Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

1. Если под знаком интеграла стоит выражение R(sin х, cos х), получающееся из функций sin х и cos х и некоторых констант с помощью четырех арифметических действий (R(sin х, cos х) называется рационально^ функцией от sinx и cosx), то данный интеграл J ii(sinx, cosx)dx сводится к интегралу от рациональной дроби при помощи универсальной тригонометрической подстановки t = tg ^. Тогда

						2 dt
sm x ==	21	г, cos x =	1 - t2		dx =
				т-,		1 + t2'
	1 + *2'		1 + *2'

Хотя универсальная подстановка позволяет найти любой интеграл вида J i?(sinx,cosx)dx, однако в большинстве случаев она приводит к чересчур громоздким вычислениям, и тогда удобнее пользоваться другими, более эффективными подстановками. Тем не менее некоторые интегралы наиболее быстро считаются именно с помощью этой подстановки. В

частности, это относится к интегралам вида	/f	—:	dx	;—> где а
'	J	cl sin ж + о cos х + с

или Ь не равны нулю.

2. Если подынтегральная функция R(sinx,cosx) не меняется при перемене знаков у sinx и cosx одновременно, т. е. если

R(sinx,cosx) = R(- sinx, — cosx),

(5.1)

то целесообразно применить подстановку t = tgx. В частности, это отно-

сится к интегралам вида f ——5	г- :	—	5
J a sin х +	о sin х • cos х + с • cos		х + d
3. Если подынтегральная функция R(sinx,cosx) меняет знак при за-
мене sinx на — sinx, т. е. если
R(— sinx, - cosx)	=	—R(sinx,cosx),

то интеграл рационализируется с помощью подстановки t = cosx. В частности, это относится к интегралам вида J s i n 2 n + 1 х • cos2*5 xdx, где п = 0,1,2,3, ...

Если же подынтегральная функция R(sinx,cosx) меняет знак при замене cos х на — cos х, т. е. если

R( sinx,— cosx) = —R (sinx, cosx),

то интеграл рационализируется с помощью подстановки £ = sinx. В частности, это относится к интегралам вида J sin2n х • cos2AH_1 xdx,

k= 0,1,2,3, ...

4.Если подынтегральная функция представляет собой произведение четных степеней синуса и косинуса, то есть данный интеграл имеет вид

	Jsin2n х • c o s x d x , где п = 0 , 1 , 2 , . . . , k	= 0 , 1 , 2 , . . . ,
то следует упростить ее с помощью формул sin2 х =		1 ~	? cos2 х =
= 1 +	sinхcosх = A sin2x.

360

5. При вычислении интегралов / sin пх • cos kxdx,		/ sin пх • sin kxdx,
. и	J	J

/ cosnx • cos kxdx, пользуются тригонометрическими формулами пре-


образования произведения в сумму:
sin a - cos /3 =			^[sin(a - /3) + sin(a + /?)],
			А
sin а • sin/? =			i[cos(a - /3) - cos(a + /?)],		(5.2)
cos а • cos /3 = i[cos(a - /?) + cos(a -I- /?)].
6. Интегралы вида j tgn xdx и J ctgn ж dx				вычисляются с помощью

формул tg2 X = —К		1 И Ctg2 X = —Дч		1, позволяющих понизить
COS	X		sin X
степень тангенса или котангенса.

8.5.1.Найти интеграл J4sina._c-dx3 cos ж—5 *

ОВоспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой (случай 1):

2dt

ах

4 •

_ q . 1

- ^ "

4sinx - 3cosx - 5

2cftiax

J 44-

- J St - 3((1 - t2) - 5(1 + t2)

~ J J

t2-4t + 4

~ J J t ^ W =

+ C =

tgf~^2 +

Найти

интегралы:

8.5.2.

sm x

8.5.3.

5 cos x + 3'

8.5.4.

Найти интеграл

[ - — л

1 -f sin

О Поскольку подынтегральная функция удовлетворяет усло-

вию (5.1), то применим подстановку t = tgx (случай 2, тогда

dx = —^-т, sinx = > ^

и cos ж = —7====). Для удобства

1 + г '

V i T ?

>/ПнР

поделим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на

cos2 х и воспользуемся тождеством — \ — = 1 + tg2 х. Тогда

cos

——

d tg х

361

_ Г d t	_ 1 Г	d t	_ 1	1	1 П _
= У	= 2 У		= 2 '		=

= у 2

Найти интегралы:

8.5.5.	[	0	л	я-.
8.5.7.	У		3 sin	х + 5 cos ж
8.5.7.	Найти интеграл:
	1)		J sin3	Xy/cos x dx;

arctg у/2t + С = 4= arctg(\/2 tg х) + С. < у 2

8.5.6.	[	. в dx
	У	sin х cosx

2) [

7У sm ж • sin 2x

О1) Подынтегральная функция меняет знак при замене sinx на (—sinx), поэтому применяем (случай 3) подстановку t = cosx. Тогда

J sin3 х • у/cosx dx = J sin2 x • у/cosx • sin xdx =

= У (1 — cos2 x) • v'cosx • sin xdx =
= [t = cosx	dt = - sin xdx] — j{\ - t2)y/t{-dt) =
= J(*5/2	- fV2)<ft =	_		^3/2 + ^ =
		2			2	-Vcossx + C.
	=	-	\/cos7 x -		3	-Vcossx + C.
		7			3
2) Преобразуем подынтегральную функцию
1	1					1
sin x • sin 2x	sin x • 2 sin x • cos x			2 sin2 x • cos x

Теперь видно, что эта функция меняет знак при замене cosx на - c o s x . Поэтому воспользуемся (случай 3) подстановкой t = sinx, предварительно домножив числитель и знаменатель преобразованной подынтегральной дроби на cosx:

cosх dx

о *

d x

—

2 sm

х • cos х

^ ./

sin

х • < cos2

s xdx

— - j —о

;

(1 - sin

о—г = [f = sin х

2 У sin

х •

. . .

d£ = cos х axj =

_ 1 r		dt	_ 1 r (1 ~t2+t2),. _ 1 ( [ A				f	dt \ _
" 2	У	* 2 ( 1 - * 2 )	" 2	У	* 2 ( l - f 2 )	2\J	t2* J 1-t2)		~
1	/ 1	1 , ^ - 1	\| \	_	1 / 2	. Isinx — 11\		_	-

362

Найти

интегралы:

8.5.8.

[ sin3 xdx.

8.5.9.

[ ™s*x dx

sin

8.5.10.

Найти интеграл J sin4 x • cos2 x dx.

О В данном примере имеет место случай 4, поэтому сначала

упростим подынтегральное выражение.

J sin4 х • cos2

xdx = J sin2

x • (sinxcosx)2dx =

_ j

1—cos2z

s j n d x

J( 1 - cos2x) sin2

2xdx =

= i

[sin2

2xdx

[ sin2

2x • cos2xdx —

8 У

= [t = sin 2x => dt = 2 cos 2x dx] =

_ 1

r 1—cos4a:

_ I

Г ^ я

& _

( f

_ f c o s ±x d x \ _

8 У

16 \У

I f 3

(

sin4x

sin32x\

= — ( x

3 /

) + C.

•

16 V

Найти

интегралы:

8.5.11.

Jcos4xdx.

8.5.12.

J sin2 x • cos2 x dx.

8.5.13.

Найти интеграл J cos Ъх • cos Зж dx.

О Здесь удобно воспользоваться формулами (5.2). Учитывая, что cos Ъх • cos Зх = ^ (cos 2х + cos 8ж), получим

J cos 5ж • cos Зх = ^ J (cos 2ж + cos Sx)dx =

If г

l / s i

n 2 x

sin8x\

-f

= 2 I J

cos2xdx

cos8xdxJ

—

—J

С =

= i sin 2ж +

sin 8ж + C. •

Найти

интеграл:

8.5.14.

jo,os2x • sm^xdx.

8.5.15. J s i n ^ s i n ^ - d x .

8.5.16.Найти интеграл Jig5 xdx.

ОИмеет место случай 6. Поэтому используем формулу для tg2 *:

Jtg5xdx = Jtg3x			• tg2 xdx =		Jtg3 x	• (	ж	~ 1) dx =
= [ t g	3 x •			[tg3xdx=	\t = tgx		dt =	j	=
		cos2
У			x J		[			cos2xJ

363

Jt4t-ftgx.tg2xdx=t1-ftgx(^-l)dx

tg4 x

tg*]

- j tgx-—^ - J

tgxdx

tfif

4 x

г sin x dx

- —4

JI tdt —

cosx

= \y = cos x =>• dy = — sin x dx]

t g 4 * - ? + / 7 = ^ " ^ + 1 п Ы + с =

tg4 x

tg2 x

+ In | cosx| + C.

Найти

интегралы:

8.5.17.

Jctg3xdx.

8.5.18.

Jtg2xdx.

Дополнительные задачи

Найти интегралы:

8.5.19.J[ cosx


8.5.21.	[		K , dx			.
	J		5 - f4s inx
8.5.23.	J	[ ^			&
	J		2 sinx - cosx -f 5

8.5.25.	f ———:ч					^^—ч		г•
	У		5 sin	ж - 3 cos'2			ж -f 4

8.5.20.	f	1	dx. .
8.5.22.	J	1 -		sinX
8.5.22.	f					dx.
	У 2 + cosx
8.5.24.	J	Л	l + sins					^
	J	(1 +cos я) sin я
8.5.26.	f -—:—5—						5—•
	J	4 siir x			+ 9 cos			x

8.5.27.	i	f -	—		8 . 5 .	2 8 .	[ - Щ - .
		1 + 3 COS			X		J	sin* X
8.5.29.	J sin5 xdx.					8.5.30.	J sin4 x • cos5 x dx.
8.5.31.	[ s i n		d x	.		8.5.32.	f	cosx
	J	cos	ж				У
8.5.33.	J sin6 x dx.					8.5.34.	J sin2 ж • cos4 x dx.
8.5.35.	J sin4 x • cos4 x dx.					8.5.36.	J sin x • sin 3x dx.
8.5.37.	J sin ^ • cos ^ dx.					8.5.38.	J cosx • cos 3x dx.

8.5.39.J cos x • cos Зж • cos Ъх dx. 8.5.40. J ctg6 x dx.

8.5.41. J tg4 I dx.

8.5.42.

J tg7 ж dx.

364

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1

Найти интегралы:

1	Г		xdx
	J	(5	- 3х')1

з . [		х	— Ц ± ь	d x
	J		— х +2х — 2
с	[		dx_

2 cos2 х + 3 sin2 x

Вариант 2

Найти интегралы:

-2 dx

(Зх2 - A) dx

(х + 7 ) ( х 2 - 2 х + 1)

5. J tg4 2xdx

Вариант 3

Найти		интегралы:
1 .	J	Г ^	c f 3 x ~ 4	d x
	J		9а;2 + 1
		г? + Ах dx
5. J sin3			2xdx

Вариант 4

Найти интегралы:

1. J у/sin 2х -f 1 cos 2х dx

3Г (х2 - 2а?) dx

"J х -f 6а:2 + 9а: dx

ч2 + cos х

2.	J(xs + 5a:) In a: dx
4	f	dx
'	J i +	+ i
6.	J x arcsin 2a: dx

(8 - a:) dx \Jx2 + 4a: + 8

6. J aictgJ)J^dx

2. J ( 8 x - 1) • sin 2a: da:

6. J arccos(3 - x) dx

2. J(x2 - 4x) • log3 x dx

4 f

~ 1 ) dx

'J y/x2 + 2x + 5

6.J(x + 2) arctg x dx

•

Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

•

§1. ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ Основные понятия и свойства

Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а; Ь] и на этом отрезке произвольно выбраны точки xo,xi,... ,хп, так что а = хо < х\ < ..,

. . . < х п = Ь — выбрано разбиение этого отрезка на п частей. В каждом интервале (Xi-i; Xi] произвольным образом выбрана точка с», i = 1,2, ... , п.

^	Сумма вида	п
		Sn = Y^f{ci)^x u	(1.1)
		г=1
	где Axi — Х(	Xi— i, называется интегральной суммой функции

f(x) на отрезке [а; Ь].

^ Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а; Ь] называется предел интегральных сумм Sn при условии, что длина наибольшего частичного отрезка Axi стремится к нулю:

Ь	п
[ f(x)dx=	nlim	(1.2)
п	maxAxi—)>0 i=\
	i

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], то предел (1.2) существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а; Ь] и от выбора точек Ci (теорема существования определенного интеграла). Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [а;Ь]. Более того, если функция f(x) ограничена на отрезке [а; Ь] и непрерывна в нем, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла: b а

1. J f(x)dx = - I f(x) dx.

a a b

2. J f(x) dx = 0.

	a
	b		b
3.	J f(x) dx	=	J f(t)	dt,	т.е. переменную интегрирования можно обо-
	а		а
значить любой буквой.
	Ь				b	ь
4.	J(/i (ж)	±	f2(x))	dx	= J	Ш dx± J f2(x) dx.
	a				a	a

366

5. J cf(x) dx = с J f(x) dx.

ab			сa	b
6. J fix) dx =			J f(x) dx + J fix) dx,		a < с <b.
а			а	с	b
					b
7. Если fix)		^ 0 на отрезке [а; ft], то			J f(x) dx ^ 0;	если f(x)	^ 0 для
				b	a
				b
всех точек	x E	[a; ft], то		J fix) dx ^ 0.
			a
					6	6
8. Если	/(ж)		^ g(x)	на отрезке [a; ft], то J f(x) dx		^ J g(x) dx.
					a	a	на [a; 6],
9. Если M — наибольшее, m — наименьшее значение f(x)							на [a; 6],
		ь
то m(b — a) ^ J fix) dx ^ M(b — a).
b	a
b
10. j f(x)dx		=	/(c)(b - a), с € [a; Ь]		(теорема о среднем).
a
• b			b

11.\j f{x) da ^ J \f{x)\dx.

12.(f№dt)a a=f(x).

Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке [а; Ь]		функции fix) может быть
найдена ее первообразная F(x)	(см. Гл. 8, §	1), то простым и удобным
		ь
методом вычисления определенного интеграла J fix) dx			является фор-
мула Ньютона-Лейбница:		а
мула Ньютона-Лейбница:
ь	ь
I f(x)dx = Fix) \| = Fib) - F(a).			(1.3)

При интегрировании четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования полезно использовать формулу

I	a	f(x)dx	I 2 J fix) dx,	если fix)	— четная функция,
I		f(x)dx	, О	если fix)
			L0,	если fix)	— нечетная функция.

367

9.1.1.Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интеграл:

J х2 dx.

Подынтегральная функция f(x)

= х2

на отрезке [1; 4] имеет

г3

первообразную F(x)

Тогда по формуле (1.3) имеем

[ х2

—

~з

9.1.2.

Вычислить интеграл

'dx

у -

4я - я2

—4

Подынтегральная функция имеет «почти табличный» вид.

Для нахождения первообразной проведем преобразования так-

же, как это делалось ранее (см. задачу 9.1.10).

—2

d(x + 2)

rг

yjb-4x-x2~

л/9 - (ж

+ 2)2

y/32

- (x + 2)2

= arcsin

Z " I

= arcsin 0 — arcsin

= arcsin ^.

1-4

3 /

Используя

формулу Ньютона-Лейбница,

найти

интегралы:

9.1.3.

J(2x + sin2x)dx.

9.1.4.

lg2

j2x-5xdx.

9.1.5.

9.1.6.

} f ± 2 d X .

2е

9.1.7.

[ £ ±y/j!Ldx .

9.1.8.

/ - ^ Ц - d z .

Ху/х

у/х -2

9.1.9.

J Y ^ d x .

9.1.10.

y/te=2dx.

9.1.11. J xJ9 - |x2 dx.

о*

7Г

9.1.12. Найти значение интеграла J c o s 2 ^ - a^ dx.

О Это также «почти табличный» интеграл. Для нахождения первообразной (и использования формулы Ньютона-Лейбни-

368

ца) применим формулу понижения степени (как это сделано в задаче 8.1.22):

7Г

J cos2^-x^dx= J -(l +cos(^ _ 2xj^dx =

7Г

j\dx

+ \j

cos(\-2x)dx

= 2*

1 7Г Л

1 / . / 2 \

7Г \

= 2 2

4 \Sm\—3 / ~ Sm 3/ =

тг

л/3

1 /

, л/3 + 1\ _

= 4 ~ 4 \ 2

2 / = 4 \

2 / * #

Найти

интегралы

тригонометрических

функций:

9.1.13.

f(cossx-%cosx)dx.

9.1.14.

[

—

— .

sin

ж - sin4

9.1.15.

jГtg2оxdx.

9.1.16.

/ Jsin2x • cos8xdx.

•

9.1.17.

dx a

9.1.18.

[ ^ U d x .

1 - COS

7Г

9.1.19.

cos3

(p dtp.

9.1.20.

Вычислить

f ^2+1

dx.

X yX

"I- 1)

О Под знаком интеграла стоит рациональная дробь. Для нахождения первообразной используются правила, приведенные в § 3 главы 8. Применим их. Для этого разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

ж4 + 1	А	В	С Dx + E
х6(х2 + 1)	X6 х2	X	X2 + 1

369

21 -2361

<<< < Предыдущая 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 5837 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб7селекция витька.doc