Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

6.3.44. Показать, что:

1)каждая бесконечно большая последовательность является неограниченной;

2)не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой.

6.3.45. Найти пределы (в пунктах 2) и 3) предварительно доказать, что предел существует):

	1)	lim	х п - * х п + 2	, если			lim яп	= 2;
		п—ЮО	Хп — Z			71—ЮО
	2)	lim	хп, если хп	=	ч/б + хп-ь Zi =
		п—юо
	3)	lim	xn , если xn	=	Х п ~\		—- , x\ = 7.
		n—юо			о
6.3.46.	Найти пределы:
	2 )			+ А + А + " ' +				2n(2n + 2))-
6.3.47.	Пусть {#п } — бесконечно						малая,	а {уп} и {zn} — бесконечно
	большие последовательности. Верно ли, что всегда:

1){#п • Уп} — бесконечно большая последовательность;

2){хп • уп} — бесконечно малая последовательность;

3){хп •уп } — сходящаяся последовательность;

4){Уп ' Zn] — бесконечно большая последовательность; {Уп + zn } — расходящаяся последовательность?

6.3.48.	Привести пример таких сходящихся последовательностей {хп}
	и {уп}, что:
	1)	хп	> Уп Vn, однако 71—ЮОlim хп		= 71—ЮОlim	уп\
	2) хп		> ЮОуп > 0	Vn, однако	lim хп	= Ит уп.
6.3.49.	Найти пределы:				71—ЮО	TL—ЮО
6.3.49.	Найти пределы:
			-, \ n+fc
			(	, где к е N;
			1 + 1 )	, где к е N;
	2)		п/
	2)	lim ( т - М П .
	'	71—юо \ 1 + п)

§4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Определение предела

^Окрестностью точки хо называется любой интервал с центром

вточке хо-

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки хо кроме, быть может, самой точки #о- Дадим первое определение предела функции (по Гейне):

260

^ Число А называется пределом функции /(х) в точке хо, если для любой последовательности {х п }, сходящейся к х0 (х

Vn), последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается это так: lim f(x) = А или f(x)-+A (при х	Хо).
Х—>Хо

Первое определение предела функции эквивалентно второму определению (по Коши):

^ Число А называется пределом функции f(x) в точке хо, если для любого сколь угодно малого числа е > 0 найдется такое число S > 0 (вообще говоря, зависящее от е), что для всех х таких, что |х — Хо| < 6, х ф хо, выполняется неравенство |/(х)- А\ < е.

Первое определение называется также определением предела функции «на языке последовательностей», а второе — определением предела «на языке е-S» (эпсилон-дельта).

Операции над пределами функций

Пусть функции /(х) и д(х) определены в некоторой окрестности точ-

ки Хо и, кроме того, lim /(х) = A, lim g(x) = В. Тогда:

X—tXo X—+X0

1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (соответственно, разности) их пределов, т. е.

lim [f(x)±g(x)] = A±B. X-+XQ

2. Предел произведения функций равен произведению их пределов,

lim [f(x)-g{x)] = A.B. X—tXQ

3. Предел частного функций равен частному их пределов (при уело-

ВИИ В ^ 0 ) , т.е.	lim —	А
	lim —	= —.
	Х-+Х0 g[x)	В

Отсюда, в частности, вытекает,	что постоянный множитель можно
выносить за знак предела функции, т. е.
lim /(х) = А = > Va Е R :	lim a / ( x ) = a lim f(x) — aA.
X—+X0	X—+XQ	X—+XQ

Для функций справедливы аналоги соответствующих теорем для последовательностей о пределах корня и степени.

Пределы функций и неравенства

Пусть функции /i(x) и /2 (х) определены в некоторой окрестности точки хо (кроме, быть может, самой этой точки) и /i(x) ^ h{x) для всех

261

значений х из этой окрестности. Пусть, кроме того,

lim fi(x) = Аи	lim /2 (х) = А2.
Х-+ХО	Х-+ХО
Тогда Ai ^ А2.

Теорема 6.2 (о промежуточной переменной). Пусть функции fi(x),

/(#)» /2(3^) определены в некоторой окрестности U(x0) точки хо (кроме,

быть может,	самой	этой	точки)		и	для всех х Е U(xo),	х ф хо	верно
неравенство	fi(x) ^	f(x)	^	/2(ж).		Пусть, кроме того,	lim	fi(x) =
							х—•хо
= lim /2(х)	= А. Тогда		lim	f(x)	также существует и равен А.
Х—ЬХо		X—+XQ

Теорема 6.3 (о сохранении знака). Если предел функции в данной точке хо положителен, то и все значения функции в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки хо) положительны.

Теорема 6.4 (об ограниченности функции, имеющей предел).

Пусть функция имеет предел в данной точке. Тогда она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Предел функции на бесконечности

Пусть функция f(x) определена на бесконечном промежутке (а; +оо).

^ Число А называется пределом функции f(x) при х —>• +оо, если для любой положительной бесконечно большой последовательности { х п } (т.е. хп —>• +оо, п —>• оо) последовательность {f(xn)} соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначение: lim f(x) = А.

£—>•+00

Равносильное определение предела функции при х —» +оо на языке

е-8 будет выглядеть так:

^Число А называется пределом функции f(x) при х —>• +оо, если для любого числа е > 0 найдется такое число М > 0, что для всех значений х > М выполняется неравенство \f(x) — А\ < е.

Аналогично определяется предел функции f(x) при х —> — оо.

Обозначение: lim f(x) = А.

х—У—оо

262

Односторонние пределы

^Пусть функция /(х) определена в правой полуокрестности точки хо, т. е. на некотором интервале (хо, ^о + <5), где S > 0. Тогда говорят, что число А называется пределом функции /(х) справа в точке Хо (или правосторонним пределом), если для любой последовательности {х п }, сходящейся к хо и такой, что все ее члены больше, чем хо, соответствующая последовательность значений функции { / ( х п ) } сходится к числу А.

Обозначения: lim /(х) = А или /(хо + 0) = А. х—>-хо+0

Аналогично определяется предел функции слева (или левосторонний

предел) в точке хо, обозначаемый				lim	/(х) или /(хо — 0).
			х-+хо —О
Очевидно, что lim /(х)		существует в том и только в том случае,
	X—*Х0
когда существуют и односторонние пределы							lim /(х)	и lim /(х),
причем все три числа равны, т. е.							х—>-хо+0	х-+хо—0
причем все три числа равны, т. е.
	lim /(х) =	lim		/(х) =			lim /(х).
	х—*хо	х—>-хо+0				х—•хо —О
Замечательные пределы
Первый	замечательный	предел

			smx		= 1.
		lim —			= 1.
		х-+0 X
Второй	замечательный	предел
	lim (l +			X/	= е.
	x —У оо \			X/

Часто используются следующие следствия из обоих замечательных пределов:

lim sin ах х-Ю х

lim(l + x ) i = е,	lim
х-+0	х-+0

= а,	_
= а,	а Е К;

X	_ i	х-+0 £ х 1 _ i

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

^Функция (р(х) называется бесконечно малой при х —>• хо (или в окрестности точки х0 ), если lim (р(х) = 0.

		х—•хо
Таким образом,	lim /(х)	/(х) = А + а(х),
А =	lim /(х)	/(х) = А + а(х),
А	х—)-Хо

где а(х) — бесконечно малая при х —>• хо-

263

Пусть а(х) и /?(х) — бесконечно малые функции при х

х<>

Тогда:

lim ск( X)

Если

0, то функции

а(х) и /3(х)

на-

X—УХО )

зываются бесконечно малыми одного порядка в окрестности

точки

хо-

В частности, если

lim

= 1, то а(х) и /?(х) называются

эквивалентными бесконечно малыми (в окрестности точки Хо),

что обозначается так: а(х) ~ /?(х), х —> Хо-

Если

lim

= 0, то функция а(х) называется бес-

конечно малой более высокого порядка, чем /?(х). Этот факт

записывается так: а(х)

о(/3(х)), х

хо и говорят, что а(х) —

о малое от /3(х) при х

хо- В частности, если а(х) — беско-

нечно малая при х

хо, то а(х) = о(1), х

хо-

При решении многих задач используются следующие эквивалентно-

сти, верные при х

s i n x ~ x ,

х2

t g x ~ x ,

a r c s i n x ~ x ,

arctgx ~ x ,

l - c o s x ~ — ,

ln(l + x)

~ x,

ax -

1 ~ xlna (в

частности, ex - 1 ~ x),

Кроме того, имеет место следующий факт: если /3(х)

~ /?i(x), х

хо

и существуют пределы

lim

а(х) • /3(х) и

lim

OL\X]

„) с, то

х—Ухо

х—ухо

lim

а(х)

• /3(х)

lim

a(x) -/?i(x),

X—УХО

Х—УХо

Вт

lim

в<®>

Х-+Х0 /3(х)

Х-+Х0 /3i(x) '

Таким образом, предел произведения или частного двух бесконечно малых не меняется при замене любой из них на эквивалентную бесконечно малую.

6 . 4 . 1 . Доказать, что lim(2x + 1) = 5, используя

х—У 2

1)первое определение предела функции;

2)второе определение предела функции.

О1) Пусть { х п } — произвольная последовательность, сходя-

щаяся к 2, т. е. такая, что lim хп = 2. Тогда в соответствии

П—УОО

со свойствами пределов последовательностей lim f(xn) =

П-У оо

= lim (2xn + 1) = 2	lim хп	+ lim 1 = 2 - 2 + 1 = 5.
П—УОО	П—УОО	П—УОО

264

Так как

lim f(xn)=5 для любой последовательности { х п } ,

п—юо

сходящейся к точке Хо = 2, то по первому определению предела

функции это как раз и означает, что

lim (2х + 1) = 5.

2) Зафиксируем произвольное е > 0. Требуется по этому е

найти такое S > 0, чтобы из условия х ф хо, |х — хо| < <5, т.е.

и з 0 < |х - 2| <6 вытекало бы неравенство

\f(x)-A\ < е,

т.е. |(2х

+ 1 ) - 5 < е | .

Последнее неравенство приводится к виду |2(х — 2)| < £, т.е.

\х — 2| <

Отсюда следует, что если взять S =

то неравен-

ство \х — 2| < 8 будет автоматически влечь за собой неравенство

\f(x)

- 5| <

е (это значит,

что для всех х,

для

которых вер-

но первое неравенство, будет верно и второе). В соответствии

со вторым определением предела функции это означает, что

lim (2х + 1) = 5.

•

Используя

первое определение

предела

функции,

найти

пределы:

6.4.2.

lim

(4х + 3).

6.4.3.

lim (х2

- 4х + 8).

•

х—»2

6.4.4.

И т

л / Г ^ .

6.4.5.

lim

ф Ц *

- 1

Используя

второе определение

предела

функции,

доказать,

что:

6.4.6.

Ит (Зх - 2) =

- 2 .

6.4.7.

Ит ( - х + 4) = 3.

х-Ю

—

6.4.8.

Ит х2 = 9.

6.4.9.

Ит ± = А.

х-+3

х—X

6.4.10.

Доказать, что функция у

signx не имеет предела в точке

х0

Действительно,

если выбрать последовательность {х^} =

сходящуюся к нулю, то

lim fix' )

— lim

( s i g n - )

lim

1 = 1,

x—юо

x—юо \

П/

x—•oo

т. е.

последовательность

{f(x'n)}

соответствующих значений

функции сходится к единице.

Если же выбрать последовательность {xj£}

также

сходящуюся к нулю, то

lim / ( х " )

lim

s i g n f - - )

lim

( - 1 ) = - 1 .

71—У ОС

П /

71—У

ОС

Таким образом, мы нашли две различные последователь-

ности {х'п} и

сходящиеся к точке хо

= 0, для которых

265

соответствующие последовательности {f(xfn)} и {/(xJJ)} значений функции f(x) = signx сходятся к различным числам. Это противоречит первому определению предела функции, и, значит, у функции sign я нет предела в точке Хо = 0. •

Доказать, что функция f(x) не имеет предела в точке Хо, если:

6.4.11.

6.4.12.

6.4.13.

f(x) = 1, х0 = 0.
f(x)	'	=	{X2	при х < 2, х0 = 2.
J v	'		\ х	при х < 2, х0 = 2.
Доказать по второму определению предела, что					lim /(х) = 1,
				2(х - I)2	х~*х°	8 по
где /(х) = — — — — h 1, хо = 1. Найти соответствующее						8 по
данному £,				X J.
данному £,				если:

2) е = 0,01.

6.4.14. Используя свойства пределов функций, найти следующие пределы:

1)	lim				2	~ 1
1)	lim			S x		~ 1
	x"~vA-Xi		4х2		+ 5х + 2'
2) lim				«2	Г
2) lim			2	Ж	Г	4
7	х-+2 X			— 5х			+ 6
3 )	ц т	У ^ + 8 - 3
'	х —		X -		1	'
4)	Ит				1	.

72х + Зх

О1) Применяя теорему о действиях над пределами функций, получим:

lim	Зх2	- 1	Д ™ / 3 * 2 "
lim			lim (4х2			+ 5х + 2)
S-+-1 4х + 5х + 2			lim (4х2			+ 5х + 2)
			х—• — 1
			lim	Зх2	—	lim 1
		х—• — 1				х—• — 1
		lim	4х2 + lim			Ъх + lim 2
		х—•— 1		х—• — 1			х—• — 1
		3	lim	х •	lim		x - 1
			x—•— 1 x—• — 1
		4 lim	x •	lim	x + 5		lim x + 2
		X—• — 1	X —• — 1			Ж—• — 1
							3 • ( - ! ) ( - ! ) - 1
						4 ( - l ) ( - l ) + 5 ( - l ) + 2		*

2) Так как пределы числителя и знаменателя при х —>• 2 равны нулю, то мы имеем неопределенность вида jj. «Раскроем» эту неопределенность (т.е. избавимся от нее), разложив

266

числитель и знаменатель на множители и сократив их далее на общий множитель х — 2:

) (

lim —5

х2

— 4

= lim

( х - 2

х + 2)

х + 2

5х + б

(х -

—

— = lim

- .

х-+2 X -

2)(х - 3)

х—*2

х - 3

В полученной дроби знаменатель уже не стремится к нулю при х —у 2, поэтому можно применять теорему о пределе частного:

ii™2

2 + 2

lim

х + 2

(a; + 2)

- 3

= ——;

— =

- — - = —4.

lim (яг — 3)

2 - 3

—

Окончательно lim

г 2

„— 4

„ = - 4 .

х-»2 х

— Ъх + 6

3) Здесь мы также имеем неопределенность вида Ц. Домно-

жим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю (избавляемся от иррациональности в числителе):

lim

у/х + 8 - 3

= lim

(у/х + 8 —

3)(\/х + 8 + 3)

х - 1

Х-+1

(х - 1)(\/х + 8 + 3)

(\/х+~

(х + 8) — 9

= lim —

8)2

- З2

—

= lim

(х - 1)(\/х + 8 + 3)

= lim

Х .

= lim

л/х~+8 + 3 \/Г+8 + 3

" ^ i ( х - 1 ) ( л / х + 8 + 3)

я-*1

4) Числитель и знаменатель дроби — бесконечно большие

функции, поэтому здесь имеет место неопределенность

Рас-

крывая эту неопределенность, поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, т.е. на х2 :

1 + х - х 2	= jr + 1 - l
2х2 + Зх	2 + \|

Осталось воспользоваться свойствами пределов, а также тем, что функции i и ^ — бесконечно малые при х —> оо:

- 1

+ • -

1 +

х - х 2

£ + £

lim

+ Зх

lim

S — = - —

q~\— =

x-+oo

2 + f

lim ( 2 + ^ )

X—• ОО

lim

4 +

lim

\ - lim 1

n + П - 1

_ X—ЮО x

x—froo x

Х-ЮО

_ U T V

-i-

_ _ ^

lim

2 + 3 lim

2 + 0

~ 2'

x—too

x-+oo

267

Найти

6 . 4 . 1 5 .

6 . 4 . 17 .

6 . 4 . 19 .

6 . 4 . 21 .

6 . 4 . 23 .

6 . 4 . 25 .

6 . 4 . 27 .

6 . 4 . 29 .

6 . 4 . 31 .

6 . 4 . 33 .

6 . 4 . 35 .

6 . 4 . 37 .

пределы:

lim (5х2 + 2 х - 1).

lim ^ Л — .

Х-+0 х — X

6 . 4 . 16 .	l i m	5 x i i _ .
	X-+1 x	— 2x + 3
6 . 4 . 18 .

lim

- 25

6 . 4 . 20 .

l i m

4x3 — Зх2

+ x

х—уъ

x-+o

lim

х6 + х 4- 2

6 . 4 . 22 .

lim

х -

х*

+ 1

— 6x + 5x + 4

H m

* -

x *

t 3 x

6 . 4 . 24 .

lim

* « V * o

+ 6

1 Q

*-n 2x6

- 2xz

+ X - 1

x •

+ 6x + 3x + 18

l i m V ^ T 2 5 - 5

6 . 4 . 26 .

1Ш1lim —, xz

x-+o

xz -f 2x

y/x2

- 4

Ц т

у ^ Т З - З

6 . 4 . 28 .

lim

л / 2 ^ х -

x-+3

yjx -

2 -

у/Ъ

- x - 2'

lim

6 . 4 . 30 .

lim

s 2

~ 16

х-Ю

X-+4 ^5 - x - s f a - 3

U m x j - 5 x 2 - x 3

6 . 4 . 32 .

lim

- .

x-^oo

2xJ

- x

4 7x

x-+oo x

+ 7x — 2

lim

4 * 3

6.4.34.

lim

5 - 2 s

x-+oo X

- Зх

+ 1

^oo 2x

+ x

lim

(y/x2 H- 4 - x).

6 . 4 . 36 .

lim

(

- x V

x—•-j-oo

x—юо \X

— 3

Найти пределы:

lim

sin

, a e

lim

;

х-Ю

x—•()

sin3x'

lim

cosx

lim

arcsin x

2x - 7Г '

x—>-0

Сделаем замену

= ах; тогда у

при ж

0 и

lim Мао®

limEiy

lim

asiM

= а Н т siM

= Q. в по-

у-+0

у-+ о У

у-+0 У

следнем равенстве мы воспользовались первым замечательным пределом.

Таким образом, lim	s m а х	= а.
х—>0	х

2) Поделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на х, после чего воспользуемся предыдущим пунктом:

air, ^

fsin5x\

lim

s m

= l i m

j—^—J

ж-кЛ

}

x-+0

sin3x

x-+0 (Sin3x\

lim /sin3x\

x _+0

)

268

3) Сводя предел к первому замечательному, сделаем замену

у = х -

Тогда у

0 при х

а х =

откуда

cos(s/+f)

lim

cos х

= lim

2 х - т г

у-+0 2(у+ §) -7Г

—

1, .

sin w

sinw

= lim —

2у

= - - lim

y-+o

2 y-+o у

Во втором равенстве в этой цепочке мы использовали формулу приведения, а в последнем — первый замечательный предел.

4) Сделаем замену t = arcsin х, т. е. х = sin t. Ясно, что t										О
при х —>• 0, поэтому
		t		1						^
	arcsin х	t	/o.	1	,ч			1		^
lim		= lim ——- = lim	/o.		,ч	=		-r—r = 1.		•
X-+0 X		t-+o suit t-+0	v	t		)	lim23?1
			v	t		)	t_+0		t

Найти пределы:

6.4.38.

6.4.40.

6.4.42.

6.4.44.

6.4.46.

lim s K 3 a : . x-ю sin 2x

lim 1 - c o s x x-+0 x

lim 5гс^2х x-+0 X

lim Щ^тгх. ®-H Sin 7ГХ

Найти пределы:

1)	lim	( l +
7	x—Юо V x/

2)	lim	f/1 + 5x;
7	x—>0

k e R;

6.4.39. lim

x^o sin ox

6.4.41. limx-ctgx.

X-K)

6 4 43 Um cos 5 s - cos 3s x—tO X

Х-+Я- $ | f ' '2

3)	lim
7	x—KX) \ X — 2J
4)		e2x-	l	.
4)	lim —=			.
7	x-ю	7x
О	1) В данном случае мы имеем неопределенность вида 1°°.
Для ее раскрытия сделаем замену у =					Тогда у	оо при
х	оо и исходный предел сводится ко второму замечательно-
му пределу:

/	к\х
lim (1 Н—)
х—юо \	X /

(	1	/	1\кУ
= lim 1 + ТГ7		= lim (1 + - ) =
х—юо у	(§) /	у—юо \	у/

= Г lim (1 + 1 ) 1 ' = Л
Ly-юо \	у / J

269

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 5827 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc