- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
Напомним сначала, что корень характеристического многочленаназывается корнем кратности если
Полезно заметить, что если полином имеетразличных корней(– степень многочлена), то все они имеют кратностьОднократные корни называют еще простыми корнями .
Записав для многочлена формулу Тейлора
(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности, топредставляется в виде
где – многочлен степенитакой, чтоОчевидно, верно и обратное: еслипредставляется в виде (7) , где то–- корень кратностимногочлена
Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.
Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентамито имеет место формула
Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество пои учитывая, что операторыиперестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой поифункции, будем иметь
Таким образом, справедливо тождество (8).
Пусть– корень кратностихарактеристического многочленауравнения (21.26) с постоянными коэффициентамиТогдафункций
линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).
Доказательство.Пусть–- любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству. Согласноимеет место тождество
где (см.). Имеем
Полагая в последнем тождестве , будем иметь
Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждениепредыдущей лекции). Свойстводоказано.
Если – комплексный корень кратностиуравненияс постоянными и действительными коэффициентами, то отделяя в (9) действительные и мнимые части, получаемлинейно независимых действительных решений
Из этого факта и предыдущих утверждений вытекает следующий алгоритм построения фундаментальной системы решений однородного уравнения (1) с постоянными и действительными коэффициентами .
Алгоритм 1.
1) По уравнению (1) составляем характеристическое уравнение , заменив в (1) производныена степени().
2) Найдем корни характеристического уравненияи установим их кратности.
3) Каждому действительному корню кратностипоставим в соответствиелинейно независимых решений
4) Каждой паре комплексно-сопряженных корней кратностисопоставимлинейно независимых решений
5) Объединим все полученные линейно независимые решения. Получим фундаментальную систему решений уравнения (1), состоящую из функций (– порядок уравнения (1)).
Общее решение уравнения (1) имеет вид
где – построенная в алгоритме 1 фундаментальная система решений, а–- произвольные постоянные.
Пример 2.Найти общее решение уравнения
Решение. Составляем характеристическое уравнение, находим его корни и устанавливаем их кратности:
Согласно алгоритму 1 выписываем линейно независимые решения, отвечающие каждому корню:
Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид