= 7г( lim у\пу |
— 2 f In у dy\ = |
\ |
du = - dy |
У * |
o+e |
J |
J |
[dv = dy |
v = y |
= 7г[ 0 - 2[ lim у\пу\ |
— у\ |
] ] = — 2тг(0 — 1) = 2тг. |
V |
|
lo+e |
\oJJ |
|
Заметим, что можно использовать формулу (3.14):
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
Vv = 2тг |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
/ |
lim ( - х е ~ х - е~ |
х) |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2тг( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
\6-юо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2тг(0 + 1) = 2тг. |
• |
9.3.167. |
Найти объем |
|
тела, |
образованного вращением вокруг оси Ох |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — a(t — sint), |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
арки циклоиды{ у = а(1 — cost), |
|
|
< t < 2тг. |
|
|
|
|
|
|
О |
Д л я |
нахождения объема тела вращения используем фор- |
|
мулу (3.13): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27Г |
|
|
|
|
|
VX=7T J |
(а(1 |
- cost))2 |
• а(1 - cost) dt = |
7га3 |
J |
(1 |
- cos tfdt = |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2тг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
7га3 J |
(1 |
- 3cost + 3cos2 1 |
- cos31) dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
/ V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ijt |
|
|
|
= 7ra |
j |
2 |
+ - ( 1 + cos2t) - 3cost |
, |
cos3t -I- 3cost\ |
|
|
|
|
|
\1 |
|
|
|
|
|
|
J dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2тг |
|
о |
|
|
15 |
|
|
1 |
|
\ |
|
|
|
|
|
= |
7ra3 |
|
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- cos 2t — |
- cos t — - cos 3t J dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / 5 |
3 |
. |
ftA |
15 . |
|
|
1 . |
|
\ |
2тг |
|
|
|
|
= 7T<r I -t |
+ т sin 2 1 - -7- sin t— |
— sin 3t J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V Z |
4 |
|
ft |
|
|
|
1Z |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 7га |
• 57Г = 57Га*. |
• |
9.3.168. |
Найти объем |
|
тела, |
образованного вращением |
вокруг прямой |
|
х — —2 области, ограниченной линиями у = х3, х = — 1, х = О, |
|
у = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
координат в точку 0\(—2;0), сохранив |
|
О |
Перенесем |
|
начало |
|
направление осей (см. рис. 106). В новой системе координат |
|
уравнение кубической параболы примет вид у = (х\ — 2)3, от- |
|
сюда # 1 = 2 + %/у. Объем VH |
нижней части тела (под осью Ох) |
|
найдем как разность двух объемов: VH = V\ — V2, где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
V2 = 7Г |
|
J (2 + %/jj)2dy = ~7Г, Vi =7Г |
J |
ldy = 7T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
(или как объем цилиндра с высотой 1 и радиусом основания 1). |
Имеем |
о |
о |
= |
— 7г=^7г. Объем VB верхней части тела (над |
осью Ох), очевидно, равен VB = 127т (как разность объемов |
прямых круговых цилиндров: V = тг 4 - 4 — 7г • 1 • 4 = 127т). |
Таким образом, V = VH + VB = |тг + 12тг = ^тг. |
Замечание. Искомый объем тела можно найти, используя |
|
|
б |
формулу V = |
J S(у) dy. Любое сечение тела вращения плос- |
а
костью, перпендикулярной оси вращения, есть кольцо, ограниченное концентрическими окружностями. Найдем S(y) для верхней и нижней части тела вращения:
SB(y) = TTR2 - тгг2 = тг • 22 - тг • I2 = Зтг;
5„(») = тгй2 - 7ГГ2 = тг(2 |
+ |
^ ) 2 - 7 Г . 1 2 = 7 Г ( 3 + 4 ^ + V»*)- |
Следовательно, |
|
|
|
4 |
|
0 |
|
V = VB + V„ = |3тг<й/ + |
J |
тг(3 + 4 |
)dy=—7T. • |
0 |
-1 |
|
9.3.169. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций у = 2х—х2, у = — х+2. О Построим чертеж (см. рис. 107). Графики функций пересекаются в точках (1;1) и (2;0). Используя формулу (3.13),
находим
2 |
|
|
|
|
|
|
V = У (2s - |
х2 )2 dx- J (-x + |
2)2 dx = |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
J (Ax2 |
- Ax3 |
+ x4 |
- |
x2 + 4x - 4) dx = |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
= J (x4 |
- 4x3 |
+ 3x2 |
+ 4x - 4) dx = |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
/X5 |
|
\l2 |
1 |
|
|
= ( ^ - Z 4 |
+ X 3 + 2 X 2 - 4 X ) |
= I . |
li
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:
9.3.170. |
у = х3 , х = О, у = 8 вокруг оси Ох. |
|
9.3.171. у — -———т, у = О, х = О, х = 1 вокруг оси Ох. |
|
|
|
|
|
1 -Ь х |
|
|
|
|
9.3.172. |
у2 |
|
= (х + I)3, х = 0 вокруг оси Оу. |
|
9.3.173. у2 = 16 — х, х = 0 вокруг оси Оу. |
|
9.3.174. |
у = у/хех, |
х = 0, х = In 2 вокруг оси Ох. |
|
9.3.175. у = 2sinx, 0 ^ х ^ 7г вокруг оси Ох. |
|
9.3.176. |
у2 |
|
= 4х, у2 = х3 вокруг оси Ох. |
|
9.3.177. |
у2 |
|
= 6х, у = у/Ъх2 |
вокруг оси Ох. |
|
9.3.178. |
\2- гг«.2= 1, 2/ = —Ь, у = Ь вокруг оси Оу. |
|
|
а |
|
о |
|
|
|
|
9.3.179. |
2 |
?/2 |
|
|
|
|
а |
|
+ fj = 1 вокруг оси Оу. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
9.3.180. |
х2 |
|
+ у2 = 1 вокруг прямой х = 2. |
|
9.3.181. |
у — cosx, у — -1 вокруг прямой у = -I при х £ J - ^ ; |
. |
9.3.182. |
у2 = 6х, х = 3, х = 5 вокруг оси Ох. |
|
9.3.183. |
Зх - у = 0, Зх - 4у = 0, у = 3 вокруг оси Ох. |
|
9.3.184. |
2у = 16 - х2 , у - 4 = 0, у = 0 вокруг оси Оу. |
|
9.3.185. |
у/х + у/у = 1, х = 0, у = 0 вокруг оси Оу. |
|
|
I хЛ =— UUOcos31,С/, |
_ |
|
9.3.186. |
< |
|
|
|
. « |
1 |
вокруг оси Ох. |
|
|
1 |
|
|
С1П"35 |
|
|
|
|
|
|
у = sin |
t |
|
|
|
9.3.187. |
у = ach |
|
х = —a, х = а вокруг оси Ох. |
|
9.3.188. |
х = (у - 2)2, х = 0, |
у = 0 вокруг оси Оу. |
|
9.3.189. |
у = хех, х = 1, у = 0 вокруг оси Ох. |
|
|
|
9.3.190. |
у = |
i x 2 , 2х + 2у - 3 = 0 вокруг оси Ох. |
|
|
9.3.191. |
у = 2х — х2, у = 0 вокруг оси Оу. |
|
|
|
9.3.192. |
(x = 2flcos*-flcos2*, |
, |
ч |
„ |
< |
= |
2Rsint |
0 ^ t ^ 2тг (кардиоида) вокруг оси Ох. |
|
I у |
- Rsin2t, |
|
|
|
9.3.193. |
х2 - у2 = а2, х = 2а вокруг оси Ох. |
|
|
|
9.3.194. |
у — -—1—т вокруг ее асимптоты. |
|
|
|
|
|
1 + х |
|
|
|
|
9.3.195. |
у = х-/—х, х = —1, у — 0 вокруг оси Оу. |
|
|
9.3.196. |
(x = t2, |
(петля) вокруг оси Ох. |
|
|
^ |
_ + |
_ i з |
|
|
|
\y |
= |
-t-±tj |
|
|
|
|
9.3.197. |
2у = х2 |
+ 4х + 4, у = 2 вокруг оси Оу. |
|
|
Контрольные вопросы и более сложные задачи
9.3.198. |
На всех хордах круга радиуса R = 9, параллельных одному на- |
|
правлению, построены симметричные параболические сегмен- |
|
ты постоянной высоты Н — 4. Плоскости сегментов перпенди- |
|
кулярны к плоскости круга. Найти объем полученного таким |
|
образом тела. |
9.3.199. |
Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль диа- |
|
метра круга радиуса Д, причем плоскость, в которой лежит |
|
квадрат, остается перпендикулярной к плоскости круга, а две |
|
противоположные вершины квадрата перемещаются по окруж- |
|
ности. Найти объем тела, образованного этим движущимся ква- |
|
дратом. |
|
9.3.200. |
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г = л/3 у, |
|
* = 0, |
+ £ = 1 (у £ 0). |
9.3.201. |
Основание тела есть круг х2 + у2 ^ 4. Каждое сечение, перпен- |
|
дикулярное оси Ох есть полукруг. Найти объем тела. |
9.3.202. |
Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом 36х2 + |
|
+ 9у2 + 4z2 |
— 72х + 18у + 9 = 0 и плоскостями у = — 2 и у = 1. |
Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями:
9.3.203. у = х2, у = 4 вокруг прямой х = 2.
9.3.204. у = х2 — 1, у = 0 вокруг прямой у = —1. 9.3.205. х2 + (у - 2)2 = 1 вокруг оси Ох.
9.3.206. у = arccosx, у = arcsinх, у — 0 вокруг оси Оу.
9.3.207. |
у = у/х — 1, у = 0, у = 1, х = 0,5 вокруг оси Ox. |
V |
|
|
9.3.208. |
(х - 4)у2 = х(х - 3) вокруг оси Ох. |
|
|
|
|
|
9.3.209. |
у = х2е~х2 |
вокруг своей асимптоты |
( |
f е~х2 dx = |
j. |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
о |
|
' |
|
9.3.210. |
у |
= |
|
у = 0 вокруг оси Ох |
( j |
^ dx = |
|). |
|
|
|
|
|
|
|
^ о |
|
|
' |
|
|
9.3.211. |
г = cos2 |
вокруг полярной оси. |
|
|
|
|
|
9.3.212. |
х2 + (у - 2)2 = 1 вокруг оси Оу. |
|
|
|
|
|
9.3.213. |
2/ |
= ^ 1 |
^ |
х ^ а, у = 0. Что |
происходит с объемом |
при |
|
а |
|
+оо? |
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
9 |
|
х = 2 cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3.215. |
|
|
|
|
вокруг оси Ох. |
|
|
|
|
|
Может ли фигура, образованная при вращении вокруг оси Ох |
|
|
у = 2 sin t |
|
|
|
|
|
|
|
графика некоторой функции, ограниченной плоскостями х = а |
|
и х = Ь (а < Ь), иметь объем, меньший 1, при любом значении Ь? |
Вычисление площади поверхности вращения |
|
|
|
Если дуга кривой, |
заданная неотрицательной функцией у |
= |
/(х), |
а ^ х ^ Ь, вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
б |
|
|
|
|
|
Sx = 2TTJ |l/|\/l + (f'(x))2 dx, |
(3.16) |
a |
|
где а и b — абсциссы начала и конца дуги. |
ц>(у), |
Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией х = |
с ^ у ^ d, вращается вокруг оси Оу, то площадь поверхности вращения |
вычисляется по формуле |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S y |
= 2тг| I x l |
v ^ |
K ^ |
W ( 3 |
. |
1 |
7 ) |
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
где с и с? — ординаты начала и конца дуги. |
|
|
х = х(£), |
Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями |
h ^ t ^ |
причем |
^ 0, то |
|
|
|
{У |
= |
y(t), |
|
Sx = |
2TT J y(t)y/(x't)2 |
+ (y't)2 |
dt. |
|
|
(3.18) |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Если дуга задана в полярных координатах г = |
а ^ |
^ ft, то |
|
Sx |
= 2тг J rising |
+ |
|
|
|
|
(3.19) |
9.3.216. Найти площадь поверхности шара радиуса Д, рассматривая его как тело вращения.
О Поверхность шара (сферы) может быть образована враще-
нием дуги кривой y = y/R2—x2 |
(полуокружности), |
—R^x^R во- |
круг оси Ох (или дуги х = у/R2 |
— у2 |
вокруг оси Оу). Применим |
формулу |
(3.16): |
|
|
|
|
|
|
|
|
л / Г Т W = M / I + |
|
R |
л/Д2 - X2 ' |
|
|
V |
В 2 - * 2 |
л/д 2 - X2 ' |
|
R |
|
о |
|
|
|
|
Sx = 2тг |
[ у/R2 — х2 • |
|
- х2 |
dx — |
|
|
|
|
л/Д2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
д |
|
|
|
= 2тг |
J |
[ |
Rdx = 27гДх |
-R |
= 4тгД2; |
|
|
|
|
-R |
|
|
|
[ или: |
х = yjR2 — у2 , |
х' = |
—=М= , |
V |
|
|
|
yjR2 —у2 |
|
R |
|
|
|
|
= 2тг |
J Xy/l + |
(х')2 |
dy |
= |
|
|
-R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2тг |
[ |
y/Rt-y2-—. |
R |
|
|
У |
V |
|
л / Д 2 ^ |
|
|
-R |
|
|
|
Если окружность задана параметрическими уравнениями |
|
|
х = Д cos |
|
|
|
{2/ = Д sin * |
|
то, применив формулу (3.18), находим |
|
1 |
J |
, |
|
- 5 х |
= 2тг у |
fisinfv"((ficos^)2 + ((Д sin£)J)2 dt = |
|
о |
|
|
|
|
IT |
|
|
|
= 2тг у "Д sin * • Д с?* = 27гД2 |
(— cos t)' о' = 2тгД2 . |
|
|
о |
|
Следовательно, £х |
= 47гД2. |
|
|
|
Если окружность задана в полярных координатах уравне- |
нием г = Д, то, применяя формулу (3.19), находим |
|
|
1 |
? |
, |
|
= 2тгД2, |
- 5 ж = 2 т г у Дsin^^/fi2 + (Д')2 ^ = 2тгД2(- cosy>) |
2 |
|
о |
|
о |
|
|
|
|
|
т.е. |
=4тгД2. |
|
|
• |
9.3.217. Найти площадь поверхности, образованной вращением кривой х2 = У + 2, у = 1 вокруг оси Оу (см. рис. 108).
|
|
2/ |
|
|
/ |
' |
i" |
|
|
v |
^ |
|
" |
7 |
|
|
|
|
|
- V 2 |
\ |
0 |
M |
x |
- 2
Рис. 108
О Воспользуемся формулой (3.17). Имеем:
|
|
2<г * х — 1, |
|
х — _ , |
|
|
|
|
2х |
V |
yJ у |
4х |
у |
% + 2) |
j V i ± 2 ^ ± 9 |
|
|
j / |
2 у ^ Т 2 |
|
|
|
|
1 |
|
• |
|
|
= 7Г J |
|
|
|
- 2 |
|
|
9.3.218. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением {х = R cos3 —
4' 0 ^ t ^ 2тг вокруг оси Ох. О Используемy = формулуRsm6\, (3.18).
/ |
„т. . |
2 t |
t |
1 |
|
|
|
|
yt |
= 3R sin |
-4• cos -4• -4 |
, |
|
|
|
у Д ^ Т Ш = J ^ R 2 cos* |
\ Sin2 |
I + |
^ Д 2 |
Sin4 |
i COS2 j = |
|
3 n |
. Л |
0 |
* |
- = |
|
|
t |
|
= -RA sin |
- cos2 |
-R sin - cos - . |
|
4 |
V |
4 |
|
4 |
4 |
4 |
4 |
1 о |
л |
7 г, . 3 t 3 „ . t |
* |
|
|
-Sx |
= 27Г |
/ ii sin |
— • —R sin — cos — dt = |
|
|
2 |
|
У |
4 4 |
4 |
4 |
|
|
|
о |
27Г |
|
|
sin - |
2тг |
бтгД2 |
|
= - 7 Г Й 2 J 4sin4 - d(sin |
|
= 6тгД: |
|
|
|
|
5 ' |
|
|
|
|
|
|
|
С л е д о в а т е л ь н о , 5X |
= J^TTR2. |
|
|
|
• |
9.3.219. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением дуги кривой г = cos2 (р вокруг полярной оси, 0 ^ ip ^
О Используя формулу (3.19), находим
Sp = 27Г J COS2 sin ip^j(cos2 ip)2 |
+ ((cos2 |
= |
= 27Г J cos2 tpsmipyjcos4 |
+ 4 cos2 ^ sin2 ip dip = |
о |
|
|
7Г |
|
|
= 27Г J cos3 ipsmipyjcos2 + 4 sin2 ip dip = |
о |
|
|
7Г |
|
|
2 |
|
|
= 2тг J cos3 <^>/4 — 3 cos2 |
c?(cos |
= [cos<£ = £] = |
|
о |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
= 2тг J t3\/4 — 3£2 dt = 2тг J t2 • ty/4 - 3t2 dt = |
|
|
u = t2 |
du = 21 dt |
|
dv = ty/4 - 312 dt |
|
|
|
|
|
= 2^(-^2V(4-3t2)3[ + |
^ |
/ |
ty/(4-3t*)*dt) |
= |
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
J 1 |
1 2\/(4 — 3t2)5 |
|
|
= 2 4 " T 8 - 5 4 |
|
|
5 |
|
J = |
|
„ / 1 |
1 Л |
1 \Л |
„ / 1 |
31 \ |
47 |
= 2 Ч " 1 8 " |
135 I 1 " |
3 2 ) ) |
= H~ 18 + |
ш) = |
135* |
417
25-2361
Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности враще ния:
9.3.220. |
Одна арка циклоиды х = a(t — sin£), у = а(1 — cost) вокруг |
|
оси Ох. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.3.221. |
Одной арка циклоиды вокруг оси Оу. |
|
|
|
9.3.222. |
Дуга параболы у2 = 2х, х Е [0;4] вокруг оси Ох. |
9.3.223. |
Дуга синусоиды у = sinx, 0 ^ х ^ 7г вокруг оси Ох. |
9.3.224. |
Эллипс ^2+ |
w2 = 1 вокруг оси Ох. |
|
|
|
|
|
а |
о |
|
|
|
|
|
|
|
9.3.225. |
|
„2 |
|
вокруг оси Оу. |
|
|
|
Эллипс ^ + тт = 1 |
|
|
|
|
|
а |
о |
|
|
|
|
|
|
|
9.3.226. |
Окружность г = 4 sin у? вокруг полярной оси. |
|
9.3.227. |
Окружность г = 2 cos ip вокруг полярной оси. |
|
9.3.228. |
Дуга кривой у = ^х3 о т х = - 1 д о х = 1 вокруг оси Ох. |
9.3.229. |
Отрезок |
с началом |
в |
точке |
0(0; 0) и |
концом |
в точке A(R]H) |
|
вокруг оси Оу. |
|
|
|
|
|
|
|
9.3.230. |
Дуга цепной линии y = 2 c h ^ , 0 ^ x ^ l вокруг оси Ох. |
9.3.231. |
Дуга кривой у — sin3x, 0 ^ х ^ ^ вокруг оси Ох. |
9.3.232. |
Астроида xi |
+ yi = |
ai |
вокруг оси Оу. |
|
|
|
9.3.233. |
Дуга кривой у = е~х, х ^ 0 вокруг оси Ох. |
|
9.3.234. |
Кривая |
i у2 |
- liny, |
l ^ y ^ e |
вокруг оси |
Оу. |
|
9.3.235. |
_ |
|
, ~ = 2Rcost - Rcos2t, |
Л |
^ , |
^ _ |
Дуга кардиоиды < |
|
Л |
. |
„ . Л |
|
0 ^ |
£ ^ 2явокруг ее |
|
оси. |
|
1 |
|
|
2Rsmt - Rsm2t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 . 3 . 236 . |
Дуга линии < х = е* sin t,' |
от |
= 0 до t2 |
= 5- вокруг оси Ох |
|
|
{у = е |
cos £ |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
И / = Р 1 гR N S / |
|
|
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
9.3.237. |
Дуга кривой < |
3 |
« |
0 ^ £ ^ 2у/2 вокруг оси Ох. |
9.3.238. |
Дуга кривой < |
24 |
2 |
0 ^ £ ^ 4\/2 вокруг оси Ох. |
|
|
|
V = 4 - i 6 ' |
|
|
|
|
|
9.3.239. |
Кардиоида г = 10(1 + cosy?) вокруг полярной оси. |
9.3.240. |
Лемниската г = 2^/cos 2у> вокруг полярной оси. |
9.3.241. |
Дуга кривой г = —\гтг, 0 ^ у? ^ S- вокруг полярной оси. |
|
|
|
cos^ ^ |
|
* |
|
|
|
Более сложные задачи
Кривая вращается вокруг оси. Вычислить площадь поверхности вращения:
9.3.242. |
Окружность х2 + (у — 2)2 = 1 вокруг оси Ох. |
9.3.243. |
Тангенсоида у = tgx от х = 0 до х = ^ вокруг оси Ох. |
9.3.244. |
Дуга х2 + у2 = 1, х ^ 0, у ^ 0 вокруг стягивающей ее хорды. |
9.3.245. |
Петля кривой 9х2 |
= у(3 - у)2 вокруг оси Оу. |
|
|
|
{ |
х = t — sin |
О ^ t ^ 27г, вращающейся во |
|
|
|
круг касательной, проходящей через вершину циклоиды, па- |
|
|
|
раллельно оси Ох.у = 1 — cos |
|
|
|
~ |
|
~ |
_ |
I |
х |
= 2 (t |
— |
sin £), |
|
|
П |
|
Одна арка циклоиды{< |
JU Ь VI/ |
OLLL V I , |
|
9.3.247. |
у = 2(1 - c o s t ) |
вокруг ее оси симме- |
трии.
9.3.248. Кардиоида г = 1 + cos ц> вокруг касательной в ее вершине (2; 0).
Физические (механические) приложения определенного интеграла
а) Путь у пройденный телом, перемещающимся со скоростью v = v(t), за промежуток времени [ti;^]? выражается интегралом
ta
S= J v(t) dt. (3.20)
и
б) Работа переменной силы, заданной функцией F = F(x) и направленной вдоль оси Ох на отрезке [а; Ь], равна интегралу
ь
в) Давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу столба этой жидкости («закон Паскаля»), т.е. Р = gj S h, где g — ускорение свободного падения, 7 — плотность жидкости, S — площадь пластинки, h — глубина ее погружения.
Давление эюидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями х = а, х = Ь, у\ = fi(x) и у2 = /2(#) (см. рис. 109), вычисляется по формуле
р = 91 fihix) - h(x))xdx. |
(3.22) |
а
419
