Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Маткад лекции. ВМ-2.pdf
Скачиваний:
78
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Оглавление

 

Лекция 1. Основные понятия: решение и интегральная кривая, порядок уравнения, общее

 

решение (множество всех решений) и частное решение. Дифференциальные уравнения первого

порядка. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения..........

3

Лекция 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Задача Коши. Теорема существования

и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл. Методы понижения

порядка дифференциального уравнения ...........................................................................................

14

Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения.

 

Пространство решений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Структура

общего решения. Определитель Вронского. Условия линейной независимости решений

 

однородного линейного дифференциального уравнения ................................................................

19

Лекция 4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.

 

Принцип суперпозиции решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных .............

24

Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод

 

Эйлера решения однородных уравнений. Метод подбора неоднородных уравнений ...................

29

Лекция 6. Комплексные числа, последовательности комплексных чисел........................................

33

Лекция 7. Функции комплексной переменной. Предел. Непрерывность. Дифференцирование

 

функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции комплексной переменной 41

Лекция 8. Ряды с комплексными числами. Степенные ряды. Элементарные функции комплексной

переменной.........................................................................................................................................

51

1

Лекция 9. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.

 

Интеграл от аналитической функции. Формула Ньютона-Лейбница ................................................

55

Лекция 10.

Интегральная формула Коши. Интегральная теорема Коши. Теоремы Морера и

 

Лиувилля. Разложимость аналитической функции в степенной ряд . Ряд Тейлора ..........................

61

Лекция 11.

Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки однозначной

 

аналитической функции. Вычет в изолированной особой точке.......................................................

67

Лекция 12.

Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов................................................

71

Лекция 13.

Основные понятия операционного исчисления. Преобразование Лапласа, его свойства

.............................................................................................................................................................

 

73

Лекция 14. Обращение преобразования Лапласа (формула Меллина). Восстановление оригиналов по известным изображениям. Решение дифференциальных уравнений операционным методом 78

Лекция 15. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Структура общих решений однородных и неоднородных 86

Лекция 16. Автономная нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений.

 

Фазовые траектории, фазовый портрет. Понятие об устойчивости точки покоя системы ...............

92

2

Лекция 1. Основные понятия: решение и интегральная кривая, порядок уравнения, общее решение (множество всех решений) и частное решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения

Основные понятия.

Совокупность двух или более дифференциальных уравнений, рассматриваемых совместно, называется системой дифференциальных уравнений. Такова, например, система

ì&&x = F1 (x, y, x&, y&, t),

í

î&&y = F2 (x, y, x&, y&,t),

являющаяся математическим выражением второго закона Ньютона, описывающая движение материальной точки массыm в плоскости ХОУ под действием внешней силы F = {F1 , F2 }. Здесь неизвестные функцииx(t) и y(t) являются соответственно абсциссой и

ординатой материальной точки в момент времени t.

 

 

Приведенные

примеры

показывают, что

обыкновенные

дифференциальные

уравнения имеют широкие приложения в прикладных науках, поэтому их изучение весьма актуально. Начнем это изучение с уравнений первого порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

 

 

dy

= f (x, y)

(1.1)

 

 

 

dx

Здесь x – независимая

первого порядка, разрешенное относительно производной dy / dx.

переменная (аргумент), y = y(x) – неизвестная функция. Это

же уравнение можно

записать в дифференциальной форме

 

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0,

(1.2)

если обозначить f (x, y) = -M ( x, y) / N (x, y). И та и другая форма записи равноправны и часто встречаются в конкретных примерах.

Определение 1.1. Областью определения уравнения (1.1) называется множество D пар (x, y) , при которых его правая часть f (x, y) имеет смысл(т.е. может быть вычислена).

Например, областью определения уравнения

 

dy

=

 

+ 2

 

 

 

x

y -1

 

 

 

dx

 

 

является множество D = {( x, y) : x ³ 0, y ³ 1}.

 

 

Определение 1.2. Говорят, что функция

y = y(x) является решением уравнения

(1.1) на отрезке [a, b] , если выполняются следующие условия:

1)точкa (x, y(x)) Î D при всех x Î[a, b] ;

2)функция y = y(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и для всех x Î[a, b] имеет место тождество

dy(x)

º f (x, y(x)).

(1.3)

 

dx

 

3

Иногда кратко говорят, что решением уравнения(1.1) (или другого дифференциального уравнения) называется функция, обращающая его в тождество(см. (1.3)). На нестрогом научном уровне такое определение решения приемлемо. Однако в тонких математических исследованиях оно не пригодно, поэтому рекомендуем с самого начала придерживаться понятия решения, данного в определении 1.3.

Замечание. Иногда вместо решения на отрезке[a, b] рассматривают решение на

интервале (a, b)

или полуинтервалах [a, b) и (a, b] . При этом не исключаются случаи

a = -¥ и b = +¥.

Определение 1.3 в этих случаях почти дословно повторяется (надо лишь

говорить не об отрезке [a, b] , а о соответствующем промежутке (a, b), [a, b) или (a, b] ).

Например,

функция y =

1

x2 является решением дифференциального уравнения

 

4

y¢ = y на промежутке [0, ) (проверьте условия 1) и 2) определения 1.3).

График решения y = y(x) , т.е. множество

Г = {(x, y) : x Î[a, b], y = y(x)}

на плоскости R2 , называется интегральной кривой дифференциального уравнения (1.1), поэтому часто вместо слов«решить дифференциальное уравнение» говорят «проинтегрировать дифференциальное уравнение».

Рис. 1.1

Поясним геометрический смысл уравнения(1.1). Если y = y(x) интегральная кривая дифференциального уравнения (1.1), то в каждой своей точке (x, y(x)) она имеет касательную, угловой коэффициент которой равенk = f (x, y(x)) (см. тождество (1.3)).

Однако не всегда удается найти решение y = y(x) дифференциального уравнения (1.1), а значит построить его интегральную кривую. Тем не менее по уравнению(1.1) в любом случае можно построить вектор{1; f (x, y)} с началом в точке(x, y) области D определения этого уравнения. Сделав это для произвольной точки (x, y) Î D , мы заполним область D соответствующими векторами{1; f (x, y)}. Полученное множество векторов (или просто отрезков, имеющих направления этих векторов) называют полем направлений дифференциального уравнения (см. рис. 1.1). Заметим, что поле направлений не связано с

интегрированием уравнения (1.1). Дифференциальное

уравнение (1.1) по

своей форме

задает поле направлений. Используя только поле направлений, можно приближенно

вычертить на бумаге интегральные кривые

соответствующего

дифференциального

уравнения. Один из таких способов – метод изоклин.

 

 

4

Интегрируя простейшее дифференциальное уравнение y¢ = 1, можно заметить, что оно имеет бесчисленное множество решений y = x + C , где С – произвольная постоянная. Графики этих решений(интегральные кривые) являются прямыми, параллельными биссектрисе первого координатного угла. Эти прямые заполняют всю плоскость ХOУ. Для выделения вполне конкретной прямой, надо задать хотя бы одну точку, через которую

проходит

эта

прямая. Например, через точку М(2;3)

проходит интегральная «кривая»

y = x +1.

В

этом случае говорят, что начальное

условие y(2) = 3

выделяет

вполне

конкретное

решение

уравненияy¢ =1.

Обобщая

сказанное

на

произвольно

дифференциальное уравнение (1.1), назовем задачу

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

= f (x, y), y(x ) = y

 

 

(1.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

начальной задачей (или задачей Коши) для дифференциального уравнения (1.1). При этом точка (x0 , y0 ) называется начальной точкой. Ясно, что эта точка должна принадлежать области D определения уравнения (1.1).

И здесь начальное условие y(x0 ) = y0 позволяет (при определенных условиях на функцию f (x, y) (см. ниже теорему Коши)) выделить вполне определенное решение уравнения (1.1).

 

Определение 1.3.

Частным

решением

уравнения (1.1)

называется

решение

y = j( x) какой-нибудь конкретной ее задачи Коши(именно: задачи Коши

с начальным

условием y(x0 ) = j(x0 )) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общим

решением

 

уравнения (1.1)

в

области Q Ì D

называется

функция

y = F( x, C),

зависящая от произвольной

постояннойС,

удовлетворяющая

следующим

требованиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) при любом допустимом значении постояннойС функция y = F( x, C)

является

решением

 

уравнения (1.1)

на

 

некотором

отрезке[a, b]

(таком,

что

(x, F(x, C)) ÎQ

при x Î[a, b]), т.е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dF(x,C)

º f (x, F(x, C)) "x Î[a, b];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) какова бы ни была задача Коши (1.4) с начальной точкой (x0 , y0 ) ÎQ, существует

постоянная

C = C 0 такая,

что функция y = F(x,C 0 ) является

решением

именно

этой

задачи Коши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что условие 2) означает, что алгебраическое уравнение F(x0 , C) = y0 ,

где

(x , y ) – произвольная точка области Q, имеет хотя бы одно решение C = C 0 .

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

1.1. Проверить,

что

функция

y = Ce3x

является

общим

решением

уравнения y¢ = 3y (в области Q = R2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условие 1) определения 1.4 проверяется непосредственно:

 

 

 

 

 

d (Ce3x ) º 3·(Ce3x ) ("x Î(, )). dx

Это тождество имеет место при любом значении постояннойС. Пусть теперь (x0 , y0 ) –

произвольная (но фиксированная) точка на плоскости R2 . Посмотрим, можно ли найти C = C 0 так, чтобы выполнялось условие y(x0 ) = y0 . Имеем

Ce3 x = y0 Û C =C0 =y0e-3 x0 .

5

Значит, такое значение C = C

0

существует, и функция y = y0e

3( x-x0 )

является

 

 

решением задачи Коши y ' = 3y, y (x0 ) = y0 . Итак, условия 1) и 2) определения 1.4 общего решения выполнены, и значит y = Ce3x – общее решение уравнения y¢ = 3y .

Однако не всегда удается найти решение уравнения(1.1) в виде функции y = y(x) ,

заданной явно. Если в результате интегрирования уравнения(1.1) получено некоторое соотношение между x и y (алгебраическое, т.е. не содержащее производной y'), то говорят, что найден интеграл уравнения (1.1). Уточним это понятие.

Определение 1.4. Общим интегралом в областиQ Ì D

дифференциального

уравнения (1.1) называется соотношение

 

F (x, y,C ) = 0 (C – произвольная постоянная),

(1.5)

определяющее общее решение вQ этого уравнения неявным образом. Аналогичный смысл имеет частный интеграл F (x, y) = 0 уравнения (1.1).

Используя теорию неявных функций, можно дать следующий алгоритм проверки того, что соотношение (1.5) является общим интегралом уравнения (1.1).

Алгоритм 1.1. а) Продифференцируем соотношение (1.5) по x, считая, что у есть функция x:

F + F ·dy = 0.

x y dx

б) Присоединим к соотношению(1.5) полученное равенство и из системы двух уравнений

ì F (x, y, C) = 0,

ï

í¶F F dy (1.6)

ïî ¶x + y ·dx = 0

исключим постоянную С. Если при этом будет получено исходное дифференциальное уравнение (1.1) (или эквивалентное ему уравнение), то (1.5) – общий интеграл этого уравнения.

Пример 1.2. Проверить, что соотношение x2 - y2 -Cx = 0 является общим интегралом уравнения x2 + y2 - 2xy·y¢ = 0.

В нашем случае F (x, y,C) º x2 - y2 - Cx. Составляем систему (1.6):

ì2x - 2 y· y¢-C = 0, íî x2 - y2 -Cx = 0.

Исключаем из этих равенств постояннуюС. Для этого из первого уравнения находим С и подставляем ее во второе уравнение:

¢

2

- y

2

-

¢

Û -x

2

- y

2

+ 2xy·y

¢

= 0

Û x

2

+ y

2

- 2xy·y

¢

= 0.

C = 2x - 2 y·y ; x

 

 

(2x - 2 y·y )x= 0

 

 

 

 

 

 

Получено исходное

дифференциальное

уравнение, и

значит x2 - y2 -Cx = 0 –

 

общий

интеграл этого уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общий интеграл (1.5) также позволяет решить любую задачу Коши для уравнения (1.1) (если, конечно, она имеет решение).

Пример 1.3. Найти решение задачи Коши

6

x2 + y2 - 2xy· y¢

=0, y(1)

=2.

Воспользуемся общим интегралом x2 - y2 -Cx = 0 данного уравнения. Подставляя

в него x=1 (тогда y=2), будем иметь 1- 4 - C=

0 Û C=

-3. Следовательно, x2 - y2 + 3x = 0

– частный интеграл данного уравнения, задающий решение исходной задачи Коши неявным образом.

Перейдем теперь к обсуждению проблемы существования решения задачи Коши

(1.4).

При каких условиях на функцию f (x, y) эта задача будет разрешимой?

Теорема Коши. Пусть функция f (x, y) и ее частная производнаяf ¢(x, y) непрерывны в области D. Тогда какова бы ни была начальная точка(x0 , y0 ) , лежащая внутри области D, существует отрезок [x0 - h; x0 + h] такой, что задача Коши (1.4) с

начальной точкой (x0 , y0 ) имеет решение y = y(x) на этом отрезке и это решение единственно.

Геометрически

это означает, что

в некоторой окрестности

точки(x , y )

 

 

 

0

0

существует интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через точку (x0 , y0 ) , причем такая интегральная кривая единственна (см. рис. 1.2).

Рис. 1.2

Отметим локальный характер этой

теоремы: существование решения y = y(x) и

его единственность гарантируются лишь

в достаточно малой окрестности точкиx = x0

(h>0 – достаточно мало). Обе теоремы носятдостаточный характер. Условия теорем могут быть не выполнены, но тем не менее решение соответствующей задачи Коши может

существовать.

Например,

задача Коши y¢ =

 

y , y(0) = 0 имеет очевидное решение y º 0,

определенное

на всей

оси-¥ < x < +¥,

 

а

 

частная производная f y¢ =1/ 2

 

ее

правой

 

 

y

части не существует

в

начальной точке(x0 , y0 ) = (0;0).

В этом

случае, однако,

нельзя

гарантировать единственности решения.

 

Для указанной

задачи

Коши, кроме решения

y º 0, существует, например, еще такое решение

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

2

/ 4, x ³ 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

y = íx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

0,

x < 0.

 

 

 

 

 

Определение 1.5.

Решение y = j( x)

уравнения (1.1) называется

его особым

решением, если каждая

точка (x0 ,j(x0 ))

интегральной кривой y = j( x) является точкой

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

неединственности решения уравнения (1.1), т.е. существует (по крайней мере, еще одна) интегральная кривая y = y(x) уравнения (1.1), проходящая через точку (x0 ,j(x0 )) , не совпадающая с интегральной кривой y = j( x) .

Имеет место следующее утверждение: если функция f (x, y) непрерывна всюду в области D и ее частная производная f y¢ существует всюду в D, за исключением некоторых

точек (x, y) Î D , причем в

этих точках f y¢ = ¥, то

особыми решениями уравнения(1.1)

могут быть только такие кривые y = j( x) , во всех точках которых f y¢ = ¥.

 

 

 

 

 

Пример 1.4. Найти особые решения уравнения y¢ = 2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь f (x, y) = 2

 

,

f y¢ =1/

 

.

Частная

производная f y¢ существует

всюду в

 

y

y

D = {(x, y) : y ³ 0},

кроме точек (x, y), лежащих на оси абсцисс y º 0.

При этом

f y¢

 

= ¥.

 

Значит, прямая y = 0 может быть особым решением уравнения y¢ = 2

 

 

 

 

 

 

y=0

 

 

 

 

 

 

 

 

. Проверим, будет

 

y

ли это на самом деле так.

Функция

y = j(x) º 0 ,

очевидно,

удовлетворяет

уравнению

y¢ = 2

 

 

. Кроме того, в каждой точке (x0 ,j(x0 )) = (x0 ; 0) прямой y = j(x) = 0

задача Коши

 

y

y¢ = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì(x - x0 )2 , x ³ x0 ,

 

y , y(x0 ) = 0

имеет

два

различных

решения: y º 0

и

 

 

 

y = í

0,

x < x0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

Следовательно,

y º 0 – особое решение данного уравнения. Других особых решений это

уравнение не имеет, так как

в D нет других точек(x, y) кроме

точек (x, 0) , в которых

f y¢ = ¥. Итак, окончательный ответ:

y = 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Укажем еще на один признак существования особых решений. Напомним сначала

следующее понятие.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 1.6.

Кривая y = j( x)

называется огибающей

семейства

кривых

y = y(x, C) (С – параметр, произвольная постоянная), если в каждой своей точке (x,j( x))

кривая

y = j( x)

касается, по

крайней

мере, одной из кривых

семействаy = y(x, C) и

каждого отрезка кривой y = j( x)

касается бесконечное множество кривых y = y(x, C) .

Кривую, подозрительную на огибающую

 

семейства

кривыхy = y(x, C) ,

можно

найти, исключая постоянную С из системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì y = y(x,C),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

y(x, C)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï0

=

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако при этом надо доказать, что найденная кривая является огибающей.

 

Теорема

1.1.

Огибающая

 

семейства y = y(x, C)

 

интегральных

кривых

дифференциального уравнения (1.1) является особым решением этого уравнения.

 

Действительно,

если

y = j( x)

огибающая

семейства y = y(x, C) интегральных

кривых

уравнения (1.1),

то

в

каждой

 

своей точке(x0 ,j(x0 ))

она

касается

некоторой

интегральной

 

кривой y = y(x, C) ,

значит

j¢(x0 ) = y¢(x0 , C),

 

или

j¢(x0 ) = f (x0 , y(x0 ,C)) º f (x0 ,j(x0 )).

Это означает,

что y = j( x)

решение

уравнения

(1.1). Кроме того, в любой точке (x0 ,j(x0 ))

задача Коши (1.4) (где y0 = j(x0 ) ) имеет, по

8

крайней мере, два решения: y = j( x) и y = y(x, C) , где y = y(x, C) – решение уравнения (1.1), касающееся кривой y = j( x) в точке (x0 ,j(x0 )) .

Например, для уравнения y¢ = 2 y (см. пример 1.3) семейство y = (x -C)2 (x > C) интегральных кривых имеет огибающую y = j(x) º 0 и эта огибающая, как было показано в примере 1.4, является особым решением уравнения y¢ = 2 y .

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении

M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

(1.6)

функции M ( x, y) и N (x, y) допускают разложение на множители

M (x, y) = M1 (xM 2 ( y), N ( x, y) = N1 ( xN2 ( y),

каждый из которых является функцией только одной переменной(или x, или y), то говорят, что (1.6) – уравнение с разделяющимися переменными. Будем предполагать, что все функции M i (x), N j (x) непрерывны в своих областях определения. Перепишем

уравнение (1.6) в виде

 

 

 

 

M1 (x)M 2 ( y)dx = -N1 (x)N2 ( y)dy

 

и

разделим

обе

части

 

на

произведениеM (y ) N

(x),

предполагая

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

M 2 ( y)N1 (x) ¹ 0. Получим уравнение с разделенными переменными

 

 

 

 

 

M1 (x)

dx = -

N2 ( y)

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

N1 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2 ( y)

 

 

 

Интегрируя его, получаем oбщий интеграл уравнения (1.7):

 

M

(x)

N

 

( y)

ò

 

1

dx = -ò

2

 

dy + C

N

(x)

M

( y)

 

 

1

 

 

 

2

 

 

(1.7)

пока, что

(1.8)

в случае M 2 ( y)N1(x) ¹ 0 (здесь: x Î D(M1 ) Ç D(N1 ), y Î D(N2 ) Ç D(M 2 )).

Если

же

M 2 ( y)N1(x) = 0 , то (1.8) нельзя считать

общим интегралом уравнения(1.7),

так

как

деление на нуль невозможно. Пусть совокупность уравнений

 

 

éM2 (y) = 0,

 

 

ê

(x) = 0

 

 

ë N1

 

 

имеет решение (т.е.

M 2 (b) = 0

или N1 (a) = 0,

где a и b

постоянные). Тогда

непосредственной

подстановкой x = a

и

y = b (1.7)

убеждаемся, что

функции x = a и

y = b являются решениями этого уравнения (при этом точку M (a; b )

следует исключить

из прямых x = a

и

y = b , так

как

в

этой точке

уравнение(1.7) не

задает

никакого

направления). Решения x = a и

y = b

могут быть особыми(это

 

нужно

проверить

отдельно); их нужно присовокупить к интегралу (1.8).

 

 

 

 

Пример 1.5. Проинтегрировать уравнение

(x + 2) ydx - 3xdy = 0.

Имеет ли это уравнение особые решения?

Разделим обе части уравнения на произведение x y , предполагая пока, что оно не равно нулю. Будем иметь

x + 2

 

dy

 

 

x + 2

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 3

 

 

 

Û ò

x=

dx 3ò

 

 

 

Û x + 2 ln | x=| 6 y + C.

x

 

 

 

 

 

 

 

y

y

9

Рассмотрим теперь случай, когда x

y = 0. Получаем

еще

два решенияx=0

и

y=0

уравнения (1.13) (при

этом

из указанных

прямых

надо

исключить точкуM (0; 0)).

Проверим, будет ли решение x = 0 ( y > 0) особым. Оно удовлетворяет уравнению

 

 

 

 

 

 

dx

=

3x

 

.

 

 

 

(1.9)

 

 

 

 

dy

(x + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

Частная производная

fx¢ = 6 /

 

(x + 2)2

правой

части(1.9) существует в каждой

точке

y

прямой x = 0 ( y > 0)

(и некоторой

ее

окрестности), поэтому

уравнение (1.9)

имеет

единственное решение в окрестности этой точки (см. теорему Коши). Отсюда следует, что прямая x = 0 ( y > 0) не может быть особым решением(1.9). Проверим, будет ли решение y = 0 (x ¹ 0) особым. Это решение является также и решением эквивалентного уравнения

 

dy

=

(x + 2) y

.

(1.10)

 

 

 

 

 

dx

3x

 

Частная производная f y¢ = (x + 2) / (6x

y

)

правой части(1.10) равна

¥ в каждой точке

прямой y = 0 (x ¹ 0) , и значит последняя может быть особым решением уравнения(1.10). Пусть (x0 ; y0 ) = (x0 ; 0) – фиксированная точка этой прямой. Задача Коши с начальной точкой (x0 ; 0), x0 ¹ 0, как нетрудно видеть, имеет решение, определяемое интегралом

(x - x ) + 2 ln

x

 

= 6

 

.

 

y

 

0

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Это решение не совпадает с решениемy = 0 (x ¹ 0) , и значит последнее является особым решением исходного уравнения (1.13). Нетрудно видеть, что другие решения, определяемые интегралом x + 2ln | x=| 6 y + C являются неособыми. Окончательный ответ: общее решение имеет вид

é

 

 

 

x + 2 ln | x=| 6 y + C,

ê

 

 

 

ëx = 0( y > 0), y= 0( x ¹ 0);

функция y = 0 (x ¹ 0)

– особое решение.

 

 

 

Уравнение

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

= f (ax + by + c),

(1.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

где a,b,c – постоянные, причем b ¹ 0, заменой

 

 

 

 

ax + by + c = z

 

приводится

к

уравнению

с

 

разделяющимися

перем. Деннымийствительно,

дифференцируя указанную замену, найдем, что y¢ = 1 (z¢ - a), и уравнение (1.11) примет

вид

 

 

 

 

 

b

¢

 

 

 

 

 

 

z

- a

= f (z)

Û

dz

=bf (z) + a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

dx

При x ¹ const его можно переписать в эквивалентной форме dz = [bf (z) + a]dx.

Это уравнение с разделяющимися переменными.

Пример 1.6. Найти общий интеграл уравнения y¢ = (3x + 2 y -1)2 .

10

 

Делаем

замену z = 3x + 2 y -1.

 

 

 

 

Тогда z

¢

 

 

 

 

 

¢

и

 

 

 

 

значитy ' = (z '-3) / 2.

 

 

 

 

 

 

= 3 + 2 y ,

 

 

 

 

Подставляя это в исходное уравнение, будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

¢

-3

= z2 Û

dz

= 2z

2 + 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разделяя в последнем уравнении переменные, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

= dx Û

ò=2z2 + 3

 

òdx

+ C Û

2=ò

 

 

 

 

x + C Û

 

=

 

arctg

 

 

 

 

x + C.

 

2z2 + 3

z2 + (

 

)2

2

 

 

 

 

 

3 / 2

3

 

3

 

Подставляя сюда z = 3x + 2 y -1, получаем общий интеграл исходного уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

é

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ù

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

arctg

2

 

(3x + 2 y -1)

 

x + C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейные уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения вида

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a(x) y + b(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a(x) и b(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейными

 

 

 

дифференциальными

– известные

 

 

функции,

 

называются

 

 

 

уравнениями (первого порядка). При этом функция

 

b(x)

называется неоднородностью

уравнения (1.12).

Если неоднородность

 

отсутствует,

то

уравнение (1.12)

 

называется

однородным; в противном

случае (т.е.

когда b(x) º/ 0 )

уравнение

(1.12)

 

называется

неоднородным. Уравнение z¢ = a(x) z называется однородным уравнение, соответствующим уравнению (1.12).

Докажем следующее замечательное утверждение. Отметим, что этo утверждение называют глобальной теоремой существования решения, так как она гарантирует разрешимость задачи Коши в области непрерывности коэффициентов a(x) и b(x) (т.е. на всем отрезке [a;b] ). В нелинейном случае гарантируется лишь локальная разрешимость, т.е. разрешимость в достаточно малой окрестности точки x = x0.

Теорема 1.1. Если в уравнении (1.12) коэффициенты a(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то какова бы ни была начальная точка (x0 , y0 ) (x0 Î[a;b]), задача Коши

dy = a(x) y + b(x), y(x0 ) = y0 dx

с этой начальной точкой имеет решение на отрезке[a;b] и оно единственно. Это

решение можно записать в форме

y(x) = y(x; x0 , y0 )=

x

ò

ex0

 

é

 

s

a (t )dt

x - ò

 

ê

+ òe

x0

 

êy0

 

 

ê

x0

 

 

ë

 

 

a(t )dt ù

b(s)dsúú. (1.13)

ú

û

Доказательство.

Подставляя

в(1.13)

значение

 

x = x0 , будем иметь y(x0 ) = y0 .

Значит функция (1.13)

удовлетворяет начальному

 

условию. Далее, функция (1.13)

определена на отрезке [a;b]

и даже

дифференцируема на нем(так как функции a(x) и

b(x) непрерывны на [a;b] ). Дифференцируя (1.13) по х, будем иметь

 

 

 

x

 

é

 

s

ù

 

x

 

x

 

 

dy(x)

 

ò a(t )dt

 

x - ò a(t )dt

 

ò a(t )dt

- ò a(t )dt

 

 

 

ê

ú

 

 

 

x0

 

+ ò e

x0

 

x0

 

x0

 

 

 

= e

 

·a(x)

êy0

 

b(s)dsú

+ e

 

·e

 

= ·b(x) a(xy(x) + b(x).

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

x0

 

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ë

 

 

û

 

 

 

 

 

11

Значит, имеет место

¢

 

 

Это означает, что

функция (1.13)

тождество y ( x) º a(x) y(x) + b(x).

является решением уравнения (1.12). Теорема доказана.

 

 

 

 

 

 

Замечание.

Поскольку y0 произвольно,

то

заменяя

 

его

на

произвольную

постоянную C и записывая вместо определенных интегралов неопределенные, получаем

общее решение в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

òa ( x)dx é

+ òe

-òa ( x )dx

 

 

ù

 

(1.14)

 

y = y( x;C) e=

êC

 

b(x)dxú.

 

 

 

ë

 

 

 

 

û

 

 

В отличие от (1.14) функцию (1.13) часто называют общим решением уравнения

(1.12) в форме Коши.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функцию (1.14) можно расчленить на две: функцию y

 

= eòa( x )dxC и

функцию

 

 

 

 

 

o.o.

 

 

 

yч.н. = eòa ( x) dx òe-òa ( x)dx ·b( x)dx. Непосредственной

проверкой

убеждаемся, что

функция

yo.o. (x) является общим решением соответствующего однородного уравненияz ' = a (x) z,

а функция yч.н. (x)

– частным решением

исходного

неоднородного

уравнения(1.12).

Таким образом, имеет место формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yo.н. = yo.o. + yч.н. ,

 

 

 

 

 

(1.15)

где yо.н. – общее решение неоднородного уравнения (1.12).

Запомнить формулу (1.14) довольно затруднительно. Поэтому дадим способ ее вычисления, называемый методом вариации произвольной постоянной Лагранжа.

Алгоритм 1.2. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение(1.12). Чтобы найти его общее решение сделаем следующее.

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения методом разделения переменных:

 

 

dz

= a(x)z=;

dz

 

a(x)dx Û

dz

=

 

 

a(x)dx Û ln | z |= a(x)dx + ln C

Û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

z

 

 

ò z

 

 

ò

 

 

 

ò

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Û

 

|=z | C eòa( x)dx Û =z = Ceòa( x)dx (C

 

±C ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2)

Определяем

общее

решение

неоднородного

 

уравнения(1.12)

в

виде

y = C(x)eòa( x)dx

(т.е. в таком же

виде, что

и

решение соответствующего

однородного

уравнения, но в котором«постоянная»

С является фукцией

x,

т.е. она

варьируется).

Подставляя функцию y = C(x)eòa( x)dx в уравнение (1.12), будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

òa( x )dx

+ C(x)e

òa( x)dx

·a(x)= a(x)C(x)e

òa( x )dx

+b(x).

 

 

 

 

 

 

 

C (x)e

 

 

 

 

 

 

 

 

Сокращая

 

здесь C(x)eòa( x)dx·a(x),

найдем,

что

 

функция С(x)

должна

удовлетворять

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

= e

-òa( x)dx

b(x),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрируя которое находим С(x) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C(x) = òe-òa ( x)dxb(x)dx + C

.

 

3) Подставив найденную функцию С(x)

в y = C(x)eòa( x)dx , получим общее решение

неоднородного уравнения (1.12):

 

 

 

 

 

 

 

 

y = yo.н. e

òa ( x )dx é

 

 

òe

-òa ( x)dx

b(x)dx

ù

 

= êC +

 

ú.

 

ë

 

 

 

 

 

 

û

12

 

Пример 1.7. Решить уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

= y + x

 

 

 

 

 

 

(1.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

и найти его интегральную кривую, проходящую через точкуM(1;2). Соответствующее

однородное уравнение легко интегрируется:

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

= z;

dz

dx Û

dz

ò

d x Û ln |=z | x + ln C1

Û | z |= C1e

x

Û z

=Ce

x

=(C

±C1 ).

 

 

=

=

 

 

 

dx

 

 

 

 

z

 

ò z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определяем решение неоднородного уравнения (1.16) в виде y = C(x)ex , где С(x) – пока неизвестная функция. Подставляя y = C(x)ex в уравнение (1.16):

¢

x

 

x

C(x)e

x

 

¢

x

x

¢

xe

-x

Û

C (x)e

 

+ C(x)e=

 

+ x Û C (x)=e

 

Û C (x)=

 

Û C(x=)

ò xe-x dx Û C(x=)

 

 

 

 

 

 

 

-xe- x - e-x + C

.

 

 

 

 

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения (1.16) имеет вид y = C(=x)ex (-xe- x - e-x + C )=ex Cex - (x +1).

Положим здесь х=1 и y=2, тогда

2 = C·e - 2 Û C = 4e-1.

Значит, интегральная кривая, проходящая через точку M(1;2) имеет вид y = 4ex-1 - (x +1).

13

Лекция 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл. Методы понижения порядка дифференциального уравнения

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее решение и общий интеграл.

Если дифференциальное уравнение

¢

(n)

) = 0

(2.1)

F (x, y, y ,..., y

 

содержит производную неизвестной функции y = y(x) порядка выше первого (n >1), то его называют уравнением высшего порядка. Часто записывают такие уравнения в форме

y

(n)

=

¢

(n-1)

),

(2.2)

 

f (x, y, y ,..., y

 

разрешенной относительно старшей производной y(n) (x). Конечно, к уравнениям высших порядков относятся и уравнения в дифференциальной форме типа

d 2 y + a(x)dxdy + b(x)dx2 = 0,

если в них порядок дифференциала неизвестной функции выше первого. Однако в таком виде уравнения высшего порядка встречаются крайне редко. Перейдем к изучению таких уравнений.

Начнем с определения решения уравнения высокого. Будемпорядка формулировать эти понятия по отношению к уравнению(2.2), хотя все сказанное ниже почти дословно переносится и на уравнение(2.1), не разрешенное относительно старшей производной.

Пусть D – область определения функции

f (x, y, y ,..., y

n-1

) (D Ì Rn+1 ).

Ее называют

также областью определения уравнения (2.2).

1

 

 

 

 

 

 

Определение 2.1. Функция y = y(x)

называется решением уравнения (2.2) на

отрезке [a;b] , если выполняются следующие условия:

 

 

 

1)при всех x Î[a;b] точка (x, y(x), y¢(x),..., y(n-1) (x)) принадлежит области D;

2)функция y = y(x) дифференцируема n раз на отрезке [a;b] и при всех x Î[a;b]

выполняется тождество

 

 

y

(n)

(x) º

 

 

¢

 

(n-1)

(x)).

 

 

 

 

 

f (x, y(x), y (x),..., y

 

 

 

Аналогичный смысл имеют

решения на интервале(a;b)

или на полуинтервалах

[a;b) и

(a;b] . Например, функция

y = 2 cos 3x - 3sin 3x

 

является решением

уравнения

y¢¢ = -9 y

на всей оси(a;b) = (; ),

что

проверяется непосредственной подстановкой

указанной функции в уравнение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как и в случае дифференциального

уравнения

первого

порядка, график

решения

y = y(x)

называется

интегральной

кривой

уравнения(2.2).

Интегральные

кривые

заполняют некоторую

подобласть пространства R2 .

Чтобы найти вполне определенную

интегральную кривую, надо задать дополнительные условия. В случае уравнения первого

порядка задавалось всего одно начальное условие. В

случае

уравненияn-го порядка

(n > 1) таких условий должно бытьn. Именно: пусть (x , y

0

, y0

,..., y0

) – фиксированная

0

 

1

 

n -1

 

точка области D.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения (2.2), удовлетворяющего начальным условиям

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y( x0 ) = y0 ,

y¢( x0 ) y10 , ...=,

y(n-1) (x0 )

 

 

yn0-1,=

 

 

 

 

 

 

 

(2.3)

называется начальной задачей (или задачей Коши) для уравнения (2.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Например,

для уравнения

второго

порядкаmy&& = F (x, y, y&),

 

 

выражающего

собой

второй закон Ньютона, для выделения вполне определенного закона движенияy = y(t),

надо задать не только начальную точку, но и начальную скорость y&(t

0

) = y0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопрос о том, в каком случае существует интегральная кривая, с начальными

данными (2.3), решается следующим образом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема

2.1.

Пусть

функция f (x, y, y1,..., yn-1 )

 

и

ее

 

 

частные

производные

 

f

,

 

f

, ...,

 

f

 

непрерывны

в областиD. Тогда

 

какова

бы

ни

 

была

начальная

точка

 

 

 

 

yn-1

 

 

 

 

y y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

, y

, y0

,..., y0

),

лежащая внутри области D, существует число h>0 такое, что задача

0

 

 

0

1

 

 

 

 

n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коши (2.2), (2.3) имеет решение на отрезке [x0 - h; x0 + h]

и это решение единственно на

указанном отрезке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Снова обращаем внимание на локальный характер этой теоремы: существование

решения

здесь

гарантировано

лишь

в некоторой достаточно

малой

окрестности

точки

 

x = x0

 

(h > 0

 

достаточно

мало).

Условия

этой

 

теоремы

 

 

являются

всего

лишь

достаточными для существования решения задачи(2.2), (2.3). Может случиться так, что

они

 

не

выполнены, а

 

решение

задачи(2.2),

(2.3) все-таки

существует на

отрезке

[a;b] (x0 Î[a;b]).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перейдем теперь к описанию частного и общего решения уравнения (2.2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

2.2.

 

Любое

конкретное

решениеy = j( x)

 

 

уравнения (2.2)

(т.е.

решение некоторой его задачи Коши) называется частным

решением уравнения (2.2).

Общим

 

 

решением

этого

 

уравнения

 

в

 

областиQ Ì D

 

 

называется

 

функция

 

y = F(x, C1,..., Cn ),

зависящая от n произвольных постоянных C1,..., Cn ,

удовлетворяющая

следующим требованиям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

постоянныхC ,..., C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

при

 

любых

допустимых

 

 

значениях

 

 

n

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

y = F(x, C1,..., Cn ) является решением уравнения (2.2) на некотором отрезке [a; b];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) какова бы ни была начальная точка (x , y

, y0 ,..., y0

) ÎQ,

существуют значения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

1

 

 

n-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C = C 0 ,..., C

n

= C0

постоянных

такие, что

 

функция y = F(x, C 0 ,..., C0 )

удовлетворяет

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

задаче Коши (2.2), (2.3) с этой начальной точкой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.1.

Проверить, что

функция y = C ex + C

2

является

общим

решением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения y¢¢ = y¢

в области Q = R3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя

 

 

производные y¢ = C1ex , y¢¢ = C1ex ,

 

 

 

видим,

 

что

 

 

функция

 

y = F(x, C =, C

2

)

C ex

+ C

2

удовлетворяет уравнению при любых значениях постоянных C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

и C

. Пусть теперь (x , y

, y0 )

– произвольная фиксированная точка в пространствеR3 .

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Посмотрим,

можно ли найти такие значения C = C 0

и C

2

= C0

постоянных, при которых

выполняются равенства

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x0 ) = y0 , y¢( x0 ) = y10 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.4)

Подставляя y = C1ex + C2

и y¢ = C1ex , имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C ex0 + C

2

y

, C=ex0

 

y0 . =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

Из

второго

равенства

 

 

 

 

находимC

= C0

= y0e- x0

,

а

 

из

 

первого

 

 

 

вычисляем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

= y0

x

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2 = C2

- C1e=0

y0 - y1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, равенства (2.4) выполняются, если

выбрать

постоянные C = C 0

и C

2

= C

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

2

 

При

этом

 

 

 

 

0

 

x-x0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

является

 

 

решением

 

 

 

¢¢

= y

¢

 

и

функцияy = y1 e

 

 

 

 

+ y0 - y1

 

 

 

 

 

уравненияy

 

 

удовлетворяет начальным

 

условиям(2.4).

Это

 

означает,

что

 

функция y = C ex

+ C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

является общим решением уравнения y¢¢ = y¢

в области Q = R3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однако не всегда удается записать общее решение в явной форме.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение 2.3. Соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x, y, C1,..., Cn ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.5)

называется общим

интегралом уравнения (2.2)

в

области Q Ì D,

 

 

если

оно

определяет

общее решение этого уравнения(в Q)

неявным

 

образом. Аналогично определяется

частный интеграл уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм

2.1.

Чтобы

 

 

проверить, что

 

 

соотношение (2.5)

является

 

 

общим

интегралом уравнения (2.2), надо сделать следующее:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) продифференцировать соотношение (2.5) n раз по x, считая, что y есть функция x

(т.е. y = y(x) );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

F (x, y, C1,..., Cn ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

F (x, y, C1,..., Cn ) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) из системы равенств

ï dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

исключить постоянные C1,..., Cn .

í

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï d n

F (x, y, C ,..., C ) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îdxn

 

 

 

 

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если при этом будет получено уравнение(2.2), то

соотношение (2.5)

является

 

общим

интегралом этого уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.2. Проверить, что соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x - C )2

+ ( y -C

)2

=1

(a

 

=const > 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.6)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢¢

2

 

 

 

 

 

¢2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= a(1+ y

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является общим интегралом уравнения ( y )

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференцируем

соотношение (2.6)

 

два

 

 

раза

 

 

поx,

считая,

что

y = y(x).

Присоединяя к полученным равенствам соотношение (2.6), получаем систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï (x - C ) + ( y -C

2

) y¢ = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ y¢2 + ( y -C2 ) y¢¢ = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ï(x - C1 )2 + ( y - C2 )2 =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из второго соотношения находим y - C2 и подставляем в первое соотношение:

 

 

 

 

 

 

 

y - C2

-=y¢2 +1

 

, x -C1

-=( y - C2 ) y¢ =

(1+ y¢2 ) y¢

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y¢¢

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда третье соотношение будет иметь вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1+ y¢2 )2 y¢2

 

 

(1+ y¢2 )2

 

 

1

 

 

 

 

¢¢

2

 

 

 

+ y

¢2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢¢

 

 

 

+

 

 

 

=¢¢

 

 

 

 

 

Û

 

 

 

 

 

 

)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

( y )= a(1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y )

 

 

 

 

 

 

 

 

( y )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит (2.6) – его общий интеграл.

16

xn-2

Уравнения, допускающие понижение порядка

Если в результате каких-либо преобразований порядок исходного уравнения(2.1) (или (2.2)) понижается, то оно становится проще и есть надежда проинтегрировать его полностью. Однако не все уравнения допускают понижение порядка. Ниже приводятся некоторые классы уравнений, порядок которых может быть понижен на единицу и более. Прежде чем перейти к таким уравнениям, рассмотрим простейшее дифференциальное уравнение

y(n) = f (x), (2.7)

к которому часто приводятся более сложные уравнения после понижения порядка. Если функция f (x) непрерывна на отрезке[a, b], то его общее решение легко находится последовательным интегрированием:

x

y(n-1) = ò f (t1 )dt1 + C1=, x0 0 Î[a;b];

0

x t2

y(n-2) = òò f (t1 )dt1dt2 + C1x + C2 ;

 

0

0

 

 

x t3 t2

y(n-3)

= òòò

 

0

0

0

. . .

 

 

x

tn

t2

 

y = òò ... ò

0

0

0

 

f (t )dt dt

dt

 

+ C

x2

+ C

x + C

;

 

2

1

1

2

 

3

1

2

3

 

xn-1

f (t1 )dt1dt2 ...dtn + C1 (n -1)! + C2 (n - 2)! +... + Cn-1x + Cn

(здесь нижний предел интегралов взят в виде x0 = 0 ради простоты).

Выписанный выше n-кратный повторный интеграл можно упростить по формуле

x

tn

 

t2

 

 

1

 

 

 

x

 

 

 

 

 

ò ò

... ò f (t1 )dt1dt2 ...dtn =

 

 

 

ò f (t)(x -t)n-1 dt, x0 Î[a;b].

(2.7)

 

 

 

x

x

 

x

 

 

(n -1)! x

 

 

 

 

 

0

0

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Заметим, что последовательное интегрирование удобно производить с помощью

неопределенных интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.3. Решить уравнение y¢¢ = x + cos x.

 

 

 

 

 

Интегрируем последовательно два раза:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

æ

x

2

 

 

ö

x

3

 

 

y¢ = ò(x + cos x)=dx

 

 

+ sin x + C1; y = òç

 

 

+ sin x + C1

÷dx=

 

- cos x + C1x + C2 .

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

è 2

 

 

ø

 

 

Это и есть общее решение исходного уравнения.

Пример 2.4. Решить уравнение y¢¢¢ = e- x2 / 2 . Последовательное интегрирование этого уравнения дает:

 

x

 

 

 

x t2

y¢¢ = òe-t12 / 2dt1 + C1; = y¢ òòe-t12 / 2dt1dt2 + C1x + C2 ,

 

0

 

 

 

0

0

x t3 t2

 

x

2

 

y = òòòe-t12 / 2dt1dt2dt3

+ C1·

 

+ C2 x + C3 .

 

 

0

0

0

2

 

Здесь первообразная (неопределенный интеграл) от экспоненты e-t12 /2 не выражается через элементарные функции, поэтому удобно записать решение через определенный интеграл. Применяя формулу (2.7), получаем окончательный результат:

17

 

1

 

x

-t2 / 2

 

2

 

x2

 

y =

 

 

ò0 e

 

(x - t)

 

dt + C1

 

+ C2 x + C3 .

2!

 

 

2

18

Лекция 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения. Пространство решений, его размерность и базис (фундаментальная система решений). Структура общего решения. Определитель Вронского. Условия линейной независимости решений однородного линейного дифференциального уравнения

Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка. Однородные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением n–го порядка называется уравнение

pn ( x) y(n ) + pn-1 (x) y( n-1) +... + p1 (x) y¢ + p0 ( x) y = f (x),

(3.1)

в котором неизвестная функция y = y(x) и все ее производные входят линейным образом

(т.е. с целой

неотрицательной

степенью не

выше

).первойПри

этом

функции

pn (x),..., p0 (x) называются коэффициентами

уравнения (3.1),

а

правая

часть f (x) –

неоднородностью этого уравнения. Если

в (3.1) отсутствует

неоднородность ( f (x) º 0),

то уравнение (3.1) называется однородным.

 

 

 

 

 

 

 

черезL

Уравнение

(3.1) можно

записать

кратко Ly = f (x),

если

обозначить

дифференциальный оператор n–гo порядка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = p

 

(x)

d n

+ p

 

 

d n-1

+... + p (x)

d

+ p (x).

 

(3.2)

 

n

dxn

n-1 dxn-1

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.

Теорема 3.1. Если в уравнении (3.2) все коэффициенты ai (x) и правая частьh(x) непрерывны на отрезке[a;b] , то задача Коши(3.2) для этого уравнения имеет единственное решение y = y(x) и это решение определено также на этом отрезке.

Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер.

Линейная зависимость и линейная независимость решений.

Пусть функции y1 (x),..., yn (x) имеют смысл на отрезке [a;b] .

Определение 3.1. Говорят,

 

что система функций y1 (x),..., yn (x) линейно зависима

на отрезке [a;b] , если существуют постоянные a1,...,an ,

не равные нулю одновременно,

такие, что имеет место тождество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1 y1 (x) +... +an yn (x) º 0 ("x Î[a;b]).

(3.3)

Если же тождество (3.3), где a1,...,an

– постоянные,

выполняется тогда и только тогда,

когда все числаai равны нулю

 

(a1 = ... =an

 

=0),

то

система

функцийy1 (x),..., yn (x)

называется линейно независимой на отрезке [a;b] .

 

 

 

Пример 3.1. Доказать, что система функций

 

 

 

 

 

y

0

= 1, y

x,=..., y

n

xn=

 

 

(3.4)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

линейно независима на любом отрезке [a;b] .

 

 

 

 

 

Составим линейную

 

комбинацию

 

функций(3.4) и

посмотрим, когда она

тождественно обращается в нуль:

 

·x +... +a

·xn º 0 ("x Î[a;b]).

 

a

·1

+a

1

 

0

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

Слева стоит многочлен с коэффициентами a0 ,...,an . Само тождество означает, что любое число x из отрезка[a;b] является корнем этого многочлена. Если хотя бы один из

19

коэффициентов ai не

 

равен нулю, то получилось бы,

что

указанный многочлен имеет

бесчисленное число корней,

что невозможно. Значит, все числа ai равны нулю,

поэтому

функции (3.4) линейно независимы на отрезке [a;b] .

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.2. Будут

ли

линейно

 

зависимыми

на

промежутке(; )

функции

y = sin2 x, y

2

= cos2 x, y

3

=1?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Линейная комбинация a sin2 x +a

2

cos2 x +a

·1 тождественно обращается в нуль на

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

промежутке (; ) , если

взять числа a1 = a=2= 1,a3

-1.

Так как они не равны нулю

(достаточно было бы, чтобы хотя бы одно из них не равнялось нулю), то указанные

функции линейно зависимы на промежутке (; ) Ответ: да.

 

 

 

 

 

Очевидны следующие утверждения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

Если

система

функций y (x),..., y

n

(x) содержит

функцию y (x) º 0,

то

она

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

линейно зависима (на отрезке [a;b] , на котором указанные функции имеют смысл).

 

20)

Если

какая-нибудь

подсистема системы

функцийy (x),..., y

n

(x)

линейно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

зависима, то и вся система y1 (x),..., yn (x) линейно зависима.

 

 

 

 

 

 

30) Если система функций y (x),..., y

n

(x) линейно зависима на отрезке [a;b] , то она

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

линейно зависима и на любом отрезке [a1;b1 ], лежащем внутри отрезка [a;b] .

 

 

 

40)

Если

система функций y (x),..., y

n

(x) линейно независима на отрезке[a;b] ,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

она линейно независима и на любом

отрезке[c; d ],

содержащем

отрезок [a;b] (если,

конечно, функции y1 (x),..., yn (x)

определены на отрезке [c; d ]).

 

 

 

 

 

Заметим, что свойство линейной зависимости функций нельзя продолжить на больший отрезок, а свойство линейной независимости – сузить на меньший отрезок.

Определитель Вронского.

Дадим эффективный способ проверки линейной зависимости или линейной независимости системы функций с помощью определителя Вронского.

Определение 3.2. Определителем Вронского (или просто вронскианом) системы

функций

y (x),..., y

n

(x) , принадлежащих

пространству C n-1[a;b] , называется

 

1

 

 

определитель

 

 

 

 

y1 (x)

y2 (x)

¼ yn (x)

 

W (x) ºW [ y1,..., yn ] =

y1¢(x)

y2¢(x)

¼

yn¢ (x)

,

M

 

M

O

M

 

 

 

 

 

 

y(n-1)

(x)

y(n-1) (x)

¼ y(n-1)

(x)

 

 

1

 

2

 

n

 

 

первую строку которого образуют данные функции y1 (x),..., yn (x) , а последующие строки

являются производными функций предыдущей строки. Матрицу этого определителя мы будем называть матрицей Вронского.

Теорема 3.2 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции

y1 (x),..., yn (x) линейно зависимы

на отрезке[a;b] , то

их вронскиан

обращается

тождественно в нуль на этом отрезке, т.е. W[ y1,..., yn ] º 0 ("x Î[a;b]).

 

Заметим, что обратное

утверждение для

произвольной

системы функци

y ( x),..., y

n

(x) ÎC n-1[a;b], не имеет место.

 

 

1

 

 

 

 

20

Пример 3.3. Показать, что функции

 

 

 

 

ì(x -1)2 , 0 £ x £1,

 

ì

0, 0 £ x £1,

y (x) = í

0, 1 < x £ 2,

y (x) = í

 

1

î

2

î(x -1)2 , 1 < x £ 2

линейно независимы на отрезке [0;2], но W[ y1 (x), y2 (x)] º 0 ("x Î[0;2]).

 

 

 

 

 

 

 

 

Посмотрим,

 

при

 

каких

постоянныхa1

и

a2

 

 

 

выполняется

 

 

 

тождество

a y (x) +a

2

y

2

(x) º 0

 

("x Î[a;b]).

При x Î[0;1]

имеем a (x -1)2 +a

·0 º 0.

Это

 

тождество

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

имеет

 

место

приa1 = 0

и

при

произвольномa2 .

На

промежутке

(1;2]

имеем

a ·0 +a

2

(x -1)2

º 0,

 

откуда выводим, что a

2

= 0.

 

Итак, тождество a y (x) +a

2

y

2

(x) º 0 на

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

всем промежутке [0;2] имеет место лишь при a1 = a2 = 0.

Значит, функции y1 (x)

и y2 (x)

линейно независимы на отрезке [0;2]. С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W [ y , y

 

 

]

 

 

 

=

 

y1 (x) y2

( x)

 

 

(x -1)2

0

 

º 0, W[ y , y =] |

 

 

 

 

 

 

0 ( x -1)

2

 

º 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

xÎ(1;2]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

xÎ[0;1]

 

y1¢(x)

y2¢( x)

xÎ[0;1]

2( x -1) 0

 

 

 

1

2

 

 

0

2(x -1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.е. определитель Вронского W[ y1, y2 ]

тождественно обращается в нуль на отрезке[0;2].

Ситуация, описанная в этом примере, не реализуется,

если y1 (x) и y2 (x)

 

 

 

являются

решениями

 

 

 

 

 

 

однородного

уравненияLy = 0

 

c

непрерывными

 

 

на

 

 

отрезке[a;b]

коэффициентами. Теорему 3.2

применяют при

 

установлении

 

 

линейной

 

независимости

функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие.

Если

вронскиан системы

функцийy ( x),¼, y

n

(x) ÎCn -1[a;b]

 

 

не равен

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нулю хотя бы в одной точке x = x0 Î[a;b], то указанные функции линейно независимы на отрезке [a;b] .

Действительно, если бы y1 (x),..., yn (x) были линейно зависимы на отрезке [a;b] ,

то

W (x) ºW[ y1,..., yn ]

тождественно обращался бы в нуль

на этом отрезке, а значит,

в

частности, он был бы равен нулю в точке x = x0 , чего быть не может.

 

 

Структура общего решения.

 

 

 

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

 

 

 

Ly º y(n ) + an-1 ( x) y( n-1) +... + a1 (x) y¢ + a0 (x) y = 0.

(3.5)

Докажем следующий важный результат.

 

 

 

Теорема 3.3.

Пусть функции y1 (x),..., yn (x) являются

решениями

однородного

уравнения (3.5) с непрерывными на отрезке [a;b] коэффициентами an-1 (x),..., a0 (x). Тогда y1 (x),..., yn (x) линейно независимы на отрезке[a;b] в том и только в том случае, когда вронскиан W (x) ºW[ y1,..., yn ] этих функций не равен нулю ни в одной точке отрезка [a;b]

Cвойства вронскиана W (x) ºW[ y1,..., yn ] системы решенийy1 (x),..., yn (x) линейного однородного дифференциального уравнения(3.5) с непрерывными на отрезке

[a;b] коэффициентами an-1 (x),..., a0 (x).

 

 

 

 

 

50) Если вронскиан W (x)

обращается в

нуль

в некоторой

точкеx = x

отрезка

 

 

 

 

 

0

 

[a; b],

то он тождественно равен нулю на всем отрезке [a;b] (т.e. W (x) º 0 ("x Î[a;b]).

 

60) Если вронскиан W (x)

не равен нулю

хотя

бы в одной

точкеx = x

отрезка

[a; b],

то он не равен нулю и на всем отрезке [a;b] .

 

 

0

 

 

 

 

 

Пространство решений, его размерность и базис(фундаментальная

система

решений).

 

 

 

 

 

21

 

Обозначим

теперь черезY0

множество

всех

решенийy = y(x) однородного

уравнения (3.5). Множество Y0 является линейным

пространством. Действительно, если

y (x) и y (x) два

произвольных

элемента множестваY , то выполняются тождества

1

2

 

 

0

 

Ly j (x) º 0, j =1, 2,

а значит для произвольных чисел C1 и C2

(в силу линейности оператора

L) имеет место тождество

 

 

 

L[C1 y1 (x) + C2 y2 (x)] =C1Ly1 (x) + C2 Ly2 (x) º 0.

Это тождество показывает, что любая линейная комбинация элементов множестваY0

принадлежит Y0 (т.е. является решением уравнения(3.5)). Следовательно, Y0 – линейное

пространство.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из линейной алгебры известно, что если линейное пространствоX конечномерно,

то

в

нем

можно

выделитьбазис,

т.е.

такую

упорядоченную

систему элементов

f1,..., fm Î X , которая обладает свойствами:

 

 

 

 

 

а) система f1 ,..., fm

линейно независима;

 

 

 

 

б)

каков

бы ни

был элемент

f Î X , существуют

числаa1,...,an такие, что

f

= a1 f1 +... +am fm .

 

 

 

 

 

 

 

При этом числа a1 ,...,am называются координатами

элементаf

в базисе f1,..., fm

(показывается, что координаты элемента в данном базисе единственны).

 

 

В

пространстве Y0 также можно

выделить

базис. В

случае

дифференциальных

уравнений (а также в случае любой линейной системы уравнений) базис пространства решений принято называть фундаментальной системой решений.

Существование базиса в Y0 устанавливается следующей теоремой.

Теорема 3.4 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если в уравнении (3.5) все коэффициенты ai (x) непрерывны на отрезке[a;b] , то для него существуют n линейно независимых на отрезке [a;b] решений y1 (x),..., yn (x) (n – порядок уравнения (3.5)). При этом любое другое решение уравнения(3.5) является линейной комбинацией указанных линейно независимых решений y1 (x),..., yn (x) , т.е. общее решение уравнения (3.5) описывается формулой

 

 

 

 

y = y(=x;C1,..., Cn )

C1 y1 (x) +... + Cn yn ( x),

 

 

 

 

 

(3.6)

где C1,..., Cn

– произвольные постоянные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем теперь, что (3.6) – общее решение уравнения (3.5).

 

 

 

 

 

 

 

При

 

любых

значениях

постоянныхC1,..., Cn

функция (3.6)

является

решением

уравнения (3.5), так

как

пространство Y0

решений

уравнения(3.5)

является

линейным

пространством. Пусть теперь y = y(x) – решение произвольной задачи Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

Ly = 0, y(x0 )

y0 , y¢(=x0 ) y10 ,..., y(n-1) (=x0 ) yn0-1,

 

=

 

 

(3.7)

где

x Î[a;b]. Покажем, что существуют значения постоянныхC = C 0 ,..., C

n

= C0

такие,

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

n

 

что

функция y = C0 y ( x) +... + C

0 y

n

(x)

совпадает с

решениемy = y(x)

y = y(x)

задачи

 

 

 

1

1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коши (3.7). Подчиняя (3.6) начальным условиям (3.7), получаем равенства

 

 

 

 

 

C1 y1 (x0 ) +¼+ Cn yn (x0 ) = y0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¢

 

 

¢

y

0

, Û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C y

(x ) +¼+ C y=(x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1

0

 

n n 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n-1)

 

 

 

( n-1)

(x0 )

 

 

0

Û

 

 

 

 

 

 

 

 

Û C1 y1

(x0 ) +¼+ Cn yn=

 

yn-1

 

 

 

 

 

 

 

 

22

[a;b]

 

æ

y

(x )

¼

y

n

(x )

öæ C

ö

æ

y

ö

 

 

ç

1

0

 

 

0

֍

1

÷

ç

00

÷

 

Û

ç

y1¢(x0 )

¼

yn¢ (x0 )

÷çC2 ÷

= ç

y1

÷.

(3.8)

 

ç

¼

¼

 

¼

֍ M

÷

ç

M

÷

 

 

ç y(n-1) (x ) ¼ y(n-1) (x )

֍C

÷

ç y0

÷

 

 

è

1

0

 

n

 

0

øè

n

ø

è

n-1

ø

 

Так как решенияy1 (x),..., yn (x) линейно независимы на отрезке[a;b] , то их вронскиан W (x) ºW[ y1,..., yn ] не равен нулю в произвольной точке отрезка[a;b] .

Определитель системы (3.8) совпадает с вронскианом W (x0 ), и значит он не равен нулю.

Но тогда система уравнений(3.8)

 

имеет единственное

решение C = C 0 ,..., C

n

= C0 . При

 

 

 

 

 

1

1

 

n

этом функция y = C 0 y (x) +... + C0 y

n

(x),

являясь решением уравнения (3.5), удовлетворяет

1 1

n

 

 

 

 

 

 

 

и начальным условиям(3.7) (в

силу

выбора чиселC 0

,..., C 0 ). Следовательно,

функция

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

(3.6) является общим решением уравнения (3.5).

Из этой теоремы следует, что любая система изn линейно независимых решений y1 (x),..., yn (x) уравнения (3.5) порядка n образует базис в пространстве Y0 . Следовательно,

пространство Y0 решений однородного уравнения (3.5) имеет размерность n.

Определение 3.3. Любая упорядоченная система изn линейно независимых на отрезке решений y1 (x),..., yn (x) уравнения (3.5) (n–го порядка) называется фундаментальной системой решений этого уравнения (или базисом его решений).

23