Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7378

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 5857 58 > Следующая >>>

y/x(x+l)

dx =

y/x(x + \){y/x -jy/xTT)

dx =

y/x + y/x+ 1

(y/x + y/x 4- 1)(л/ж - y/x + 1)

= J

^ ^ (д^+х^

^ ^х = J xy/x + 1 dx — j y/x(x + 1) dx. Полученные

интегралы вычисляются без труда.

§ 5. Интегрирование тригонометрических функций

8.5.2. ln|tgf|+C. 8.5.3. ±ln ** I * *

4- С. 8.5.5.

. axctg

4- С.

8.5.6. С - i ctg4 х - ctg2 ж + In | tg x\. 8.5.8. ± cos3 ж - cos x 4- С.

8.5.9. -4

X5— 4-С. 8.5.11. |® 4- т sin 2® 4- i sin 4® 4-С.

sinx

3sin

8.5.12.

|® - i sin 4® + С. 8.5.14. С -

^ cos 6® -

i cos 2®.

8.5.15.

1 sin x - i sin 2x 4- C. 8.5.17. С -

- In | sin x\. 8.5.18. tg x - x + C.

8.5.19. In

t g f + 1

4- C. 8.5.20.

T + c. 8.5.21. § arctg 5 t g

2 + 4

4- C.

t g f - l

8.5.22

1 - t g -

.5.22. ln(2 4- cos x) 4- -4= arctg

+ c- 8.5.23.

arctg 3 t g J _ + 1

4- C.

8.5.24

.5.24. i (ln|tg 11 4- J tg2 | 4- 2 tg |) 4-C. 8.5.25. ± axctg(3 tg®) 4- C.

8.5.26. ± arctg (|tg®) 4-C. 8.5.27. 1 axctg

4- C.

8.5.28. —

x — ctg® 4- С. Указание. Сделать подстановку t = ctg®.

8.5.29. С

cos5 x 4- I cos3 x - cos®. 8.5.30.

1 sin9 x - % sin7 x 4- i sin5 x 4- C.

8.5.31.

+ c.

8.5.32. С - sin®

- ^^ +

± lnl j + s l n * I.

5cos5x

11-sin® |

8.5.33.^r® - i sin 2® 4- щ sin 4® 4- i sin3 2® 4- C.

8.5.34.i® - i sin 4® 4- ^ sin3 2® 4- C. 8.5.35. ylg (3® - sin 4® 4- | sin 8®) 4-C.

8.5.36. i sin 2® - I sin 4® 4- C.		8.5.37. 2 cos f - \| cos	Iz	4- C.
4	о	4 о	Iz

8.5.38.| sin 4® + 1 sin 2® 4- C.

8.5.39.i Q sin 3® 4- i sin 7® + sin ® 4- g sin 9®) 4- C.

8.5.40.C- ictg5 ® 4- gctg3® - ctg® - ® . 8.5.41. | tg3 | - 2 tg | 4-® 4- C.

8.5.42.| tg6 ® - i tg4 ® 4- | tg2 ® 4- In | cos ®| 4- C.

560

Глава 9. Определенный интеграл

§ 1. Приемы вычисления

9.1.3. тг2. 9.1.4.		9.1.5. iln7. 9.1.6. 5 1 n 2 - l . 9.1.7. 2л/ё - 1 . 9.1.8.
9.1.9. ilnl3 . 9.1.10.		9.1.11. 4. 9.1.13. 0. 9.1.14.
9.1.15. л/3 - 1 -	12	9.1.16. -Ш	9.1.17. ± 9.1.18. 1. 9.1.19.	о
		12U	О
9.1.21. 1п\|. 9.1.22.		I n f . 9.1.23. 12 + 91пЗ. 9.1.24. axctg0,08.		9.1.25. ln±§.

9.1.27.9.1.28. In 2. 9.1.29. ^ - i ln 2. 9.1.30. 1 - cos 1.

9.1.31.	^ ~ ТКЗ' 9 Л ' 3 2 ' ^		1 п	3 + 2 2 ^	. 9.1.33.	1 ~ 2 l n 2	. 9.1.34.
9.1.35.	2 0 л / / \| ~ 2 4	. 9.1.36. 2.	9.1.37. л/3 - 1 + ln			9.1.38.		9.1.39. 1.

9.1.40.+ In л/2. 9.1.41. Ответ не верен, т.к. противоречит свойству 7.

9.1.42. 0. 9.1.43. а) второй; б) первый; в) второй; г) первый. 9.1.44. а) < 0; б) > 0. 9.1.45. Нет. 9.1.47. 1п|. 9.1.48. ±. 9.1.49. |ln|. 9.1.50. 31n3.

9.1.53.	45		9.1.54. Щ. 9.1.55. Щ. 9.1.56.									4 + 2 v ^			. 9.1.57. 1п2 -			о
	45				о		25							5				о
9.1.58. \|±тг. 9.1.60. 21п(Зл/2 — 3). 9.1.62. \| +															9.1.63. 2LZL2.
9.1.64. \|		-	i. 9.1.65.			1 ~ 2 l n 2			. 9.1.66.		5. 9.1.67. 2л/3 - \|тг. 9.1.68. 1п2.
9.1.69. 1п\|. 9.1.70.							9.1.71. \|тг-л/3. Указание. х = 4sin2*. 9.1.72.
9.1.73. 3.		9.1.74.				- axctg л/7. 9.1.75.								9.1.76. ±\|\|. 9.1.77. ^ •
9.1.78. 30 In \| - 6 . 9.1.79. 2±. 9.1.80. х = 2. 9.1.81.																9.1.82. а) нет; б) нет.
9.1.83.	50.	9.1.84. Разрыв при t = 0.									9.1.87. - 1 . 9.1.88. 7 г - 4 + 61п2.
9.1.89.	6 е ~		1 6	. 9.1.90. 24In2 — 16.						9.1.92. Щ. 9.1.93. ^ Г 8							.
		е									2					4
9.1.94.	^	- 1п(1 + л/2). 9.1.96. fj								+	yg " §•			9.1.97.		- 6.
9.1.98.	A	-	т 4 -		+ - 4 - . 9.1.99. 2тг-4. 9.1.100. 1п2 +											6		9.1.101.	^
	1пЗ			In	3	In	3									6			25
9.1.102.			+			- тг - 21n2. 9.1.103. 2е2 - 2.
9.1.104. ^1 п 3 2 ~7 Г					+ 2 V \|		^	9.1.105.			2 л / / \| + 2		. 9.1.106. \| -					9.1.107. 2.
																			561

36 - 2361

9.1.108.	4Е3 + 2. 9.1.109.	9.1.110. « У * + Ь(1 + ^2)).
9.1.111.	У + 1 9.1.112. ТГЛ/2 - 4. 9.1.113. 0. 9.1.115. 0.

§ 2. Несобственные интегралы

9.2.2.9.2.3. i. 9.2.4. Расходится. 9.2.5. Расходится. 9.2.7. Расходится.

9.2.9.In2. 9.2.11. 9.2.13. Расходится. 9.2.14. ln(2 + у/Ъ). 9.2.15.

9.2.16. Расходится. 9.2.17. - 1 . 9.2.18.

9.2.19. 4. 9.2.20. Сходится.

9.2.21. Расходится. 9.2.22. Сходится. 9.2.23. Сходится. 9.2.24. Расходится.

9.2.25.Сходится. 9.2.26. Расходится. 9.2.27. Расходится. 9.2.28. Сходится.

9.2.29.Сходится. 9.2.30. Сходится. 9.2.31. Сходится. 9.2.32. Расходится.

9.2.33.Сходится. 9.2.34. 9.2.35. i. 9.2.36. 2 п 2 4 ^ 9.2.37. | +

9.2.38.^подстановка t = х — 9.2.39. 0. 9.2.41. Указание. Сравнить

е~х2 и e~2 x + l . 9.2.42. Сходится Q = f). 9.2.43. Сходится.

Указание. Сравнить f = е - • ( i - v ) с ср(х) = е х . 9.2.44. Расходится (Inх = t). 9.2.45. Нет никаких значений а. 9.2.48. Расходится. 9.2.49. — j.

9.2.50. Расходится. 9.2.52. 2у/2. 9.2.53. Расходится. 9.2.54. 6. 9.2.56.

9.2.57. Сходится. 9.2.59. тг. 9.2.60. Сходится. 9.2.61. Расходится.

9.2.62. Расходится. 9.2.63. Расходится. 9.2.64. Расходится. 9.2.65. - i l n 2 e . 9.2.66. Расходится. 9.2.67. | - arctg y/l. 9.2.68. 2тг. 9.2.69. Расходится.

9.2.70. Сходится. 9.2.71. Расходится. 9.2.72. Расходится.

9.2.73. Расходится. 9.2.74. Сходится. 9.2.75. Сходится. 9.2.76. Сходится. 9.2.77. ПРИ а < расходится при а ^ 1. 9.2.78. Расходится.

9.2.79.Расходится. 9.2.80. Jn = ( - 1) п • п! 9.2.81. - f i n 2. 9.2.82. Сходится.

9.2.84.Сходится при а < 1; расходится при а ^ 1.

§ 3. Приложения определенного интеграла


9.3.2.	Ц-.	9.3.3. тг - 1. 9.3.4.		1 -	9.3.6.	6 + 2 ^	. 9.3.7. 1. 9.3.8.
9.3.9.	36.	9.3.10. о	9.3.11. 8.	9.3.12. z 9.3.14. 2 - I				9.3.15. о - 241п z
9.3.16.		9.3.17.	9.3.19. бтг. 9.3.20. тг аЬ. 9.3.21.					9.3.22. 8тг.

9.3.23.9.3.24. | т г + М 9.3.27. 6,25тг. 9.3.28. |тг. 9.3.29. 2ZZL.

562


9.3.30. 2. 9.3.31.		9.3.32. бтга2. 9.3.33. \|тг. 9.3.34.						9.3.35. ±.
9.3.36. 4 + тг2. 9.3.37. \|(б + 7г - Зд/З). 9.3.38.							9.3.39. Зтга2.
9.3.40. 4тг - Зл/З. 9.3.41. \|тг. 9.3.42. 4§тг. 9.3.43.							9.3.44. \|тг - л/3.
		6		4			«	3 D
9.3.45. а2. 9.3.46. 1. 9.3.47. 41п2 - 1. 9.3.48.						9.3.49.		9.3.50. тг.
9.3.51. 2тг-	9.3.52.		Q	^.	9.3.53. 1 -	9.3.54. 13arcsin^ - 121п\|.

9.3.55.9.3.56. ^г. 9.3.57. 9.3.58. 18arcsin ± - 41n(l + у/2).

9.3.59.л/2 - 1. 9.3.60. 3. 9.3.61. 9 в 3 в в 2 . 8(тг + 4). 9.3.63. 4тг - бд/З.

9.3.64.тг. 9.3.65. 9.3.66. ^тг. 9.3.67. 1б(^| - л/з). 9.3.68.


9.3.69.	+ 1 + ^ 9.3.70.		9.3.71. \|а2. 9.3.72. ^		9.3.73.
9.3.74. тг. 9.3.75. \|а6. 9.3.76.		4	9.3.77. ^тга2. 9.3.78.		£ +	о
	о	4		о	У	о
9.3.79. а)	б) 0; в) 10. 9.3.80. Щ. 9.3.81. а = у/2. 9.3.83. А = -3; В —
любое число; С = 1; (оо). 9.3.84. Равны. 9.3.86. ^ ~ \ 1п(\/5 - 2).
9.3.87. (13л/Тз — 8)4 g 3 gg х +		1 ln g		9 . 3 . 8 9 . у/2 + I In	^/2 — 1		9.3.90.	И.
	У		2 5	2	^/2 — 1			3

9.3.91. ^(е — е- 1 ). 9.3.93. 8(л/2 + 1п(л/2 + 1)). 9.3.94. 1(6>/37 - ln(>/37 - 6)).


9.3.95.	9.3.96. 8. 9.3.97. 2тга. 9.3.98. 12д/3. 9.3.99.
9.3.100. л/2(е- 1). 9.3.102. л/2тг. 9.3.103. 28. 9.3.104. ^ +1п\|.
9.3.105. 5(тг\/1 + 4тг2 + ± 1п(2тг + \/1 + 4тг2)). 9.3.106. 12(2 - у/2).
9.3.107. 2(е% - 1 ) . 9.3.108.		9.3.109.	9.3.110. 8\/2-1. 9.3.111. ±1пЗ.
9.3.112. i (\/5 + iln(2 + у/5)У 9.3.113. In 7-			9.3.114. 2у/3 + \п(уД + 2).

9.3.115. ^(13л/13-8). 9.3.116. 4>/3. 9.3.117. Ютг. 9.3.118. 12. 9.3.119. 16. 9.3.120. 12. 9.3.121. Ау/2. 9.3.122. 26sh||. 9.3.123.

9.3.124. \|	+ In 2^. 9.3.125. 2у/2. 9.3.126. 2у/3. 9.3.127. 2тг - 2 arctg 2.
9.3.128. 4л/3 axctg		+	- l ) . 9.3.129.	9.3.130. \| + 2 ln(>/2 + 1).
9.3.131.	9.3.132.	-	§). 9.3.133. 2е* - 2. 9.3.134. In
9.3.135. i ( 5 + ^ l n ( 2 + v/3)).			9.3.136. 3™.

563

9.3.137. 2тгл/1 + 4тг2 + 1п(2тг + лЛ + 4тг2). 9.3.138. ±(л/2 + ln(l + л/2)).

9.3.139. 16. 9.3.140. ^л/ГТЬ2. 9.3.144. \|тгЙ3. 9.3.145. ±тгД2Я. 9.3.146. 8.
	о				д	о
9.3.147. 8. 9.3.148. 8тг. 9.3.149. ^тг. 9.3.150. 54тг. 9.3.151. 24тг.
9.3.152. 24л/3тг. 9.3.153. ±/i(a2 + ab + Ь2). 9.3.154. ^ т г . 9.3.155. 24тг.
9.3.156.	9.3.157. 4QQ. 9.3.158. ^тг. 9.3.159. 135. 9.3.160.
9.3.161. 27тг. 9.3.162.		5	9.3.163.	24	9.3.164. 50. 9.3.170. Щп .
						7
9.3.171.	71-2 + 2?г. 9.3.172.		А§тг. 9.3.173. ЩЭтг. 9.3.174. 4тг2.
	2		оо		15

9.3.175. тг(Зтг + 4). 9.3.176. 4тг. 9.3.177. |тг. 9.3.178. |тга2Ь. 9.3.179. |тга2Ь. 9.3.180. 7 г 4 — I ) . 9.3.181. 2тг2. 9.3.182. 48тг. 9.3.183. 18тг. 9.3.184. 48тг.


9.3.185.	9.3.186.	9.3.187.		+ l). 9.3.188. ^тг.
9.3.189. \|(е2 - 1). 9.3.190. Щп . 9.3.191. \|тг. 9.3.192. ^тгR3.
9.3.193. \|тга3. 9.3.194.		9.3.195. \|тг. 9.3.196. \|тга3. 9.3.197. ^тг.
9.3.198. 21бтг. 9.3.199. \| R3. 9.3.200. 8. 9.3.201. ^тг. 9.3.202. 8тг.
9.3.203.	г. 9.3.204. \|тг. 9.3.205. 4тг2. 9.3.206.				-	9.3.207. тг.
9.3.208. \|(15 - 16In2). 9.3.209.			3 7 Г ^ "	. 9.3.210. тг2. 9.3.211.
9.3.212. 7г. 9.3.213. 7r(l -		тг. 9.3.214. ^тг. 9.3.215. Да.

9.3.220. утга2. 9.3.221. 1бтг2а2. 9.3.222. ^тг. 9.3.223. 2тг(л/2 + 1п(1 + л/2)).

9.3.224.	2nb(b + ^ arcsin ^ . 9.3.225. 2тга(а +	\|) • 9.3.226. 16тг2.
9.3.227.	4тг. 9.3.228. \|тг(2л/2 - 1). 9.3.229. тгЯл/Ж+Я2.

9.3.230. 7г(е - е"1 + 2). 9.3.231. ^ (л/Ш - ± 1п(л/Ш - 3)). 9.3.232. Ц-тга2.

9.3.233. тг(л/2 + 1п(1 + л/2)). 9.3.234. ^(2е4 - 5е2 - 1). 9.3.235. ±|£тгД2. 9.3.236. 2ю^2(е *_2). 9.3.237. ^ т г . 9.3.238. ^(97л/33* - 97 - вОл/ЗЗ3). 9.3.239. 640тг. 9.3.240. 8тг(2 - у/2). 9.3.241. |тг(2л/2 — 1). 9.3.242. 8тг2.

9.3.243.	+	9.3.244. тгл/2(2 -	9.3.245. Зтг.
9.3.246.	9.3.247. \|тг(3тг - 4). 9.3.248. ^тг. 9.3.250.		10 м; 1 м/с.
564

9.3.251. 37,5 м. 9.3.254. ±gyrrR2H2. 9.3.255. 10 см. 9.3.256. 60д « 588 Дж. 9.3.259. J291D3 . 9.3.260. j^gjab2. 9.3.261. а) « 1226 Н; б) « 613 Н. 9.3.265. 9.3.266. ^ ^ . 9 . 3 . 2 6 7 . о). 9.3.268. v0t -

9.3.269. 400 м. 9.3.270. ±gj7rR2H2 Дж. 9.3.271. ^gjHR3.

9.3.272. 1083,3± кН. 9.3.273. ^jgah2. 9.3.274. 36тг07 « 9,2 • 105 H. 9.3.275. Sx = Sy = ^Ц МХ = МУ= З7. 9.3.276. тгД3. 9.3.277. (|д, |д) .


9.3.278. ( 2 ^ a s i n f > 0 ) - 9 - 3 - 2 7 9 - m = f^2 ;		=	=	9.3.280. 8тг.
9.3.281. x(t) = ^ smut;	9.3.282. 11 м.; 8 м/с; 0 м. 9.3.283. 5 сек.; 75 м.
9.3.284. ±u2-ydha3. 9.3.285.	2c2ab = 6,28 • 106		Дж. 9.3.286.	Д5иЛ
9.3.287. 1тгД2Я2 (71 - \| 7 2 )	« 8519тг Дж. 9.3.288. и 54 мин.

Глава 10. Комплексные числа

§ 1. Комплексные числа, основные понятия. Геометрическое изображение комплексных чисел. Формы записи комплексных чисел


10.1.2. а) 5; тг; б) 2,3;				в)	л/2;	г)	л/10; - axctg 1. 10.1.4. а) -1 4 iy/3;
б)		4- г ^ . 10.1.5. а)		5;	- 5; 5л/2;		б) 2; 0; 2; 0.
10.1.6. а) 2			(cos (axctg 2) + г sin (axctg 2)); б) 2 ( c o s ( - \| ) +
в) 2001 (cos0 + isinO); r)				2 ( c o s ( - \| )		4 г s i n ( - \| ) ) . 10.1.7. а) 12e^;
б)	(л/3 — l)ei7r; в) 5e<("ctef-«-); Г)					ю.1.11. а) тг + 2тгЛ; б) £ + 2тгй.
10.1.12. а)			или -\|тг; б)		\|тг. 10.1.13. a)			5 ( c o s ( - \| ) + i s i n ( - \| ) ) и - 5;
б) 2(cos(—150°) 4- isin(—150°)) и -л/3 - г .
10.1.14. a) 5(cos(- axctg				4- г sin		axctg		= 5e"i a r c t g 5;
б) 3(coe(-10°)+fsin(-10°)) = Зе-<Л;						в) - ^ ( c o s 1 4 г sin 1) = -JL-e'.
10.1.15. а)			2 cos ll°(cos 11° 4 г sin 11°); б)				cos(\| - у) + isin(\|
в)			~ а) + г8т(тт — а)); г) 5 (cos g7r 4- г sin д^т)- 10.1.16. 2 и 1.
10.1.17. а) х = 4; у =				б) х = 4;		у =		10.1.21. п = г2;
(pi	=	4" 2/С7Г.

565

§ 2. Действия над комплексными числами

10.2.3. а)

-1 + 5г;

б)

Ю.2.4. а)

+ ^ г ; б) 0. 10.2.5. а) 32;

б) 32г. 10.2.6. a)

б) 4 - 4г. 10.2.9. - 1 . 10.2.10. 1. 10.2.12. а) х = 1

у = 2, б) 0. 10.2.13. а)

х =

у =

б) х = 2 + г; у = 2 - г. 10.2.14. -2 -

10.2.15. 512(1 - п/З).

10.2.16. ± ^ ( 1 + iy/3). 10.2.17. -1;

i ± г ^ .

10.2.19. Окружность (ж + I)2 + у2 = 4. 10.2.20. Полуплоскость у ^

10.2.21. а) 25; 0; б)

|. 10.2.22. a) zi = 0; z2 = - 1; *з,4

= \± ^ г ;

б) г = у/2 + 4г. 10.2.23. а)

- 32 - 32л/3г; б)

- 1 . 10.2.25. a)

= ^ - ±г;

= г;

- It; б) 2 • е ( " * +

Л = 0,1,2,3; в) 2 • е ^ +

к = 0,1, 2,3; г)

(cos

+ г sin

, к = 0,1,2,3,4.

10.2.26. а) л/65; б) 2у/Ш. 10.2.27. zi = 0; z2 = 1; z3,4 =

10.2.28. а) 2 ± 2г; б)

Ю.2.29. а)

б) 4(cos(2<p+

+tsin(2y>+

10.2.30. а) -л/2 + г\/б; б) - 12 + 0».

10.2.32.

-y/2i.

10.2.34. a)

cos4ж =

| + l c o s 2 x + lcos4x;

б) sin2 х = 1 -

I cos 2x.

10.2.35. a)

-2 + г;

-3 + г; б) ±2г; ±y/bг.

10.2.36. cosx+ isinz. 10.2.38. z =

y/l. 10.2.39. г = -4,8 + б,4г.

10.2.40. 216 • cos16

(cos 8<p -i sin 8^). 10.2.41. a) 0; аргумент не

определен; б) 64; — ^7г; в)

. ^

; — ?7г.

sin ^

10.2.42. sin

= 5 sin у? cos4 у? — 10 cos2 у? sin3 ip + sin5 ip.

^ • sin

• cos

ч sin

sin

zi,2 = ±i\

10.2.43. a)

; 6)

— . 10.2.44. a)

sin §

sin f

23,4 = 1

; 6)

zi,2 = ±1;

23,4

= ±г;

z5,6 = ±2; z7,8 = ±2г;

в) г = | - г.

10.2.45. (1; 1) и (—1; 1). 10.2.46. а) Конец радиус-вектора z перенести на вектор а(—3; 0); б) повернуть радиус-вектор точки z на угол ^ против

часовой стрелки; в) перенести конец радиуса-вектора точки z на вектор а(2; —1). 10.2.48. При х = у или х = —у. 10.2.49. а) Окружность \z\ = 1; б) нет таких точек. 10.2.50. а) 1; б) 1. 10.2.51. Да.

566

Глава 11. Функции нескольких переменных

§ 1. Понятие функции нескольких переменных. График и линии уровня функции двух переменных

11.1.3.S = у/р(р - х)(р - у)(х + у-р), 0 < х <р, 0 <у <р, х + у> р.

11.1.4.Функция неоднозначная; V = gxy(2R + y/R2 — х2 — у2), если центр

шара расположен внутри пирамиды; V = ^xy(2R — y/R2 — х2 — у2), если

центр шара расположен вне пирамиды; D = {(х, у) : 0 < х ^ 2R,

О	<у^ у/4 R2 -х2}. 11.1.5. V = \|/i(/2 - /i2), 0 < h < I. 11.1.7. а)						^ \
б >				^ - 1 1 . 1 . 8 . . ) - 2 . 6 )		в )
г)	^ ^ - Д ) 1 +		^ . е )	х2 - у2 + Щ. 11.1.10. f(x)		= y/T+&.
11.1.11. f{x\y) =		Х ^	^.	Указание. Обозначив и = х + у, v =			У-, определим
	1		~ту				X
* = гЫ'У = т Тогда				= (гт^ + (ГТ^ = ifef0 с т а е т с я
заменить и на х и v на у. 11.1.12. f(x) = х2					— х, a z = 2у — (х — у)2.
11.1.15. Полосы 2тгп < х < (2п + 1)7Г, 2/^0;					(2п + 1)тг < х < (2п + 2)тг, у ^ О,

где п — произвольное целое число. 11.1.16. Биссектриса II и IV координатных углов, у = —х. 11.1.17. Полоса:

11.1.18. Часть плоскости первой четверти, расположенная выше параболы

(х > 2	'	fx < 2	'
2/ > у/х (х ^ 0). 11.1.19. Две полуполосы: < ^		и <

11.1.22.Часть пространства над эллиптическим параболоидом.

11.1.23.Часть пространства, расположенная над гиперболическим параболоидом. 11.1.24. I, III, VI, VIII октанты системы координат Oxyz, не включая границу. 11.1.25. Полупространство, ограниченное плоскостью

х+ у + z = 1, и содержащее начало координат. 11.1.27. Линии уровня — прямые х + у = с, а график функции — это плоскость. 11.1.28. Линии уровня — равносторонние гиперболы ху = с, с > 0 (они расположены в первой

итретьей четверти плоскости). График функции — конус. 11.1.29. Линии уровня — равносторонние гиперболы. 11.1.30. Линии уровня — прямые линии, параллельные прямой х + у + 1 = 0. 11.1.32. Плоскости, параллельные плоскости х + у + z = 0. 11.1.33. Концентричесие сферы радиуса у/й, и > 0, с центром в начале координат; начало координат 0(0; 0; 0) при и = 0. 11.1.34. Однополостные гиперболоиды с осью Oz, если и > 0 или двухполостные гиперболоиды при и < 0, если же it = О, то х2 + у2 — z2 = 0 —

конус. 11.1.35. а)	- J ± \| ; б)	f +f	- J ± \| ;
у + х	У х	(у + х ) ху	У х

567

в)	+	г)	-	11.1.36.	при R2	# 10.
х +у	У~х	(х2 + у2)х	Х-у	10	-R2	г
11.1.37. а) х4 - 2х2у2 + 2у4; б) 4х2у2. 11.1.39. a) cos2x; б) cos(x2 - у2).
11.1.40. Две полуполосы D = {(х\у) £ R2				: \у\ ^ 1, \|х\| < 1}. 11.1.41. Кольцо
22 ^ х2 4- у2 ^ З2. 11.1.42. Полузамкнутое кольцо 1 < х2 4- у2 ^ 16.
11.1.43. Внешность двух окружностей с уравнениями
~	~	= \ и 0е	+ (у	= \ С и с к л ю ч е н н о й точкой

0(0; 0). 11.1.44. Область, заключенная между параболами у — 1 — х2 и 2/ = х2 - 1. Формально, D = {(х; у) G R2 : у ^ 1 - х2, у ^ х2 - 1}.

11.1.45. D = {(х;у) : ^ 1} — два вертикальных угла, ограниченных прямыми у = х и у = —х и содержащих ось Оу. 11.1.46. D — область

I!х + "Г	i • п л - 4 7 -cos(x2+f2) >0	0 <*2+у2 < f>
(Jx - 1) 4- 2/	> 1.	z
2ктг - \| < х2	+ у2 < 2тгАт 4- к = 1, 2,3,... (рис. 134). 11.1.48. Первый

Рис. 134

октант х ^ 0, у ^ 0, z ^ 0. 11.1.49. Часть пространства между двумя концентрическими сферами радиусов г и R с центрами в начале координат. 11.1.50. О ^ х2 + у2 Ц z2. 11.1.51. а) -( х - 2 ) И+U/ + 3)а ;

( х - 2 ) * + (у + 3)а +

(х — З)2

+ (3/ + 2)z ' В) х*+у*~ 4;

Г) (х*

- 2у)(х + 2)5

п\

„ч

_ч

л/4

—:—2

ж / —;—2

•—2

-х2-у

Ду

3") е / —2

:—5

)

3 /

Sin

7ГХ 4" 2/

4- Sin

пу

Sin

7ГХ 4- sin

7ту

v—2/

и)

к)

Л)

УАх-у2 .

у/А-х2 -у2'

' у/х2

+ (у —

З)2 — 9'

а / у - х + 4'

м)

-J

- +

/ 1

+ - J

• 11.1.52. а) /(х) = sinx,

у у

у/Ах —у2

у/ху — А у/ъ — ху

д(х) = cosx;

б)

<;(х) = cosx, д(х) = sinx;

в)

/(х) = tgx; г)

/(х) = ех.

11.1.54. z = u8\nv, - § < * > < § •

11.1.55.

-1 < 3 х - 2 у ^

568

§ 2. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке и на множестве

11.2.6. 0. 11.2.7. Не существует. 11.2.8.	2	11.2.10. 0.
	11.2.9.

11.2.12.0. 11.2.13. 0. 11.2.14. In 2. 11.2.17. 0. 11.2.18. 0. 11.2.19. 0.

11.2.20.—4. 11.2.22. Функция непрерывна в данной точке.

11.2.23. Непрерывна. 11.2.24. Непрерывна. 11.2.26. /(1; 2) = 0. 11.2.27. /(1; 1) = 0. 11.2.28. /(0; 1) = -12. 11.2.29. /(0; 4) = ±.

11.2.30./(0; 0) = 0. 11.2.34. х = 0, у = 0 — точка разрыва. В окрестности этой точки f{x\y) бесконечно малая. 11.2.35. Мо(0; 0) — точка разрыва. В окрестности этой точки f(x;y) бесконечно большая. 11.2.36. Функция разрывна во всех точках прямой х — у = 0. В окрестности каждой точки прямой f(x;y) — положительная бесконечно большая функция.

11.2.37.Функция разрывна в каждой точке параболы у = х2. В окрестности

ееточек f(x\ у) — бесконечно большая разных знаков с разных сторон параболы. 11.2.38. -10. 11.2.39. 0. 11.2.40. i. 11.2.41. е3. 11.2.42. 0.

11.2.43.0. 11.2.44. S. Ц.2.45. - i . 11.2.46. 1. 11.2.47. е2.

§3. Частные производные. Полный дифференциал. Линеаризация функций

11.3.2.Axz = 0,42, Ayz = -0,2, Az = 0,178. 11.3.3. Axz = 0,0031,

Ayz = 0,0006, Az = 0,0063. 11.3.4. Axz = 0,04, Ayz = 0,04, Az = 0.

11.3.5. 1,31. 11.3.6. 0,2109. 11.3.7. 0,33. 11.3.8. 0,0187. 11.3.11. z'x = 2xe*2+y2, z'y = 2yex 2 + y 2 . 11.3.12. u't = 5*4sin32, u'z = 3t5 sin2 z cos z.

11.3.13.v'x = 4z3cos2 у - 15ж4у4 sin2 x5 • cos ж5, v'y = -z4 sin2y - 4y3 sin3 x5.

11.3.14.zx = 2x cos 2xy — 2yx2 sin 2xy — y2 cos(x + t/),

z'y = —2x3 sin 2xy — 2у sin(a; + y) + y2 cos(x + y).

11.3.15. ux =yxy~1 +yzzxz~l +yzxy\nz, u'y = xy In ж + xzzyz~l +xzxy\nz, u'z = (xy)z 1п(ж • у) + xyzxy~1. Указание. Следует заметить, что здесь имеем дело по существу с двумя формулами: для производной степенной и показательной функций. 11.3.19. 1,08. 11.3.20. 3,185. 11.3.21. 0,227. Указание. От градусов следует переходить к радианам (числам). Тогда

= = Ах = —2° = Ау = 1° = Щ). Везде принимать 7г = 3,14 и

производить соответствующие расчеты. 11.3.23. 0,82. 11.3.24. 3,037. 11.3.25. -0,03. 11.3.27. 108,972. 11.3.28. 1,054.

11.3.29. dz = Шу(Ьх2у - у3 + l)2dx + Ъ(Ьх2у - у3 + 7)2(5х2 - 3y2)dy.

11.3.30. dv =	л * л du	л и о dt.
	и + Г	и	+ Г
11.3.31. л = (уу -			+	+
11.3.32. ^ =	—^dx -	у	2x2xdy.
	у sin —	у	sin —

УУ

569

<<< < Предыдущая 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 5857 58 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.05.2015127.16 Кб22с 31-по 61.docx
#
13.08.20191.21 Mб4самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб33Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб4СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
19.11.2019148.99 Кб4сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7378Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб18Сбытовая политика.doc
#
03.05.2015220.67 Кб18СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб1сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx
#
29.08.2019365.57 Кб8селекция витька.doc