Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1267 вузов, 4645 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Поволжский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf
Скачиваний:
7378
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
5.01 Mб
Скачать
☆

Если кривая задана параметрическими уравнениями

(х = x(t),

=У®,

причем 11 ^ £ ^ t2, то длина дуги вычисляется по формуле

1= J y/(x')2 + (y')2dt.

(3.10)

ti

 

Если кривая задана уравнением в полярных координатах г = г(<р), а ^ ip ^ /3, то длина дуги кривой вычисляется по формуле

I =

j у/г2

+ (г')2 dtp.

(3.11)

9.3.85. Вычислить длину дуги кривой у — In sin х от х\ = ^ до х2

=

?|

7Г

7Г

27Г

 

г/

о

о

q

 

Рис. 99

О Изобразим часть графика функции у=In sin ж при хб(0;7г) (см. рис. 99). Воспользуемся формулой (3.8), предварительно найдя выражение у/1 4- (у')2'-

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

cos2

х

 

1

 

1 .

/

= — — ,

 

Л / ЛЛ

/ c o t

 

-

.

,

s/ = In sin х,

2/

 

Vl-h (у')2 =

4/1 + — 2

X

 

 

 

Sinx

 

 

 

 

 

V

sin

 

sinx

 

т. к. x E

 

. Находим длину I дуги АВ:

 

 

 

 

 

1 =

 

dx

_

 

x

*

 

 

 

 

1

 

 

 

 

/

sinx

= In

t g 2

 

= In л/3 — In —= = 2 In л/3.

 

 

 

 

 

 

 

 

V 3

 

 

 

 

400

Найти длины дуг

кривых:

 

 

 

9.3.86.

у = —х2

+ 2х от вершины до точки с абциссой х = 2.

9.3.87.

у2 =

з

до точки с абциссой х = 6.

 

9.3.88. у = lnx от х = у/8 до х = \/15.

 

 

9.3.89.

у =

 

— 4х +

отсеченной осью Ох.

9.3.90.

|х = 2/2

от точки

0(0; 0) до точки

А(2л/3;3).

9.3.91.

2/ =

 

+ е м е ж

Д У точками, абсциссы которых равны О

 

и а.

 

 

х = a cos3

 

 

 

 

 

 

9.3.92.

Найти длину астроиды:{^ "

—^

^^ ^^ ^

ОНайдем сначала Z/4, т.е. длину. О дуги кривой, лежащей в

у= asm

первой четверти. Воспользуемся формулой (3.10):

 

 

 

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

=

J yj(a cos3 i){2

+

(a sin3

*){2<ft

=

 

 

 

 

 

 

о

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

yj(3acos2 £(— sin£))2 + (3asin2 1cost)2

dt

=

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

у/9 a2

cos4* sin2* + 9a2

sin41 cos2 * dt =

 

 

 

 

 

 

 

о

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

yj9a2

cos21 sin2

£ (cos2

£ + sin2 £) dt =

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3- a.

 

=

3a

J

costsintdt =

3a J sin t d(sin £) = 3a (sin £)

f

—

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

о

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, I = 6a.

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим, что уравнение астроиды в прямоугольных коор-

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

динатах имеет вид хз

+ 2/3 = аз. Для нахождения ее длины

 

можно было бы воспользоваться формулой (3.8).

 

 

•

Найти

длины

дуг кривых:

 

 

 

 

 

 

 

9.3.93.

у2 = 16х, отсеченной прямой х = 4.

 

 

 

 

9.3.94.

у2 = 9 - х, 2/ = - 3 , у = 0.

 

 

 

 

 

9.3.95.

5з/3 = х2 , заключенной внутри окружности х2 + у2

= 6.

 

Л Л

| х = £ - sin£, .

м

ч

 

 

 

 

 

9.3.96.

<

 

 

 

 

(одной арки).

 

 

 

 

 

 

I у = 1 - cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

401

25-2361

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
402
значит I = 8a.
Найти длины дуг кривых:
9.3.102. r = v^2siny?.
9.3.103. г = 3,5(1-cosy?).
9.3.104. г = ! от у? = | до у? =
л л
9.3.100.
9.3.101.
„ „ „_
9.3.97.
9.3.98.

<f x = a cost,

I у = asint.

{f x = 3«2,' .

(петля).

x = cos31,

от t = 0 до t =

 

2/ = sinО t,

от t = 0 до t = 1.

(f ж = elcost,

{12/ = в1, sin*

 

Найти длину кардиоиды: г = a(l + cosф) (см. рис. 100).

Рис. 100

О Воспользуемся формулой (3.11). Сначала найдем половину длины кривой, т.е. I/2.

2 = / \/(a(l + cosy?))2 + (a(l + cosy?))'2dy? =

= J \Ja2(l + 2cosy? + cos2 y?) + a2 sin2 y? dy? =

о

7Г

 

 

7Г

 

= a J

y/2 + 2 cosy?d(p

= a J w4cos2 ^ dy? =

о

 

 

о *

 

 

7Г

(V?

(V?

^

 

 

/

 

2 sin — dy? = - 4 a cos — = - 4a(0 - 1) = 4a,

 

 

2

2

о

9.3.105.

г = 5(р, находящейся внутри окружности г = Ютг.

9.3.106.

г = 6(l + sin¥>), ip€

[ - f ; 0 ] -

9.3.ЮГ. г = V 2 e 0 ^ <р ^

 

 

Дополнительные задачи

 

 

Вычислить длины дуг

кривых:

9).3.108.

(Х

=

 

''.4

 

между точками пересечения с осями Ох и Оу.

<I

 

66

 

 

\у = 2 - V

 

 

 

 

9.3.109.

{I х

= cost + tsint,

 

от t = О до t = 7г/4.

 

12/ = sint — tcost

 

 

9.3.1Ю.

( x = 4

4

; ; - s i n ? :

 

§

 

 

= 4(1 - cost),

 

*

9.3.111.

2/ = In — о

т x = 0 до x = £.

 

*

 

 

cos x

 

 

 

6

9.3.112.

у =

л/х-1 от точки

А(1;0) до точки В(2; 1).

9.3.113.

у = 1п(1 - х2 ) от х = 0 до х =

9.3.114.

2^/ — х2 + 3 = 0 между точками пересечения с осью Ох.

9.3.115.

х2 = (у — I)3, отсеченной прямой у = 2.

K3.116.

Iix

= .t\ iL_t3

(петля).

3.117.

J*

=

3 s i n ' +

4 cos t,

 

I у = 4sin£ — 3cos t.

 

{x = 2cos3

*

(астроида).

 

 

 

 

q

 

2/ = 2sin3

|

 

 

Q ^ i ^ 2

3.119.

(*

= 2 ^ - с о 8 2 * ,

 

I у = 2 sin t — sin 21,

 

КЗ.120.

/® = 3(*-BinO,

 

„ <t£2n.

 

\y — 3(1 — cost),

 

 

9.3.121.

r = 2(1 - cosф),

 

 

9.3.122.

r =

 

 

~f

^ ^

^ f •

9 . 3 . 1 2 3 .

R =

2COS<£, 0 ^

^

 

403

26*

9.3.124.

г = Зу>, 0 ^ ч> ^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.125.

г = 2е^, находящейся внутри круга радиуса г = 2.

 

Более сложные задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.126.

Найти длину замкнутой кривой 9у2 — х(х — З)2 = 0.

 

9.3.127.

Найти периметр лунки, образованной окружностями х2 + у2 =

 

= 4х и х2 -I- у2 = 2у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.128.

Вычислить длину замкнутой кривой, состоящей из y4acTKOBj

 

кривых у2 = х3 и х2 + у2 = 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.129.

Вычислить длину кривой у=у/х-х2 +arcsinт/х+З, ^ ^ x ^ l -

9.3.130.

Вычислить периметр одного из криволинейных треугольников,

 

ограниченных линиями у = In sin х, 2/ = In cos х, 2/ = 0.

 

9.3.131.

Вычислить длину дуги,

 

 

 

• = (t22

- 2)sin* + 2£cos£,

кривойьии яf «

=

 

,(t

-

„ч

Л .

 

0 < * < 2 L .

 

 

 

\1y

= (2-i

2

)cost +

2tsint,

 

 

 

 

\ у

=

(2-t

 

3'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I x = t — sin t,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.132.

На циклоиде <12/ = 1 — cost

найти точку

M, которая делит

 

первую ее арку по длине в отношении 1 : 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{х —— icos t ~f~ sin t)

 

9.3.134.

Вычислить длину дуги кривой

у = ec(cost - sint),ч'

О ^ ^ т4 -

 

rx

=

 

j<mzdZ;

 

 

 

 

 

 

 

lp

=

f

^ d z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от начала координат до ближайшей точки с вертикальной ка-

 

сательной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х = cos^ t

 

 

 

 

 

9.3.136.

Найти длину кривой г = a sin3

! у = sin* t, '

 

 

0 ^ t ^ ^5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.137.

Найти длину дуги спирали Архимеда г = 2находящейся вну-

 

три окружности г = 2тг.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.138.

Вычислить длину дуги кривой г =

1 -г1C O S (рот ip = 0 до ip = &5.

9.3.139.

Найти длину кривой г = 3cos4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.140.

Найти длину дуги кривой г = аеЬ(р

(а > 0, Ь > 0), находящейся

 

внутри окружности г = а.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

404

Вычисление объемов тел

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечеций. Пусть в пространстве задано тело. Пусть построены его сечения плоскостями, перпендикулярными оси Ох и проходящими через точки х € [а;Ь] на ней (см. рис. 101). Площадь фигуры, образующейся в сечении, зависит от точки х, определяющей плоскость сечения. Пусть эта зависимость известна и задана непрерывной на [а; Ь] функцией S(x). Тогда объем части тела, находящейся между плоскостями х = а и х = Ь вычисляется по формуле

ь

V = j S(x) dx. (3.12)

а

Рис. 101

Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох (или оси Оу) криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(x) if(x) ^ 0) и прямыми у = 0, х = а, х = Ь, вычисляются соответственно по формулам:

 

ь

 

VX=7T J у2 dx,

(3.13)

 

а

 

Ь

 

 

Vy=2Trjxydx,

а ^ 0.

(3.14)

а

 

 

Заметим, что если тело образуется при вращении вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой х = (р(у) {ц>(у) ^ 0) и прямыми х = 0, у = с, у = d, то объем тела вращения равен

d

 

V = TT Jx2dy.

(3.15)

с

 

9.3.141. Найти объем V пирамиды с площадью основания Q и высотой Н.

405

О Направим ось Ох перпендикулярно основанию пирамиды, а начало координат совместим с вершиной О данной пирамиды (см. рис. 102). На расстоянии х от точки О проведем поперечное сечение пирамиды. Его площадь обозначим через S, она является функцией от х: S = S(x). Как известно, площади сечения (параллельного основанию) и основания относятся как

квадраты их расстояний от вершины, т.е. ^ffi =

Я

Отсюда

У

 

S(x) = -§%х2. По формуле (3.12) находим

 

 

Н

 

 

О

 

 

Рис. 102

Рис. 103

 

9.3.142. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2

+ 4у2 = 1,

г = х (х ^ 0), г = 0.

 

 

О В результате пересечения

эллиптического

цилиндра

х2 + 4у2 = 1 плоскостями z = 0 и z = х получим тело, изобра-

женное на рисунке 103. Сечение тела, перпендикулярное оси

Ох, проведенное на расстоянии х от начала координат пред-

ставляет собой прямоугольник

ABCD. Найдем его

площадь

S = S(x). Высота (ширина) MN прямоугольника равна х, т.е.

\MN\ = х (в прямоугольном треугольнике NMO угол NOM

равен 45°). Точка D(x\y) лежит на эллипсе х2 + 4у2

= 1. Зна-

чит,

MD = у = у* ^х

, т.е. \MD\ =

Х

' Следователь-

но,

S(z) = А£> • MJV

= 2MD • MN = 2 •

V ^ - a * . х, т.е.

5(х) = x v T — ж2. По формуле (3.12) находим

 

 

 

1

 

, 1

 

 

V

= f

ху/1 - х2 dx =

~

J ( 1 - х2 )* d(l - х2 )

=

9.3.143. Найти объем тела, ограниченного двумя цилиндрами х2 + у2 =

=R2HX2+Z2= R2.

S=S(x)

Рис. 104

О Изобразим на рисунке восьмую часть тела, расположенную в I октанте (см. рис. 104). В поперечном сечении (перпендикулярном оси Ох) тела получится квадрат. Его сторона а равна ординате точки М(х; у), лежащей на окружности х2 + у2 = Я2 , т. е. а = у = y/R2 — х2 . Следовательно, площадь сечения равна

5(х) = (VR2

— х2)2

= R2 - х2 , 0 ^ х

^ R. Используя форму-

лу (3.12) находим

 

 

 

1

=

г

/

х М Я

2

l V

 

f(R2-x2)dx=(R2x-^)\

 

 

 

о

 

 

 

т.е. V = ^ R 3 .

 

 

 

•

407

9.3.144.

Найти объем шара радиуса Я.

 

 

9.3.145.

Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой Н.

9.3.146.

Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром

 

z = х2, плоскостями у = 0, у = 6, г = 1.

 

 

9.3.147.

Найти объем тела, ограниченного параболическим цилиндром

 

z = 1 - у2, плоскостями у = 0, г = 0, х = 0, х = 12.

 

9.3.148.

Найти объем тела, ограниченного параболоидом z — х2 Л-у2 и

 

плоскостью г = 4.

 

 

 

 

9.3.149.

Найти объем эллипсоида х2 + у2 + 4z2 ^ 4.

 

 

9.3.150.

Вычислить объем шарового слоя, вырезанного из шара х2-\-у2 +

 

+ z2 = 25 плоскостями у = 1 и у = 4.

 

 

9.3.151.

Найти объем тела, ограниченного однополостным гиперболои-

 

 

2

 

 

 

 

 

Д О М X2 Н~

— Z2 — 1, И П Л О С К О С Т Я М И z = О, Z = 3.

 

 

9.3.152.

Найти объем тела, ограниченного эллиптическим параболои-

 

х2

V2

П Л О С К О С Т Ь Ю Z — А.

 

 

 

Д О М у + ^ =

 

 

9.3.153.

Найти объем обелиска, параллельные основания которого ква-

 

драты со сторонами а и Ь (а > Ь), высота равна h.

 

 

9.3.154.

Найти объем тела, ограниченного канонической поверхностью

 

(|/-3)2 = ^-2 + | -2И плоскостью у = 1.

 

 

 

 

 

 

 

у2

z2

9.3.155.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

g

fg =

9.3.156.

х = 2.

 

 

 

2 +

= 2z

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

 

(параболоид) и 2

+

= z2 (конус).

 

 

9.3.157. Цилиндр, основанием которого служит эллипс 4х2 + 25у2 = 400 пересечен наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Высота полученного «цилиндрического клина» равна 5. Найти его объем.

9.3.158. Найти объем шарового сегмента высотой 2, отсеченного от шара радиуса 4.

9.3.159. Найти объем тела, ограниченного плоскостями г = 1, г = 4, если площадь его поперечного сечения обратно пропорциональна квадрату расстояния сечения от начала координат, а при z = 3 площадь сечения S(z) = 20.

Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

9.3.160. z = 9 — х2 — у2, z = 0.

9.3.161. х2 + у2 = 9, у + г = 3, г = 0. 9.3.162. у = х2, z = 0, z + у = в.

408

9.3.163.

^

+

^

+

^ =

1,^ = 0 , ^ =

3.

9.3.164.

^

+ ^

=

1,

г =

(» ^ 0),

г = 0.

9.3.165. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ху = 6, х = 1, х = 4, у = 0, вокруг оси Ох и вокруг оси Оу (см. рис. 105).

Рис. 105

 

О По формуле (3.13) находим

 

 

= 27тг.

По формуле (3.14) находим

 

Г 6

= 36тг.

Vy = 2тт / х - — dx = 2тг • 6х

1

 

9.3.166. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу области, ограниченной линиями у = е~х, х = 0, у = 0 (х ^ 0).

ОИспользуя формулу (3.15), находим

Vy=7T J (-In y)2dy = 7Г J In2 у dy =

и = In2 у du = 2 In у • ^ dy dv = dy v = y

409

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности