
- •3 Семестр (часть 1). Дифференциальные уравнения
- •1. Общие понятия
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения
- •1. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной
- •2. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Вронскиан. Исследование линейной независимости с помощью вронскиана
- •3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения
- •Лекция 4. Общее решение неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Построение фундаментальной системы решений
- •1. Структура общего решения неоднородного уравнения. Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •2.Метод вариации произвольных постоянных Лагранжа
- •3. Комплексные решения дифференциальных уравнений. Линейная независимость комплексных решений
- •Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений
- •1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения
- •2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения
- •3. Построение общего решения неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения неоднородного уравнения
- •Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
- •1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
- •2. Предел и непрерывность функции комплексной переменной
- •Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции
- •2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной
- •Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции
- •2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши
- •3. Первообразная функции комплексных переменных
- •Лекция 9. Ряды в комплексной области. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Лорана
- •1. Степенные ряды. Ряды Тейлора и Лорана
- •Лекция 10. Изолированные особые точки. Ряды Лорана для функций, аналитических в кольце
- •1. Разложение функции в ряд Лорана
- •2. Нули аналитической функции и их связь с полюсами
- •3. Вычеты. Теорема Коши о вычетах
- •Лекция 11. Вычисление вычетов и применение теории вычетов для вычисления контурных и несобственных интегралов
- •1. Вычисление вычетов
- •2. Вычисление интегралов
- •Лекция 12. Преобразование Лапласа и его свойства. Применение к дифференциальным уравнениям
- •Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия
- •1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость
- •2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений
- •Лекция 14. Системы линейных дифференциальных уравнений
- •1. Глобальная теорема разрешимости начальной задачи для линейной системы дифференциальных уравнений
- •2. Линейная зависимость и линейная независимость системы произвольных вектор-функций и решений однородной системы уравнений
- •3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы
- •4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
- •Лекция 15. Построение фундаментальной матрицы решений дифференциальной системы с постоянной матрицей. Метод Эйлера.
Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними
Комплексные числа и действия над ними
были определены ранее (см. лекцию 4).
Напомним их. Комплексными числаминазывают числа видагде
и
– действительные числа,
мнимая единица (
).
При этом число
называется действительной частью,
а число
– мнимой частьюкомплексного числа
.
Число
называется сопряженнымк числу
а неотрицательное число
называется модулемчисла
.
Множество всех комплексных чисел
обозначают буквой
.
P1.eps Каждому комплексному числу
соответствует единственная точка
на плоскости
или радиус-вектор
этой точки. При этом ось
называется действительной осью, с
ось
– мнимой осью. Сама плоскость
называется комплексной плоскостью;
ее тоже обозначают буквой
.
Угол
называется аргументомкомплексного
числа
.
Ясно, что аргумент определяется
неоднозначно. Главным значениемаргумента называется угол
лежащий в пределах
(или в пределах
).
Главное значение аргумента обозначается
так:
.
Из рис. 1 видно, что
Значит, комплексное число можно записать
еще в виде
Эта форма называется тригонометрической
формойчисла
,
а его первоначальная форма
–алгебраической формой комплексного
числа
.
Если воспользоваться формулой Эйлера
то
можно получить еще одну форму комплексного
числа
называемую показательной формойчисла3
Два
комплексных числа называются равными,
если равны одновременно порознь
действительные и мнимые части этих
чисел, т.е.
Действия над комплексными числами определяются равенствами:
Умножение комплексных чисел (и их деление) лучше производить в тригонометрической форме:
(эти формулы легко получить, используя равенства 1–2). Отсюда вытекает следующее равенство
Действительно, применяя первую из
предыдущих формул
раз, будем иметь
1. Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости
Равенство (1) называется формулой
Муавра. Используя его, можно вывести
формулу извлечения корняй
степени из комплексного числа. Однако
для этого надо ввести сначала понятие
корня.
Определение 1. Корнемй
степени из комплексного числа
называется такое комплексное число
я
степень которого равна
Обозначение:
Таким образом,
Пусть
Имеем
(при
)
Значит,
Изменяя
здесь
видим, что различные значения корня
й
степени получаются при
Дальнейшее изменение
привело бы к уже полученным значениям
Если же
то,
очевидно,
Мы доказали следующий результат.
Теорема 1.Если
то
корень
имеет ровно
различных значений:
Если
то
имеет
только одно значение, равное нулю.
Например,
Приведем примеры простейших множеств точек на комплексной плоскости:
а)
–
окружность с центром в точке
радиусом
;
б)
–
открытый круг с центром в точке
радиусом
;
в)
–
внешность открытого круга с центром в
точке
радиусом
;
г)
– открытое кольцо с центром в точке
;
д)
– луч с началом в точке
,
идущий под углом
к положительному направлению действительной
оси;
е)
– внутренность неограниченного открытого
сектора с вершиной в точке
и углом
;
ж)
– прямая, параллельная мнимой оси,
проходящая через точку
;
з)
– прямая, параллельная действительной
оси, проходящая через точку
и)
вертикальная
полоса между прямыми
и
к)
горизонтальная полоса между прямыми
и
Рекомендуем сделать рисунки всех перечисленных множеств. В качестве упражнения попробуйте записать аналитичеcки (в виде уравнений или неравенств) приводимые ниже множества на комплексной плоскости.
Рис. 2
Понятие окрестности точки вводится также, как и в действительном анализе.
Определение 2.
окрестностью точки
называется открытый круг
с центром в точке
радиуса
Проколотой
окрестностью точки
называется множество
Определение 3. Точканазываетсявнутренней точкой множества
если она входит в
вместе с некоторой своей окрестностью.
Если все точки множества
внутренние, то
называетсяоткрытым множеством.
Определение 4. Точканазываетсяграничной точкой множества
если в любой окрестности этой точки
имеются как точки, принадлежащие
так и точки, не принадлежащие
Множество всех граничных точек
образуетграницу
Обозначение:
Определение 5. Множество
называетсясвязным,если любые
две его точки можно соединить непрерывной
кривой, не выходя из
Множество
называетсяодносвязным,если
любой замкнутый контур, лежащий в
можно стянуть в точку, не выходя из
И, наконец, множество
называется
связным,
если его граница
состоит из
попарно не пересекающихся между собой
замкнутых контуров.
Определение 6. Любое открытое
связное множество называетсяобластью.
Областьназываетсяограниченной, если
существует круг, охватывающий область
В противном случае область
называетсяне ограниченной.
Пусть
и
две области на комплексной плоскости
причем
находится в плоскости
а
в плоскости
Определение 7.Говорят, что задана
функцияотображающая область
в область
если каждому числу
поставлено в соответствие одно или
несколько комплексных чисел
по закону
При этом
называетсяобластью определенияфункции
Если каждому
поставлено в соответствие единственное
число
то говорят, что функция
однозначна;
в противном случае функция
многозначна. Функция называетсяоднолистной в области
если
Например, функция
однозначная, но не однолистная, а функция
трёхзначная. Функция
однозначная и однолистная.
Поскольку каждое комплексное число
вполне определяется своей действительной
и мнимой частью, то функцию
комплексной переменной можно записать
в виде
Например, функцию
можно записать в указанном виде, если
в ней выделить действительную и мнимую
части:
Здесь
Частные типы комплексных функций:
а) комплексная последовательность:
б) комплексная функция действительного
аргумента:
С последней функцией мы встречались в
главе 4 при рассмотрении комплексных
решений дифференциальных уравнений.
Такие функции часто используются при
задании кривых в комплексной плоскости.
Например, уравнение
описывает уравнение окружности в
плоскости
радиуса
и с центром в точке