Сборник задач по высшей математике

2.1.75.Решить систему уравнений

х\х\х\ — 4,

х\х2хъ = 2.

2.1.76. Система

7ау + Ьх = с, сх + az = 6,

bz + су = а.

имеет единственное решение. Доказать, что аЬс ф 0, и решить систему.

2.1.77. Система линейных уравнений записана в матричной форме: АХ = В. Известны два частных решения этой системы Х\ и Х2 . Как выглядит система, имеющая одним из решений:

а ) Х ! + Х 2 ;

б) AXi (А — некоторое число)?

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от параметров а, Ь, с, d:

§2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА

Пусть система из п линейных уравнений с п неизвестными записана

в матричной форме:

АХ = В,

где А = (ац) — матрица коэффициентов системы размера п х п,

Если D — определитель матрицы А — не равен нулю, то система совместна и определенна, ее решение задается формулой:

X = А~1 • В.

70

Другую форму записи этого утверждения дают формулы Крамера:

где Dk — определитель, получающийся из D заменой А:-го столбца на

столбец свободных членов.

2.2.1.Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

обратной матрицы: Х\ — Х2 — —1, [2а?1 +Х 2 = 7.

О а) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем определитель матрицы системы:

Так как D ф 0, то решение системы существует и единственно. Найдем определитель Di, подставляя в определитель D

вместо первого столбца ( ^ ] столбец свободных членов

Отсюда получим решение системы уравнений:

Ответ. (2;3).

б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем матрицу А , обратную к матрице системы А 6 V)ме-

-

тодом присоединенной матрицы.

Так как det А = 3 ф 0, то матрица А~1 существует, поэтому решение системы существует и единственно.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы

А:

Ап = 1, А\2 = 2, А21 = —(—1) = 1; А22 = 1.

71

Составим матрицу (А^) из алгебраических дополнений:

Запишем матрицу А = (Aij)T = ^ ^ •

Найдем матрицу

Л~1 = Ж Г Л = И - 2 1) = ( - |

Найдем решение системы уравнений:

й ) - — ( A|) (V)=

Ответ. (2; 3).

Сравните решение примера 2.2.1 способами а) и б) с решением примера 2.1.1. • 2.2.2. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

' Xi + 2х2 + Зх3 = б, обратной матрицы: 4xi + 5x2 + бхз = 9, v 7 x i + 8 x 2 = - б .

Оа) Решим систему по формулам Крамера. Для этого найдем

определитель матрицы системы:

(6\

ных членов I 9 I вместо первого, второго и третьего столбцов

=6 • ( - 48) - 2 • 36 + 3 • (72 + 30) =

-288 - 72 + 306 = - 360 + 306 = -54,

72

Ответ. (—2; 1; 2).

б) Решим систему с помощью обратной матрицы. Найдем

73

2.2.3.Решить систему уравнений по формулам Крамера и с помощью

х\ + 2x2 + За?з = б, обратной матрицы: < 4xi + 5х2 + бхз = 15,

Ixi + 8 х 2 + 9Х3 = 24.

ОНайдем определитель матрицы системы:

=1 • (45 - 48) - 2 • (36 - 42) + 3 • (32 - 35) =

=- 3 - 2 • ( - 6 ) + 3 • ( - 3 ) = - 3 + 12 - 9 = 0.

Так как D = 0, то система не может быть решена ни по формулам Крамера ни с помощью обратной матрицы. При этом система является совместной (например, есть решение (1;1;1)) и неопределенной.

Ответ, по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы систему решить нельзя. •

Найти решения линейной системы уравнений, используя обратную матрицу и формулы Крамера. Указать те значения параметров (а иЪ), при которых указанными методами систему решить невозможно:

74

Решить системы уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

75

XI + 2X2 - Зх3 + 4x4 = -13,

2.2.28.-xi + X3 + 2X4= - 1 , 3XI+4X2 + 5X3 = 11,

(все числа ai, a2,..., an различны).

76

Доказать, что c\Xi + ... + спхп = Ъ\у\ + ... + Ьпуп. Записать это число в виде определителя.

§3. ОДНОРОДНЫЕ И НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пусть дана однородная система линейных уравнений:

ацХ\ + а\2Х2 + ... + а\пхп — О,

(3.1)

Q<miXi + ат2X2 + ... + атпхп = О,

или в матричной форме АХ = 0.

Однородная система всегда совместна, так как существует тривиальное решение х\ — Х2 — • •. = хп = 0. Однородная система неопределенна тогда и только тогда, когда г (А) < п.

Положим г = г (А). Пусть общее решение системы (3.1) записано в

переменных xr+\,..., xn. Выберем n — r решений системы (3.1), получен- ных из общего решения следующим образом: одно из значений свободных

переменных полагается равным 1, а остальные — равными 0:

fXl(l,0,...,0)\ /xi(0,l,...,0)\ (х\ (0,0,..., 1)"\

77

Эти решения образуют нормальную фундаментальную систему решений

однородной системы (3.1). Они обладают следующим свойством:

Любое решение X системы (3.1) может быть единственным образом представлено в виде:

X = а\Х\ + ... + an-rXn-ri

где а ь a n - r — некоторые числа.

Любой набор из п — г решений системы (3.1), обладающих указанным свойством, называется фундаментальной системой решений системы (3.1).

Набор из п — г произвольных решений системы (3.1) —

/Jrb-r)\

образует фундаментальную систему решений тогда и только тогда, ко-

а АХ = 0 (система (3.1)) — соответствующая ей однородная система. Общее решение системы (3.2) может быть представлено в виде суммы общего решения системы (3.1) и какого-то одного (частного) решения системы (3.2).

Так как столбец свободных членов при всех элементарных преобразованиях не изменяется, его можно не писать и ограничиться матрицей системы А:

(2i 3 )) IIII--22• I1~ (о 7 ) '

78

Однородная система совместна всегда, т.е. ранг г (А) матрицы А однородной системы всегда равен рангу г(А\В) расширенной матрицы (А\В), в данном примере г(А) = г(А\В) = 2. Количество переменных п также равно 2:

п = г(А) = г(А\В) = 2,

значит, система определенна, т. е. имеет единственное (очевидно, тривиальное — нулевое) решение.

Подробнее, запишем систему, соответствующую получен-

ной матрице:

{ х\ - 2x2 = О, 1х2 = 0.

Из второго уравнения получим Х2 = 0. Подставляя это значе-

2.3.2.Найти общее решение и фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Х\ — X2 + Хз = 0,

I 2х\ + х2 - х3 = 0.

О Запишем матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

(\ -1 1 \ /1 -1 1\ fii'-i] 1 \ \2 1 — ly II — 2 - 1 ~ \0 3 - 3 / П : 3 ~ \ j o _ J L J - l / '

Так как

г(А) = г(А\В) = 2 < 3 = п,

то система неопределенна. Количество главных переменных равно г (А) = 2, количество свободных переменных равно п — г (А) =3 — 2 = 1. Для определения главных переменных выберем какой-нибудь не равный нулю минор второго порядка

полученной матрицы А, например, минор J ^ . Его столбцы — 1-й и 2-й столбцы матрицы А — соответствует переменным х\ и Х2 — это будут главные переменные, а хз — свободная переменная. Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару Х2 и хз, так как соот-

Из второго уравнения, выражая xi через а?з, получим Х2 — хз\ подставляя это выражение в первое уравнение, получим х\ = 0.

79