По формуле (2.7) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в/ггт |
|
г-: г |
|
|
|
|
. . 7Г -h 27гА:\ |
|
|
|
|
7Г + 27Гк |
г = у 32(cos 7г |
+ г sin 7г) = 21Vcos |
5 |
Ь г sin |
5 /), |
где к = 0,1,2,3,4. |
|
|
|
|
|
|
Полагая к = 0,1,2,3,4, получим |
|
|
z0 = 2 (cos ^ + г sin ^ » 1,6180 + 1,1756 • г, |
|
= 2 (cos ^ + г sin |
5 / |
» -0,6180 + 1,9021 • г, |
|
V |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Z2 = 2(cos 7Г + г sin 7г) = - 2 , |
|
|
|
z3 = 2 (cos у + г sin у) |
к -0,6180 - |
1,9021 • г, |
|
(97Г |
97Г \ |
|
|
|
|
cos — + г sin — ) |
» 1,6180 - 1,1756 • г. |
|
|
|
5 |
|
|
5 / |
|
|
|
|
|
Рис. 115
Найденным корням уравнения соответствуют вершины правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса
R = 2 с центром в начале координат (рис. 115). |
• |
10.2.12. Найти действительные решения уравнения: |
|
а) |
(1 + i)x + (1 — г)у = 3 — г; |
|
|
|
|
б) |
х + у + ixy = г. |
|
|
|
|
10.2.13. Найти: |
|
|
|
|
а) действительные решения; |
|
|
|
|
б) комплексные решения |
|
|
|
|
|
/(2 + г)я + ( 2 - г)у = 6, |
|
системы уравнений | ( 3 + |
^ |
+ (3 |
_ ^ = g |
|
|
|
|
Л 28 |
|
10.2.14. |
Вычислить |
(1 + 0 |
Ш- |
|
|
|
(1 — г) — г • (1 + г) |
10.2.15. |
Вычислить |
( ^ f ^ ) • |
|
10.2.16. |
Найти все значения корня |
у/—1 + гл/3. |
10.2.17. |
Решить уравнение z3 + 1 = 0. |
10.2.18. |
Изобразить на рисунке множества точек z комплексной обла- |
|
сти,1, удиовлетворяющихс условию: |
|
а) |
f l ^ z - . |
|
|
|
\ - л / 3 ^^ Imz ^ 0; |
|
|
б) \z-i\ = \z + 2|; |
|
|
|
\z-i\< |
1, |
|
|
в) |
argz ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
^arg(z + 1 — г) ^ }. |
|
|
О |
а) Так |
как z-z=(x+iy)(x—iy)—x2+y2, a Imz = у, то дан- |
ную систему неравенств можно записать в виде {-уД^у^О.
Неравенства 1 ^ х 2 + у 2 ^ 2 задают кольцо между окружностями, включая их границы радиусов Д = 1 и Д = 2с центром в начале координат. Неравенства — >/3 определяют горизонтальную полосу между прямыми у = — \/3 и у = 0, включая прямые у = —>/3 и у = 0. Искомое множество точек г заштриховано на рисунке 116.
СсN о |
|
|
Z2 = -2 |
|
X |
|
У |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
1 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>z i =i |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
• |
|
|
|
|
|
|
/y=-Vз |
|
|*-i| = |*+2| |
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 116 |
|
|
|
Рис. 117 |
б) Согласно формуле (2.5), равенству \z — i\ = \z — (—2)\ удовлетворяет множество точек г, равноудаленных от точек z\—г и Z2 = —2. Это множество точек представляет собой середин-
ный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки Z\ = г и Z2 = - 2 (см. рис. 117).
|
У |
У |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
argz^f |
-1 |
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 к - г | < 1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
- I |
Q |
|
|
X |
О |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 118
в) Изобразим на отдельных рисунках множества точек, удовлетворяющих каждому из неравенств условия (см. рис. 118).
Рис. 119
Находим пересечение трех полученных областей — это и будет искомое множество (выделено на рис. 119). • 10.2.19. Изобразить на рисунке множество точек z, удовлетворяющих
условию \z - 3| = 2 • \z\.
10.2.20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек z, для которых выполняется условие |3 + iz\ ^ \z\.
Дополнительные задачи
10.2.21. Найти Rez и Imz, если а) * = (2 - г)2 • (3 + 4г);
б= +
10.2.22. Решить уравнения:
а) z2 + z = 0;
б) \z\-3z = -12г.
10.2.23.Вычислить:
о( v ^ ( c o s | + z s i n | ) ) 1 2 ;
|
|
/ 1 |
• \100 |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.24. |
Доказать справедливость тождеств: |
|
|
|
|
|
а) |
cos 3(р = 4 cos3 ip — 3 cos ip\ |
|
|
|
|
|
|
б) |
sin 3ip = 3 sin (p — 4 sin3 ip. |
|
|
|
|
|
|
Указание. Использовать формулу Муавра: (cosy? + г sin у?)3 = |
|
= cos3y? + г sin3y>. |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.25. |
Найти все значения корня: |
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) у/8 — 8у/3 • г; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
^=16; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г) |
# 1 + 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2.26. |
Найти расстояние между точками: |
|
|
|
|
|
а) |
1 — 6г и 2г; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
1 + 4г и 3 - 2г. |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.27. |
Найти комплексные числа, каждое из которых сопряжено со |
|
своим квадратом. |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.28. |
Решить уравнение (х G С): |
|
|
|
|
|
|
а) х2 - 4х + 8 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Зх2 - х + 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.29. |
Выполнить действия: |
|
|
|
|
|
|
v |
8(cos 40° + г sin 40°) |
|
|
|
|
|
|
|
16(cos(—50°) + г sin(—50°))' |
|
|
|
|
|
|
б) |
у/2 • (1 - г)(1 + i\/3)(cos2y? + isin2y>). |
|
|
|
|
10.2.30. Выполнить |
действия. Результат предоставить в |
алгебраиче- |
|
ской форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) ( V 5 - e * < ) 8 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 3 - e f i -4е5^. |
|
|
|
|
|
|
|
10.2.31. |
На плоскости С нарисовать область, заданную неравенствами: |
|
а) |
\z + i\< 1, \z + l\^ 1; |
|
|
|
|
|
|
б) |
\z - 2 - i\ ^ 1, 1 ^ Rez < 3, |
0 < Imz ^ 3; |
|
|
|
в) |
\z\ < 2, |
Rez ^ 1, |
argz < |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.2.32. |
Дано: z = —, |
|
- -Дтг. Найти: z и |
1. |
|
|
|
|
^ |
л/2(1 - г) |
|
2ег< |
|
г |
|
|
10.2.33. |
Доказать формулы Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
cosy? = |
е*р + е-ьр |
л |
ei(p — |
e~iif |
. |
(2.8) |
|
|
|
|
, |
sin <p = |
- |
10.2.34. Используя формулы Эйлера, выразить через косинусы и синусы кратных дуг функции:
а) cos4 х; б) sin2 х.
10.2.35. Решить уравнения:
а) z2 - (2г - b)z + 5 - 5г = 0; б) z4 + 9z2 + 20 = 0.
Контрольные вопросы и более сложные задачи
10.2.36. |
Доказать, что последовательность чисел {zn }, где zn |
= cos пх + |
|
-hzsinnx есть геометрическая прогрессия. Найти ее знамена- |
|
тель. |
|
|
|
10.2.37. |
Доказать, что если \z\ = 1, то z = i. |
|
10.2.38. |
Из всех |
комплексных чисел, удовлетворяющих |
условию |
|
|z — л/3 + i\ ^ 1 найти число, имеющее наименьшее значение |
|
главного аргумента. |
|
10.2.39. |
Найти число с наибольшим модулем среди комплексных чисел |
|
г, удовлетворяющих условию \z + 3 — 4г| = 3. |
|
10.2.40. |
Найти (1 + sin<р + г cos <р)16. |
|
10.2.41. |
Найти модуль и аргумент комплексного числа z, если: |
|
a w - 1 + * + 1 |
|
|
а ) z ~ 1-i + 1 + г' |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(л/2 + г\/б)4 |
лj |
|
|
б) г = |
|
|
( s i n f £ + z c o s ^ )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
* = |
(l - cos | + г sin |
• |
(l - г ctg |
. |
10.2.42. |
Пользуясь формулой Муавра (см. (2.6)), выразить sin5<p через |
|
cos ip и sin ip. |
|
|
|
|
10.2.43. |
Найти сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
sin х + sin 2х + |
Ь sin пх; |
(п Е N); |
|
|
б) cos х + cos 2х Н |
Ь cos пх; |
(п G N). |
|
|
Указание. Использовать формулы Эйлера (см. (2.8)). |
10.2.44. |
Решить уравнение на множестве комплексных чисел: |
|
а) z4 - г* + 2z2 - z + 1 = 0; |
|
|
|
|
б) z8 - 17z4 + 16 = 0; |
|
|
|
|
|
в) |
|
-2z = 2г- 1. |
|
|
|
|
10.2.45. |
При каких действительных значениях х и у числа z\ = х2 + |
|
+ 42/ — yi и Z2 = 4 +у — j — х2 - г будут сопряженными? |
10.2.46. |
Зная точку г, на комплексной плоскости построить точку: |
|
а) z' = z - 3; |
|
|
|
|
|
б) |
z' |
= |
iz; |
|
|
|
|
|
в) z' |
= |
z + (2 - г). |
|
|
|
|
10.2.47. |
Сколько и какие значения имеет произведение у/^1 • |
10.2.48. |
При каком условии квадрат комплексного числа x+iy является |
|
чисто мнимым числом? |
|
10.2.49. |
Указать на плоскости С точки г, для которых: |
|
а) |
z = А; |
|
|
|
б)' |
z = -Zk |
|
|
10.2.50. Вычислить: |
|
|
|
а) |
И | ; |
|
|
|
б) |
| cos 2ср + i sin 2ip\. |
|
10.2.51. |
Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть от- |
|
рицательной? |
|
|
10.2.52. |
Как изменится модуль и аргумент комплексного числа z в ре- |
|
зультате умножения этого числа на: |
|
а) |
2; |
|
|
|
б) |
2г; |
|
|
|
в) |
-2г. |
|
|
10.2.53. Вычислить: |
|
|
|
а) |
у/1; |
|
|
|
б) г2001. |
|
|
10.2.54. |
Нарисовать на плоскости С область, заданную неравенствами: |
|
а) |
\z + г| ^ 2, |
Rez > л/2; |
|
|
б) |
| Rez\ ^ 2, |
\lmz\ < 1; |
|
|
в) |
\z - 1| < 1, |
axgz ^ |
arg(z - 1) > |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Вариант 1
1. ВЫЧИСЛИТЬ:
2.Найти модуль и аргумент комплексного числа z: а) z = (—5 + г) • ( - 5 - г ) ;
3.Решить уравнение:
а) |
z2 |
- |
8iz |
-15 = 0; |
б) |
z3 |
+ |
8i = |
0. |
4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек г, удовлетворяющих условию:
а) |
— 2| — |1 — 2z\ = 0; |
б) |
\z-l + i\^ 1, Rez < 1, Imz ^ -1. |
5.Найти число с наименьшим аргументом среди чисел г, удовлетворяющих условию: \z — 8| =4.
Вариант 2
1. Вычислить:
а) 1 — г5 Ч- г10 — г15 + h г50; К) 3 + 4г , 4 - г
г3 + 2г'
2. Вычислить (^1 • 22 )1 0 , если zi = -1 + гл/3, z2 = l(sin30° + г cos30°).
3.Решить уравнение: а) г2 - 4z + 20 = 0;
4.Изобразить на комплексной области множества всех точек г, удовлетворяющих условию:
а) Re(l + z) = \z\\
б) | * - 1 - г | < 1 , |args|< J.
5. Где расположены точки 1 + 2г, для которых \z\ = 1?
Вариант 3
1.Найти:
,(2 + 3 » ) ( 5 - 0 . 2 + г
б) (2г — I)4 — (2г + I)4 .
2.Представить в тригонометрической и показательной формах числа: а) * = 1 - л/3; б) г = - 2 - 4г;
в) г = 3 ^sin ^ + г cos ^ ;
3.Решить уравнение: а) z2 - z + 5 = 0;
4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек z, удовлетворяющих условию:
|
а) |
| _ 2 |
|
| |
|
|
|
б) |
\ж - argz| < |
|
|
|
5. |
Вычислить: ( ^ i |
^ ) 3 " ^ - |
„ € R |
Вариант 4 |
|
|
|
1. |
Вычислить: |
|
|
|
|
а ) ( 1 = 2 г ) 3 - ^ |
|
|
|
|
|
V г53. |
|
|
б) г3 + г13 + г23 Н |
|
|
2.Представить в тригонометрической и показательной формах числа: а) z = — 17,2г;
б) z = - 0,3 + 2,4г;
в) z = — ctga + г (0 < а < 7r).
3.Решить уравнения: а) г2 + 8z + 41 = 0; б) г6 - 9z3 + 8 = 0.
4.Изобразить на комплексной плоскости множества всех точек z, удовлетворяющих условию:
а) H i ) = 2*
б) - 2г| ^ jsin | - г cos | .
5.Найти число с наименьшим модулем среди комплексных чисел, удовлетворяющих условию: |2 — 2iz\ = \z — 4|.
•
Глава 11. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ •
§1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ГРАФИК И ЛИНИИ УРОВНЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение функции нескольких переменных
^ Переменная г называется функцией двух переменных х и у,
если каждой упорядоченной паре (х; у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D С Ш2 соответствует единственное число z.
Обозначения: z = f(x;y), z = F{x\y), z = z(x;y) и так далее.
^Переменная величина и называется функцией от п переменных x\y\z\.. если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной и: и = f(x; у;z;.. .;t).
Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных (аргументов) зафиксировать.
Например, функции и = f(x\y\z), и = f(x;y;a), и = /(ж;Ь;а), где а и b — постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.
В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных z = f{x\y) или z = z(x\y). Под функцией z = f(x;y) будем понимать также функцию точки М(х\у) с координатами х и у.
^ |
Множество D всех точек (х;з/), при которых z = f(x;y) име- |
|
ет смысл, называется областью определения, а множество зна- |
|
чений г, принимаемых функцией z = f(x;y) при (х;у) Е D, |
|
называется областью изменения или множеством значений |
|
функции. |
График функции двух переменных. Линии уровня
^Множество точек пространства М3 с координатами (x\y\z) =
—(#5 2/;/(х >2/)) ПРИ в с е х (Х1У) € D называется графиком функции z = f(x\y).
Для наглядного геометрического представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных.
^ |
Линией уровня функции z = /(х; у) называется множество всех |
|
точек плоскости Оху, в которых функция z принимает посто- |
|
янное значение, т.е. f(x;y) = с, где с — постоянная. |
^ |
Поверхностью уровня функции трех переменных и = f(x;y;z) |
|
называется множество всех точек пространства Oxyz, в кото- |
|
рых функция и принимает постоянное значение, т. е. /(х; y\z) = |
|
= с, где с = const. |
11.1.1. Выразить объем прямоугольного параллелепипеда, вписанного в шар радиуса R как функцию двух его измерений х и у. Найти область определения этой функции.
О Исходим из построенного чертежа (рис. 120). Обозначим два измерения, скажем, А В = х, АС = у. Пусть R — радиус шара, тогда BD = 2R. Объем параллелепипеда (прямоугольного) равен V = xyh (h = CD) и нам надо выразить h через Д, х и у. Из ADBC имеем h2 = 4Д2 - ВС2 , а из ДАВС получаем ВС2 = х2 + 2/2- Значит, h2 = 4Д2 - х2 - у2, а тогда У = xyy/4R2 — х2 — у2 — искомая функция двух переменных.
Ее область определения: 4R2—x2—y2 ^ 0, т. е. круг х2 +з/2 |
^ 4Д2 |
радиуса 2Д с центром в начале координат. |
• |
D
/ /
с• К.--—-NЧ-- 7
•/
•
Е х
11.1.2. Выразить площадь S равнобочной трапеции как функцию трех величин: длин оснований х и у и боковой стороны z.
ОИмеем S = 5трап = ^(х + y)h (см. рис. 121), а из AFCB
имеем h2 = z2 — BF2, где BF = АЕ = А(х — ?/). Искомая
функция имеет вид S = ^(х + з / ) ^ 2 — ^(х — у)2. Это функция
трех переменных х; у\ z с областью определения 0 ^ х — у ^ 2г.
11.1.3. Выразить площадь треугольника как функцию длин двух его сторон х и у при условии, что известен полу периметр треугольника р.
449
29-2361