Сборник задач по высшей математике

О

1) Воспользуемся формулой (2.10). Подставляя в нее зна-

1 _ 2

1-11

_ 3

чения fci = 2 и

=

находим tgLp —

2

+ 2 - 1

4'

1

<р = arctg | (у>«37°);

2) Подставим значения А\ = 2, Bi — - 3 , А2 = 5, В2

= -1

в формулу

(2.13): tgy? =

2 • ( - 1 ) — 5 •( - 3 )

- 2 +

15

= 1,

2 • 5 + ( - 3 ) • ( - 1 )

10 + 3

_ 7Г.

О

3) Здесь

=

найдем к2. Для этого перейдем от 6у =

=

— 8х — 5 к эквивалентному равенству у =

~\х ~

Здесь

к2

= — Т а к как

• к2 = - 1 , то данные прямые (см. (2.12))

перпендикулярны

.

(По

формуле (2.10)

получаем:

tg<p =

4

3

25

3

4

12

= оо,у>=§ . )

i + ! • ( - ! )

1 - 1

4) ki = b,k2

= 5, tg <р = 0, у? = 0.

•

4.2.53.

Найти угол между двумя прямыми:

1) Зх + 2у - 1 = 0 и Ъх - у + 4 = 0;

2) у = 3,5я - 3 и 7я - 2у + 2 = 0;

3) х + 4у + 10 = 0 и Ъу - 3 = 0;

4.2.54.

4) Зх - 2у + ОД = 0 и 2х + Зу - 5 = 0.

Найти угол между прямыми:

а ) х - 2 = 0 и х - у + 1 = 0;

б) 2х — Зу = 0 и прямой, проходящей через точки (5; 0) и (0; 3).

4.2.55.

Исследовать взаимное расположение следующих пар прямых:

1)

Зх + Ъу - 9 = 0 и 10х - 6у + 4 = 0;

3) 4х + у - 6 = О и Зх + ау - 2 = О;

4) х - ау + 5 = О и 2х + Зу + 3 = О.

4.2.57.

Через точку пересечения прямых Зх — 2у + 5 = 0, х + 2у — 9 = О

проведена прямая, параллельная прямой 2х + у + 6 = 0. Соста-

вить ее уравнение.

О Найдем сначала точку М пересечения данных прямых. Для

этого решим систему уравнений

(Зх - 2у + 5 = 0,

[х + 2у - 9 = 0.

Отсюда 4х = 4. И далее,

я = 1, у = 4,

т. е. М(1;4). Угловой

коэффициент прямой 2х + у — 6 = 0 есть к\

= —2. Следова-

тельно, угловой коэффициент А; прямой параллельной данной,

есть к = —2 (см. (2.11)). По направлению прямой (А; = — 2) и

точке М(1;4), ей принадлежащей, запишем уравнение искомой

прямой: у — 4 = —2(х — 1), т.е. 2х + у — 6 = 0.

•

4.2.58.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(—1; 2):

а) параллельно прямой у = 2х — 7;

б) перпендикулярно прямой х + Зу — 2 = 0.

4.2.59.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку В(2; —3):

а) параллельно

прямой,

соединяющей

точки

М\(—4;0) и

М2(2; 2);

б) перпендикулярно прямой х — у = 0.

4.2.60.

Показать,

что

уравнение

прямой, проходящей

через точку

(х0\Уо), и

параллельной прямой Ах + By + С

= 0, имеет вид

- х0) +

- 2/о) = 0.

4.2.61.

Показать, что уравнение прямой, проходящей через точку

(яо;2/о), и перпендикулярной к прямой Ах + By + С = 0, имеет

вид

- а?0) - £(2/ - 2/о)

= 0.

4.2.62.

Найти координаты точки М2, симме-

тричной точке М\(—3;4) относитель-

но прямой 4а: — у — 1 = 0.

О Точки -Mi и М2 лежат на пря-

мой MiM2, перпендикулярной пря-

мой 4х — у —1 = 0, и одинаково удале-

ны от (см. рис. 30, прямая I). Найдем

уравнение прямой MiM2. Так как

угловой коэффициент к\ данной пря-

мой равен 4, то угловой коэффици-

ент

к прямой

М\М2 определяет-

ся

равенствами к —

= — П о -

Рис. 30

этому уравнение прямой М\М2 есть

зок М\М2 пополам. Из соотношений 1 =

х и 3 =

^ ^ ^

значим через к угловой коэффициент прямой /2. Тогда, по фор-

ь _

I

муле (2.10), имеем tg ^ = 1 = К

2

. Из этого уравнения на-

1 + J*

т.е. 3х-у + 2 = 0их + 3у-6 = 0.

Ф

4.2.68.

Найти расстояние между параллельными прямыми Зх + 4у —

- 20 = 0 и 6х + 8у + 5 = 0.

О Возьмем на первой прямой произвольную точку А. Пусть,

например, х = 0, тогда у = 5, т.е. А(0;5). По формуле (2.17)

находим расстояние d от точки А до второй прямой:

d = б . 0 + 8 - 5 + 5

4 5 л *

\/б2 + 82

= 1 с Г 4 ' 5 -

4.2.69.

Найти расстояние между прямыми 2х—Зу+8 = 0 и 4х—6у = 10.

4.2.70.

Найти длину высоты BD в треугольнике с вершинами А(4; — 3),

В(-2; 6) и С(5;4).

Дополнительные задачи

4.2.71.

Даны уравнения оснований трапеции: Зх — 4у —15 = 0, Зх —4у —

— 35 = 0. Найти длину ее высоты.

4.2.72.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1;5)

на расстоянии пяти единиц от начала координат.

4.2.73.

Найти координаты точки, равноудаленной от двух точек (5; 4)

и (—3; 2) и лежащей на прямой х — Зу + 8 = 0.

4.2.74.

Даны две вершины треугольника А(2;—2), В(—6;2) и точка

0(1; 2) пересечения его высот. Найти координаты третьей вер-

шины С.

4.2.75.

Составить уравнение прямой, содержащей высоту BD в тре-

угольнике с вершинами А(-3; 2), #(5; —2), С(0;4).

4.2.76.

Найти координаты проекции

точки

А(1; — 3)

на прямую

2х - у + 5 = 0.

4.2.77.

Найти координаты точки, симметричной точке А(—2; —2) отно-

сительно прямой х + у — 4 = 0.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

4.2.78.

Составить уравнение прямой, симметричной прямой х + 2у —

— 6 = 0 относительно точки А(4; 2).

4.2.79.

Доказать, что если две прямые параллельны, то их уравнения

можно представить в таком виде, что они будут отличаться

только свободными членами.

4.2.80.

Найти уравнения прямых, на которых лежат биссектрисы

углов между прямыми Зх — Ау + 12 = 0 и 5х + 12у — 2 = 0.

4.2.81.

Написать уравнение прямой, проходящей через

точку -4(2; 5)

на расстоянии 2 единиц от точки 5(0; —1).

4.2.82.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(1; — 1)

так, что середина ее отрезка между прямыми 2х — Зу — 6 = 0 и

2х — Зу + 6 = 0 лежала бы на прямой 2х + 15у — 42 = 0.

4.2.83.

Две смежные вершины квадрата имеют координаты (1;4) и

(4; 5). Найти координаты двух других вершин.

4.2.84.

Дан треугольник с вершинами А(4; 6), В(—3; 0), С(2; - 3) . Най-

ти уравнения прямых, на которых лежат биссектриса AD и

высота СЕ, и величину острого угла между ними.

4.2.85.

Можно ли подобрать коэффициенты Ai и Х2 так, чтобы прямые

5х — Зу + 1 = 0 и Aix + Х2у - 2 = 0 совпали?

4.2.86.

Какой угол образует прямая

- |

= 1 с положительным

4.2.88.

Какие из уравнений:

б ) \ х + \ У - 2 = 0 ,

в)

-

- 3

=

0,

г) ж - 3,2 = О,

д) у +1 = О

являются уравнениями прямых в нормальном виде?

4.2.89.

При каком значении а прямая х + у — а = 0 касается окруж-

ности х2 + у2 = 1?

4.2.90.

Под каким углом к оси Ох надо направить луч из точки А(2; 4),

чтобы отраженный луч прошел через точку В(—5; 3)?

4.2.91.

Какому условию должны удовлетворять коэффициенты а и Ь,

чтобы прямые ах + by + 1 = 0, х-у + 5 = 0иу = 1 проходили

через одну точку?

а прямые (а + 1)х + (3 — а)у - 8 = 0 и

4.2.92.

При каком значении

(а — 3)х + (2а — 3)у = 0 взаимно перпендикулярны?

4.2.93.

На прямой 2х — у + 4 = 0 найти точку, координаты которой

связаны соотношением х + у — 7 = 0.

4.2.94.

Каково взаимное положение двух прямых, угловые коэффици-

енты которых равны —2,5 и —0,4?

4.2.95.

Как установить, принадлежит ли точка (#з;2/з) прямой, урав-

нение которой Ах + By + С = 0?

Смешанные задачи на прямую

4.2.96.

Найти

площадь

треугольника, образованного прямыми:

2х + у + 4 = 0, х + 7у - 11 = 0 и Зх - Ъу - 7 = 0.

4.2.97.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(—2; 1):

а) параллельно оси Оу;

б) образующей с осью Ох угол о

в) перпендикулярно вектору а = (4; 2);

г) параллельно биссектрисе первого координатного угла;

д)

перпендикулярно прямой бя — у + 2 = 0;

е) отсекающей на оси Оу отрезок длиной 5.

4.2.98.

Через точку пересечения прямых Зх-\-2у — 4 = Оих — 5у -1-8 = 0

проведены прямые, одна из которых проходит через начало ко-

ординат, а другая параллельна оси Ох. Составить их уравне-

ния.

4.2.99.

Какой угол образует с осью Ох прямая, проходящая через точ-

ку D( 1; 3) и точку пересечения медиан треугольника с верши-

нами

А(-1;4),

В(2;3),

С(5;8)?

4.2.100.

Дан четырехугольник ABCD с вершинами

А(3;5),

В(6; 6),

С(5;3), D(l; 1). Найти:

а) координаты точки пересечения диагоналей;

б) угол между диагоналями.

4.2.101.

Луч света, пройдя через точки А(4; 6) и #(5; 8), упал на прямую

х — 2?/ + 2 = 0 и отразился от нее. Составить уравнение прямой,

по которой направлен отраженный луч.

4.2.102.

Известны вершины треугольника А(—4;— 2), #(0;1), С(2; — 1).

Найти расстояние от начала координат до точки пересечения

медианы, проведенной из вершины А, с высотой, проведенной

из вершины В.

4.2.103.

Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны тре-

угольника АВСУ если задана его вершина А(1;3) и уравнения

медиан х — 2у + 1 = 0иу — 1 = 0.

4.2.104.

Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из

точки А(—1; 2) на прямую Зх — Ъу — 21 = 0.

А(2; 5), #(5;— 1),

4.2.105.

Дан треугольник с вершинами в точках

С(8;3). Составить уравнение прямой, проходящей через точку

пересечения медиан треугольника перпендикулярно к прямой

я + 2/+ 4 = 0.

4.2.106.

Известны уравнения прямых, на которых лежат две стороны

ромба: х -\-2у — 4 = 0, х -\-2у — 10 = 0и уравнение одной из его

диагоналей х — у -1-2 = 0. Найти координаты вершин ромба.

4.2.107.

Дан треугольник с вершинами в точках

А( 1;—2),

#(0;5),

С(—6; 5). Найти координаты центра описанной около треуголь-

ника окружности.

4.2.108. Даны две

вершины

равностороннего треугольника

ABC:

А(—6;0), #(0;0). Найти координаты

а) третьей вершины С;

б) центра вписанной в треугольник окружности.

4.2.109.

Найти уравнения прямых, на которых лежат три стороны ква-

драта, зная, что четвертой стороной является отрезок прямой

4х + Зу — 12 = 0, концы которого лежат на осях координат.

4.2.110.

Написать уравнение траектории движения точки М(х;у), дви-

жущейся так, что сумма расстояний от нее до прямых 2х—у = О

и х + 2у = 0 остается постоянной и равной л/5-

4.2.111. Написать

уравнения

прямых, на

которых

лежат стороны

треугольника, зная уравнения двух

высот: 7х — 2у — 1 = 0 и

2х — 7у — 6 = 0 и вершину А(3; —4).

4.2.112.

Даны вершины треугольника А(2; —2), В(3; 5); С(6; 1). Найти:

Более сложные задачи

4.2.113.

Даны уравнения боковых сторон равнобедренного треугольни-

ка ж + у — 2 = 0и7х — у + 4 = 0и точка (3; 5) на его основании.

Найти уравнение прямой, на которой лежит основание.

4.2.114.

Даны координаты середин

сторон

треугольника: А(1;2),

В(7; 4), С(3; —4). Найти уравнения прямых, на которых лежат

стороны треугольника.

4.2.115.

Даны уравнения 4х — Зу — 17 = 0 и 4х — Зу + 3 = 0 двух сто-

рон квадрата и одна из его вершин А(2; —3). Найти уравнения

прямых, на которых лежат две другие стороны квадрата.

4.2.116.

Уравнение одной из сторон угла есть 4х — Зу + 9 = 0, уравне-

ние его биссектрисы есть х — 7?/ + 21 = 0. Написать уравнение

прямой, на которой лежит другая сторона угла.

4.2.117.

Даны вершины треугольника А(—1;— 1), 2?(1;3), С(4;-1). Из

вершины В опущена высота. К какой из сторон ближе распо-

ложена середина этой высоты?

4.2.118.

Найти уравнение прямой, параллельной прямой Зх—4у —10 = 0

и отстоящей от нее на расстоянии 3 единицы.

4.2.119.

Показать, что биссектрисы

углов,

образованных прямыми

Зх + 4у — 9 = 0 и 12а: -h 9t/ — 8 = 0, перпендикулярны друг другу.

4.2.120.

Через точку А(г\\ ц>\) проведена прямая, образующая с поляр-

ной осью угол в. Составить уравнение этой прямой.

4.2.121.

Написать уравнения прямых, на которых лежат стороны тре-

угольника, зная одну его вершину А(2; —7), а также уравнение

прямых, на которой лежат высота Зх + у + 11 = 0 и медиана

х + 2у + 7 = 0, проведенные из различных вершин.

Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F = 0

(А2 + В2 + С2 ф 0)

называются кривыми второго порядка.

(3.1)

точка

•

4.3.2.

Найти координаты центра и радиус окружности:

а) х2 + у2 - 4х + 6у - 3 = 0;

б) Зх2 + Зу2 + 6х - 4у - 2 = 0.

4.3.3.

Написать уравнения касательных к окружности х2 + у2

— 6х +

+ 4у — 12 = 0, проведенных из точки М(0; 3).

^(я — З)2 + (у + 2)2 = 25.

Имеем:

(х - З)2

+ (кх + 3 + 2)2 =

25, т. е. х2 - 6х + 9 + к2х2

+

+ Шх +

25 = 25, поэтому (А;2 +

1)я2 + (10А; - 6)х + 9 =

0.

Так как прямая касается окружности, то это уравнение имеет

единственное решение. Следовательно, его дискриминант равен

нулю,

т. е. (5А; - З)2 - 9(к2 + 1)

= 0,

или 16А;2 - ЗОА; = 0, откуда

ki =

0,

к2 =

Значит, у

= 3

и у = ^х + 3 — искомые

уравнения.

•

4.3.4.

Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и

проходящей через точку (4; —2).

4.3.5.

Найти уравнения касательных к окружности (х-4)2-\-(у — 2)2

=

= 4, проведенных из начала координат.

4.3.6.

Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник

со сторонами Зх + 4у - 12 = 0, 4х — Зу + 12 = 0, у = 0.

Указание. Центр окружности равноудален от сторон треуголь-

ника.

4.3.7.

Написать уравнение окружности,

проходящей через точки:

( - 1;3),

(0;2), (1; - 1) .

систему уравнений

f

3,

\a-b=-

10 — 2D + 6Е + F = 0,

< 4 + 4Е + F = 0,

2 + 2D - 2Е + F = 0.

Решив систему, найдем D = 4, Е = 1, F = -8 и искомое урав-

нение окружности х2 + у2 + 8х + 2у — 8 = 0.

•

4.3.8.

Написать уравнение окружности, если:

а)

центр находится в точке С(—2; 0), а радиус R = 2;

б) центр лежит в точке С(—4; 5) и окружность проходит через

точку М(—1; 1);

в) концы одного из диаметров имеют координаты (0; 4) и (6; 0).

4.3.9.

Составить уравнение окружности, проходящей через точки

А(3; 5), В(5; —1), если ее центр лежит на прямой х — у — 2 = 0.

Дополнительные задачи

4.3.10.

Найти расстояние между центрами окружностей х2 + у2 = 9 и

х2 + у2-8х + 12 = 0.

4.3.11.

Найти уравнение прямой, проходящей через центры окружно-

стей х2 + у2 - 6х - 8у + 16 = 0 и х2 + у2 + 10х + 4у + 13 = 0.

4.3.12.

Найти точки пересечения окружности (х — 2)2 + (у + З)2

= 20 и

прямой у = х — 3.

4.3.13.

Найти уравнение общей хорды окружностей: (х — 1)2 + (у — З)2 =

=

4,х2+у2-6х- 10у + 30 = 0.

4.3.14.

Найти центр и радиус окружности, описанной около треуголь-

ника с вершинами А(0;2), В( 1; 1), С(2; —2).

4.3.15.

Составить уравнение окружности, касающейся прямых 2х+у —

— 5 = 0 И 2 : Е + 2/ + 15 = 0, причем одной из них — в точке А( 2; 1 ) .

4.3.16.

Найти угол между радиусами окружности (х — 4)2 + (у + З)2 —

— 25 = 0, проведенными в точках ее пересечения с осью Ох.