3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Общие понятия. Начальная задача (задача Коши) и теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решения (интегралы) дифференциального уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными

В элементарной математике в основном рассматриваются алгебраические уравнения. Корнями (или решениями) таких уравнений являются, как правило, числа. В линейной алгебре мы имели дело с системами уравнений, решениями которых совокупности чисел (векторы). После изучения дифференциального и интегрального исчисления резонно рассмотреть уравнения, содержащих в качестве неизвестных не числа, а функции. Простейшим примером такого уравнения является следующее: Здесь решением является такая функцияпроизводная которой совпадает с известной функциейЭту функцию, как известно называется первообразной дляОна имеет видЭто и есть решение уравнениякоторое называется дифференциальным уравнением. Перейдём к рассмотрению таких уравнений.

1. Общие понятия

Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знак производной или диффе-ренциала, называется дифференциальным уравнением. Например,

Если неизвестная функция зависит только от одной переменной, то соответствующее уравнение называется обыкновенным уравнением (таковыми являются уравнения 1-3). Если же она зависит от двух и более переменных, то соответствующее уравнение называется уравнением в частных производных (таковым является уравнение 4).

Здесь рассматриваются только обыкновенные уравнения. Они часто встречаются на практике. Например, уравнение выражает собой второй закон Ньютона, а уравнениеописывает вынужденные колебания линейного осциллятора (точкой обозначено дифференцирование по).

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок входящей в него производной неизвестной функции или её дифференциала. Например, уравнения 1 и 3 – дифференциальные уравнения первого порядка, а уравнение 2 – уравнение го порядка.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, его частное и общее решения (интегралы). Теорема Коши существования и единственности решения начальной задачи. Геометрический смысл дифференциального уравнения. Метод изоклин

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

где неизвестная функция.Областью определения уравнения (1) называется множество

Определение 1. Функция называется решением уравнения (1) на отрезке¹если выполнены следующие условия:

1) точка

2) функция дифференцируема на отрезкеи имеет место тождество

График решения называетсяинтегральной кривой уравнения (1). Например, функция является решением уравненияна всей числовой оси(проверьте это!). Часто вместо слов “ решить уравнение” говорят “проинтег-

рировать уравнение”.

Пусть – область определения уравнения (1). Тогда в каждой точкемы можем построить векторПоскольку угловой коэффициент интегральной кривойв фиксированной точкеравенто векторкасается в точкеинтегральной кривой. Важно заметить, что саму интегральную кривую можно и не знать, а векторвсегда известен. Таким образом,уравнение задаёт в своей области определения множество векторовкоторое называют векторным полем (или просто полем) дифференциального уравнения (1). В этом и состоит геометрический смысл уравнения (1).

В связи с этим задачу интегрирования дифференциального уравнения (1) можно свести к построению кривых, касающихся в каждой своей точке векторного поля На такой интерпретации уравнения (1) основан геометрический метод решения, называемыйметодом изоклин. Поясним его смысл.

Определение 2. Кривая задаваемая уравнениемназываетсяизоклиной уравнения (1).

Из геометрического смысла уравнения (1) вытекает, что все его интегральные кривые в произвольной точке изоклины имеют касательные векторы одного и того же наклона (см. рис.1). Построив довольно густую сетку изоклин (с различными постоянными) и изобразив на них векторы мы, двигаясь от фиксированной точки с изображённым на ней векторомпроводим эскиз кривой, которая коснётся векторана следующей ближайшей изоклине, и т.д. В результате будет нарисована приближенная интегральная кривая уравнения (1) (на рис. 1 изображены не сами векторы, а их небольшие отрезки).

Рассматривая уравнение видим, что оно имеет бесконечное множество реше-

ний гдепроизвольная постоянная. Такая ситуация имеет место для любого дифференциального уравнения. Для выделения конкретного решения надо задать вместе с равнением (1) ещё так называемоеначальное условие означающее, что прирешениедолжно иметь значениеПолученная задача называетсяначальной задачей или задачей Коши и её кратко записывают так:

Геометрически задача Коши означает, что среди всех интегральных кривых уравнения (1) надо найти ту, которая проходит через заданную начальную точку (см. рис. 2). В каком случае задача Коши (2) имеет решение и будет ли оно единственным? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении, которое мы даём без доказательства.

Теорема Коши (существования и единственности решения начальной задачи). Пусть в уравнении (1) правая часть и её частная производнаянепрерывны в области определенияуравнения (1). Тогда какова бы ни была начальная точка

лежащая внутри области существует числотакое, что начальная задача (2) с указанной начальной точкойимеет на отрезкерешениеи это решение единственно на этом отрезке.

Геометрически это означает, что при выполнении условий теоремы Коши существует окрестность начальной точки в которой содержится лишь одна интегральная кривая уравнения (1), проходящая через точку(см. рис. 3) . Сделаем два замечания.

Замечание 1. Теорема Коши носит достаточный характер. Это означает, что при выполнении её условий решение задачи (2) обязательно существует и единственно. Однако решение может существовать и тогда, когда не выполняются условия этой теоремы. Правда, в этом случае не гарантируется единственность решения. Например, задача Коши имеет два решения:и

В этой задаче правая часть не удовлетворяет условиям теоремы Коши: в окрестности начальной точкичастная производнаяне существует.

Замечание 2. Теорема Коши носит локальный характер. Это означает, что при выполнении её условий существование решения гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки (число вообще говоря, достаточно мало̀).

Перейдём теперь к описанию частного и общего решений и интегралов.

Определение 3. Частным решением уравнения (1) называется решение какой-нибудь его фиксированной задачи Коши (2), а частным интегралом этого уравнения называется

частное решение записанное в неявной форме

Например, функция является частным решением уравненияа соотношение– частным интегралом того же уравнения.

Определение 4. Общим решением уравнения (1) в области (область определения уравнения (1)) называется функция удовлетворяющая следующим требованиям:

1) какова бы ни была допустимая постоянная функцияявляется решением уравнения (1) на некотором отрезке

2) какова бы ни была начальная точка существует значениепостоянной такое, что функцияявляется решением задачи Коши (2) с этой начальной точкой.

Общим интегралом уравнения (1) называется общее решение, записанное в неявной форме

Чтобы проверить, будет ли соотношение общим интегралом уравнения (1), надо из системы уравнений

исключить постоянную Если при этом будет получено дифференциальное уравнение (1) (или эквивалентное ему уравнение), то– общий интеграл уравнения (1).

Пример 1. Проверить, что соотношение является общим интегралом уравнения

Решение. Составляем систему (3) и исключаем постоянную

Получено данное дифференциальное уравнение, значит, – его общий интеграл.