785-15-30, e-mail: trade@airis.ru Адрес: Москва, пр. Мира, 104

Наш сайт: www.airis.ru

Вы можете приобрести наши книги

сII0 0 до 1730, кроме субботы, воскресенья,

вкиоске по адресу: пр. Мира, д. 106, тел.: (495) 785-15-30

Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66

Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной и развивающей литературы.

По всем вопросам обращаться

по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru

Учебное издание

Лунгу Константин Никитович Письменный Дмитрий Трофимович Федин Сергей Николаевич Шевченко Юрий Алексеевич

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 1 курс

Ведущий редактор В. В. Черноруцкий

Редакторы JI. В. Абламская, Д. И. Рачинский Оформление А. М. Драговой

Иллюстрации А. Ю. Терская, Е. Г. Иванов

Технический редактор С. С. Коломеец

Верстка К. Е. Панкратьев Корректоры 3. А. Тихонова, Ю. В. Сидорова

Подписано в печать 28.11.07. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Печ. л. 36. Усл.-печ. л. 36. Тираж 8000 экз. Заказ № 2361.

ООО «Издательство «АЙРИС-пресс» 113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. 50, стр. 3.

Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат» 143200, г. Можайск, ул. Мира, 93

Книга охватывает материал, преимущественно изучаемый на 1-м курсе технических вузов.

В ней содержится несколько тысяч задач по высшей математике.

Необходимые теоретические сведения по всем разделам вместе

с детально разобранными типовыми задачами позволят даже слабому студенту освоить азы этой непростой науки.

Вместе с тем в этом сборнике немало интересных и сложных задач для продвинутых студентов.

А наличие «качественных» вопросов к экзамену, контрольных работ и устных заданий делает эту книгу бесценной не только

для студентов, но и для преподавателей.

Неслучайно в последние годы этот сборник задач прочно вошел в учебный

процесс и занял место на полках библиотек А многих технических вузов.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности