Сборник задач по высшей математике

Теорема 11.18 (необходимые условия экстремума). Если f(x\y)

дифференцируема в точке (жо;2/о) и имеет экстремум в этой точке, то ее дифференциал равен нулю:

2.Если АС — В2 > 0 и А > 0, то (хо;2/о) — точка минимума.

3.Если АС - В2 < 0, то (хо;2/о) не является точкой экстремума.

4.Если АС-В2 = 0, то точка Мо(хо',Уо) может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

Экстремум функции в области

Речь идет о нахождении наибольшего и (или) наименьшего значения данной функции z = f(x;y) в замкнутой области D. Для этого следует найти сначала все локальные экстремумы внутри области D, а затем также наибольшее и наименьшее значения на ее границе dD. В результате сравниваем полученные величины, и задача завершена.

Добавим, что как правило, граница dD состоит из совокупности отдельных участков, на каждом из которых задача сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной z = ifi(t), где г — номер участка, a t — независимая переменная на этом участке, которая может совпасть с х или у или быть отдельным параметром.

Условный экстремум

Под условным экстремумом имеется в виду поиск экстремума некоторой функции z = f(x',y) при условии, что (х\у) удовлетворяют еще некоторым условиям, например, уравнению ip{x\y) = 0.

Такая задача сводится к задаче на обычный экстремум для новой

функции

у),

500

которая называется функцией Лагранжа, а А — множитель Лагранжа. Заметим, что F(x\y; А) — функция трех переменных, а для таких функций или функций большего числа переменных достаточные условия формулируются в терминах знакоопределенности квадратичной формы, совпадающей со вторым дифференциалом рассматриваемой функции в испытуемой точке. Теорема 11.19 является частным случаем, выражающем знакоопределенность квадратичной формы с двумя переменными dx и dy.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов является непосредственным результатом применения исследования на экстремум функции нескольких переменных и заключается в следующем. На плоскости Оху имеется система из п точек (xi\yi), (£2;2/2), • • • > (хп)Уп)- Требуется подобрать некоторую функцию у = /(х), которая «сглаживала» бы все точки этой системы, т.е. величина

<52(/) = Е ( / Ы - Ы 2

i=1

была бы минимальной; (f(xi) — yi)2 — квадрат отклонения ординаты функции / в точке Х{ от ординаты данной точки.

В случае, если f(x) = ах + Ь, речь идет о поиске прямой, квадратическое отклонение которой (рис. 128)

п

62(а,Ъ) = ^(axi + b-yt)2

i= 1

от данной системы точек было бы минимальным.

Существование минимума такой функции очевидно, поэтому соответствующие коэффициенты а и Ь прямой можно найти, используя только

501

необходимые условия экстремума для функции двух переменных а и Ь: •§~S2(a, Ь) = 2 £ (axi + Ъ - yi)Xi = О,

502

Таким образом, >/ll,82 + 5,32 « 13-0,0692+1-0,0096 = 12,9356.

Вычислить приближенные значения данных функций в точке (хо,2/о)> используя формулу Тейлора с п = 2.

М3 (-3;2).

2.Эти точки исследуем согласно теореме 11.19 на достаточ-

ность условий экстремума. Сначала определим отдельно

А теперь для каждой точки вычислим соответствующие (см. теорему 11.19) А, В, С, определим знаки величин Д = АС — В2

и А.

503

Рис. 129

О Область D определения функции есть вся плоскость R2, но нас интересует только открытый квадрат О ABC (см.рис. 129).

1. Стационарные точки определим из системы

{f'x = cosx - sin(x + у) = 0, = cos у - sin(x + у) = 0.

После вычитания друг из друга этих уравнений получаем

В нашем квадрате может иметь место только условие х — у = 0 (п = 0), а тогда, присоединив к этому уравнению первое уравнение системы, получаем равносильную систему

Тем самым, получили три стационарные точки М 2 ( n M 3 ( f ; f ) .

2. Достаточные условия.

— 2" = - sin у - cos(x + 2/)-

504

505

Если х = 0, у = О то z = 0, f'z = 0, а тогда в окрестности точки (0; 0) уравнение не определяет однозначную функцию, и эта точка не подлежит исследованию. Остаются фактически

две стационарные точки: M i ^ и М 2 о )•

2. Для проверки достаточных условий найдем вторые частные производные по правилам дифференцирования неявных

Преобразуем сначала в общем виде эти выражения с учетом

Исследовать на экстремум неявную функцию z(x\y), определяемую данным уравнением:

О1. Исследуем функцию на локальный экстремум внутри D.

506

Получили три стационарные точки, которые все лежат в области D: Mi(0;l), М 2 (0; - 1), М 3 ( - 5;0) .

Примечание. При поиске наибольшего и наименьшего значений функции в области не обязательно находить характер точек экстремума, т.е. достаточные условия можно опускать. Надо найти значения функции в этих стационарных точках и среди них выбирать наибольшее и наименьшее.

Итак, имеем z(0; 1) = 1, z(0; - 1 ) = 1, z( - 5;0) = - 24 .

Заметим, что z(y) = z(—y), т.е. функция принимает одинаковые значения в точках (х; у) и в точках (х; —у) (имеем четность по переменной у). Отсюда следует вывод о достаточности рассмотрения границы ABC ромба ABCD.

Один из способов дальнейшего исследования такой. Составим уравнения для АВ и ВС, подставим их в z, получим функции одной переменной, которые исследуем на экстремум.

Другой способ — это условный экстремум. На отрезке АВ рассмотрим первый способ, т. е. обычный экстремум, а на

507

[0;7],*2 = 1 = 1,4.

Нам необязательно знать, что это за точка — максимума

или минимума. Вычислим ^(g) - Поскольку при х = 1,4 полу-

су

чаем у = 2 — ^ = 1,6, то достаточно вычислить

*(х; у) = 2;(1,4; 1,6) = - 1 0 • 1,4 • 1,62 + 1,42 + 10 • 1,4 + 1 = = -35,84 + 1,96 + 14 + 1 = -18,88.

Первое уравнение умножим на 7, второе — на 2 и сложим результаты. Этим исключим параметр А из системы:

-702/2 - 40x2/ + 14х + 70 = 0,

Непосредственной подстановкой приходим к уравнению, которое после сокращений имеет вид ЗОу2 —А7у+4 = 0. Отсюда находим у = ^ ^ ^ С р а з у получим точки {у\ = 1,5, х\ = —1,75),

(2/2 = 0,1, xi = -6,65), т.е. Mi(—1,75; 1,5), М2 (-6,65;0,1).

Результаты вычислений значений функции в Mi, М2 и С таковы: z(Mx) « -25,935, г(М2 ) « -22,9, z(C) = 20.

Сравнивая все полученные величины, приходим к выводу:

наибольшее значение функции в D, т. е. max f(x;y) =

(x-,y)eD

= /(7;0) = 120, а наименьшее значение, т.е. min f(x\y) =

(x;y)eD

= / ( - 5 ; 0 ) = - 24 .

508

Требуется построить прямую с уравнением у = ах + Ь так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек в смысле наименьших квадратов.

О Очевидно, что точки с данными координатами не могут быть расположены на одной прямой, а построить прямую как бы «сглаживающую» эти точки, можно. Для этого достаточно решить систему уравнений, приведенную в соответствующей теоретической части. Для удобства расчетов строим рабочую таблицу.

Первый столбец обозначает номер по порядку записи точек (координат). Из сумм столбцов при Xi, t/i, х2 , Xiyi составляются коэффициенты системы (7.1) для определения параметров а и Ь прямой у = ах + Ь. Система имеет вид:

Г31а + 9Ь = 37,

+66 = 16.

Искомое уравнение у = 0,74х -I-1,55.

509