Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5844 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Вариант 3

1. Вычислить интегралы: 7Г

a)	f	~	siQnx	'
' J	5 - 3 cos x			'

J bxdx .

2 V S + 2 '

в) J x • ln(l + x) dx.

2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходи-

мость:

оо

а)	/ х''-8х + 20;
	5

3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) 2/ =

у = х,х = -2;

б) г = 2 sin ф г = 4 sin

4.Вычислить длину дуги кривой а ) г = 2.у>,

б) у = 1пж, от точки -4(1;0) до точки £(л/3;1пл/3).

5. а) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z = 0,

б) Отрезок прямой, соединяющий начало координат с точкой ( - 3 ; —2) вращается вокруг оси Оу. Найти объем тела вращения.

Вариант 4

1. Вычислить интегралы:

а) / ^ d x ;

- 1

б ) / 2 + Х>-7;

430

в) / х • cos4x • dx.

2.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

а)

— ОО

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у = я4, нормалью к ней проведенной в точке с абсциссой х = 1, прямой х = 0;

б) г = cosy? г = sin(р (0 ^ (р ^

4.Вычислить длину дуги кривой

б) у = 4 - я 2 , х = - 2 , х = 2.

5. а) Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 = 9, z = y,z = 0(y^0).

б) найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = х2, х = 2, у = 1.

Глава 10. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

^ Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (х;у), первое из которых х называется его

действительной частью, а второе число у — мнимой частью.

Обозначение: z = x+iy.Символ г называется мнимой единицей.

Если х = 0, то число 0 + iy — iy называется чисто мнимым, если у = 0, то число х + г • 0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. М С С.

Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х = Rez, а у — мнимой частью, у = lm z.

^Два комплексных числа z\ — х\ +гу\ и z2 = х2 +W2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части, т. е.

z 1 = Z2	(xi	= х2 ,
	\уг	=2/2.

Два комплексных числа z = x + iynz = x —iy, отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.

Всякое комплексное число z = х + iy мож-
но изобразить точкой М(х;у) плоскости Оху
такой, что х = Rez, у = lmz. И наоборот.
Плоскость, на которой изображаются ком-
плексные числа называется комплексной плос-
костью (ее также обозначают С). Ось абсцисс	~
называется действительной осью, а ось орди-
нат — мнимой.		Рис. 112
Комплексное число z = x-\-iy можно изобра-
жать и с помощью радиус-вектора f = ОМ = (х; у).
Длина вектора г, изображающего комплексное число z		(см. рис. 112),

называется модулем этого числа и обозначается \z\ или г. Модуль г — \z\ однозначно определяется по формуле

Г = \z\ = у/х2+у2.

(1.1)

432

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором г, изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа, обозначается Arg z.

Аргумент комплексного числа z ф 0 величина многозначная: Arg z = = argz + 2fc7r, к = 0, ±1, =Ь, 2 , . . . , где arg z = ip — главное значение аргумента , заключенное в промежутке (—7г;7г], то есть — 7г < argz ^ 7г. Аргумент комплексного числа z = 0 = 0 + гО не определен.

Замечание. В качестве значения аргумента можно брать величину принадлежащую промежутку [0; 27г).

^Запись числа z в виде z = х + гу называют алгебраической формой комплексного числа.

Запись числа z в виде

z = г (cos (р -Ь г sin у?)					(1.2)
называется тригонометрической			формой.
Аргумент ip определяется из формул cos tp =				sin tp =	где г =
= у/х2 + у2. Аргумент z можно найти, используя формулу tg(р =					так
как —7г < argz ^ 7г, то из формулы tgip = ^ находим
'arctg х		при х > 0;			(1.3)
ip = arg z = < arctg ^ + тг,		при х < 0,		у > 0;
arctg ^	- 7г,	при х < 0,		у < 0.
Запись числа z в виде
z = re**	или		z=lzleiargz		(1.4)

называют показательной формой (или экспоненциальной) комплексного числа.

10.1.1. Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать в тригонометрической и показательной формах:

a) z = 2 + 2ц	б) z = - 1 + г>/3;
в) z — —Ъц	r) z = — 3 - 2ц
д) z — -3^cos ^	- i sin ^.

ОИспользуем формулы (1.1)—(1.4).

а) Находим модуль и аргумент комплексного числа z =

= 2 + 2г. Здесь х = 2 > 0, у = 2 > 0, \z\	= г = у/22 + 22 = 2у/2,
(р = arg z = arctg 5 — 4 • Значит,
2 + 2г = 2л/2 (cos ^ + г sin ^	= 2у/2е**.
	433

28 - 2361

б) Для z	— —1 -Ь %у/3 имеем г		=		4- (л/3)2 =			2,
= arctg(-^-^ + 7г = ^тг. Значит,
	/ 2	2	\	2
-1 + гл/3 = 2 (cos —7Г + г sin -TTJ				= 2е*'К
в) Имеем: г = л/0 + 25 = 5, <р = —			Значит,
—5г = 5 ( c o s ( ~ ^ ) +				=
г) Имеем:	г = >/9 + 4 =	л/13,	=	a r c t g ( ~ 5 ^ )			- 7Г	=
о
= arctg ^ - 7г. Значит,
- 3 - 2 г = л/13 (cos (arctg ^ -		+ г sin (arctg ^ ~ 7 Г ))					—
			= д / Т З е ^ ^ Ь ^ ) .
					У
					У

					О	Jy	х
						>z = -l

z У

^р

ol X

Рис. 113

д) Запись z = —3(cos ^ - г sin ^ не является тригонометрической формой записи комплексного числа (см. формулу (1.2)).

Перепишем z в виде z = з(—cos^ + i s i n ^ . Надо найти такой угол </?, что cos<^ = — cos^, sin tp = sin^. Таким углом

434

	является 7г — ^ =			т.е. цз = ^тг. Значит,
				4	4	\	.4
			(5		5	/	= 3 • е г 'ь п .
				COS-7T -h г sin —7Г)			= 3 • е г 'ь п .
		Изображения чисел представлены на рис. 113.						•
10.1.2.	Построить на комплексной плоскости С векторы, соответству-
	ющие комплексным числам z. Найти \z\ и argz:
	а)	z = —5;
	б)	z = 2,3г;
	в) z = — 1 — г;
	r)	z = 3 - г.
10.1.3.	Дана точка z = 2 + Зг. Построить на этой же плоскости точки:
	- 2 + Зг,		- 2 - Зг, 2 - Зг, 2 + Ог, 0 + Зг,				- 2 + Ог, 0 - Зг.
10.1.4.	Представить в алгебраической форме числа:
	а)	2 ^cos \|тг + i sin		;
	б)	- > / з ( с о з ^ — г sin ^.
10.1.5.	Даны комплексные числа
	а) z = 5 - 5г;
	Б) Г = 2.
	Найти Rez, Imz,			argz.
10.1.6.	Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
	а)	2 + 4г;
	б)	л / З - г ;
	в)	2001;
	Г) 2cos \| - 2isin\|.
10.1.7.	Представить в показательной форме комплексные числа:
	а)	12г;
	б)	1 - л/3;
	в)	- 4 -	Зг;
	Г)	sin ^ + г cos ^.
10.1.8.	Изобразить на комплексной плоскости С множества точек, удо-
	влетворяющих следующим условиям:
	а)	\z\ = 2;
	б) argz		= \|;
	в) 0 ^ Imz < 1,5;
	г)	Re г > 1;
	.	J k K 1,
		j f	<argz<§7r.
	О	а) Согласно формуле (1.1),				имеем \Jx2 + у2 =		2, т. е.
	х2+у2=4. Множество точек, удовлетворяющих условию							\|г\| = 2,

435

т.е. х2 + у2

= 4 представляет собой окружность радиуса R = 2

с центром в начале координат.

б) Точки z лежат на луче, выходящем из точки 0(0; 0) под

углом ^ к действительной оси.

в) Неравенство 0

^ lm z <

1,5 можно переписать так 0 ^

У < 1,5.

г) Условие Rez > 1 или х > 1 определяет множество всех

точек, расположенных справа от прямой х = 1.

д) Множества точек, расположенных внутри и на границе

круга \z\

1, заключенных между лучами <р = ^ и <р = ^

( N ^ i ,

3 7 r

удовлетворяют условию s 7 r / Q r ( T y /

I 4 ^

z ^

4 •

^ N > 1 = 2

t///

1,5

Рис. 114
Множества точек а)-д) изображены на рис. 114.	•

10.1.9. Изобразить на		комплексной плоскости множества точек, удо-
влетворяющих неравенствам:
а)	\z\ > 2;
б)	\| Imz\| < 2;
в)	< a r g z < 0 .

436

10.1.10. Указать на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих условиям:

а)	4, \| Rez\| ^ у/2, \ Imz\ ^ 0,7;
б)	Rez < Imz, \z\ > 0,2;
в)	argz = (2n + 1)7Г, n G Z.

Дополнительные задачи

10.1.11. Найти все значения аргумента комплексного числа:

	а)	-б;
	б) cos ^ + isin^.
10.1.12. Найти главное значение аргумента			комплексного числа
	r(cos <р + г sin ip), если:
	а)	sine/? = —0,5;
	б)	sm<p = 0,5, costp =
10.1.13.	Представить в тригонометрической и алгебраической формах
	числа:
	а)	5е~%г;
	б)	—2 (cos 30° + г sin 30°).
10.1.14.	Представить в тригонометрической и		показательной формах
	числа:
	а) - 3 + 4г;
	б)	3(cosl0° — г sin 10°);
	в)	1 + г • tg 1.

Контрольные вопросы и более сложные задачи

10.1.15.	Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
	а)	1 + cos 22° + г sin 22°;
	б)	sin (f + i cos (/?;
	в)	1 — г tg а, если a G (j^ 5 ^ 5
	r)	5 (cos	- г sin	.
10.1.16.	Найти наибольшее и наименьшее значения \z\, если z = 2 sin a +
	+ i cos a.
10.1.17.	При каких значениях x и у комплексные числа z = х + 2i и
	z = 4 + у/Зуг.
	а)	равны?
	б) сопряжены?
10.1.18.	Могут ли быть сопряженными: два действительных числа? два
	чисто мнимых? действительное и мнимое число?

437

10.1.19.	Пусть argz =	Чему равен argz?
10.1.20.	Какое из чисел больше: z = 2 — i или z = —2 + i?
10.1.21.	Каковы условия равенства комплексных чисел, заданных в
	тригонометрической форме?

§2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Основные действия над комплексными числами z\ = х\ + iyi и z2 = = x2+iy2, заданные в алгебраической форме, определяются следующими равенствами:

		(xi + iyi) + (х2 + гу2) = (a?i + ж2) + i(yi + 2/2),				(2.1)
		(si -f ij/i) - (a?2 + m )	= (a?i - ж2) + i(\|/i		- 2/2),	(2.2)
	(xi + iyi) - (x2 + ij/a) =		- У1У2) + i(a?ij/2 + yix2),			(2.3)
xi	+ tyi	_ (a?i +iyi)(a?2 -^/2)	_ xxx2 +yiy2	.	y\x2 - хгy2
x2	+ iy2	(x2 + ij/2)(a?2 - ij/г)	ж* + У2		xl + У2
		(при z2 ф 0).
Из равенства (2.2) следует, что
		1*1 -z2\ = y/(xi	-Х2)2 - (yi	-у2)2,		(2.5)

т. е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между

точками, изображающими эти числа на плоскости. Из равенства (2.3) следует, что

г2 = -1.

При умножении комплексных чисел z\ — т\ (cos ipi + г sin ipi) и z2 = = т2 (cos ip2 -Hsin</?2), заданных в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, т. е.

zi - Z2 = п ' т2 (cos((/?i + ip2) + г sm((fi + <р2)).

Отсюда следует формула Муавра для возведения комплексных чисел в

натуральную степень:

zn — (r(cos ip i sin ip))n — vn • (cos nip -b i sin nip).			(2.6)
Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме,
осуществляется по формуле
Z\	Т\	+ isin((/?i - ip2)).
— = — . (cosfal - ip2)
Z2	r2

Корень n-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле


пг	пГ7	Г^	\	пг(	</> + 2Ь-		. .		ip + 2&7г\
У z —	у г (cos ip + ismip) =			yrlcos	n	Ь 1 sin					J,
				\	n					n J
					где fc = 0,		1,	2,		3, ... ,n — 1. (2.7)

438

10.2.1.

Найти zi + z2l zi - z2, z\ • z2l

если z\ — 1 + 2г, z2

— 2 - г.

Используя формулы (2.1)-(2.4), находим:

Zl+Z2

(l + 2г)

(2 -

г)

3 + г;

Z l - Z 2

( 1 + 2i) - (2 - г)

= -1 + Зг;

^ . Z2 = (1 + 2г) • (2 - г) = 2 - г + 4г - 2г2 = 4 + Зг;

(l4-2t)(2 4-Q

5г

_ .

" ( 2 - 0 ( 2 + 0 ~ 5 " г *

10.2.2.

Найти ( - 1 - гл/З)15-

Запишем число z = —1 — iy/3 в тригонометрической форме:

| = г = у/1 + 3 — 2, argz= =

= t g ^ j y

„ -

7Г — -|тг, Т.(

-1 - гл/З = 2(cos(-|tt)

+ isin(-|7r)).

По формуле Муавра (2.6) имеем

(—1 — гл/З)15 = [2(COS(-|TT) + I S I N ( - | 7 R ) ) ] 1 5

= 215 - (COS(-IOTT) + isin(-lOTr)) = 215(1 + 00 = 215 = 32768.

10.2.3.

Вычислить:

10.2.4.

Вычислить:

а) ( 1 - 0 - ( - 3 + 20;

2 + Зг

, 1 — Зг*.

4 - 2г

2г

б ) L ± ^ + ( i - i ) 2 .

б) г2 + г3 + г4 + г5.

10.2.5.

Найти:

10.2.6.

Найти:

1±1

а)

(л/3 + 0(1 + »А/3)'

6 ) ( l + o 1 0 .

б) ( - 1 + 05 .

10.2.7.

Доказать, что:

10.2.8.

Доказать, что^

а)

zi + z2 = zi + z2\

R)Rez=z±z.

б)

Z\ • z2 — Z\ • z2.

б) \zi -z21 = \zi\ • \z2\.

10.2.9.

Вычислить: г • г2 • г3 •... г100.

10.2.10.

Вычислить: г4 + г14 + г24 + г34 + г44 + г54 + г64

+ г74 + г84.

10.2.11.

Решить уравнение z5 +32 = 0 на множестве комплексных чисел.

Перепишем уравнение в виде z = ^—32. Число (—32) пред-

ставим в тригонометрической форме:

- 3 2 = 32(cbs7r + isin7r).

439

<<< < Предыдущая 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5844 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб7селекция витька.doc