Лекция 9. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости. Интеграл от аналитической функции. Формула Ньютона-Лейбница

Определение интеграла от функции комплексной переменной, его свойства

Определение 3.1. Кусочно-гладкая кривая --- это множество точек z = z(t) = x(t) + iy(t), где t Î[a, b] --- действительный параметр.

точек возврата, нет точек самопересечения. Если кривая замкнута, то x(a) = x(b), y(a) = y(b).

Определение 3.2. Криволинейные интегралы второго рода по кривой на плоскости (x,y):

Sn = åP(xk* , yk* )Vxk + Q(xk* , yk* )Vyk ; |Vzk |= [(Vxk )2 + (Vyk )2 ]1/ 2 .

k =1

При этом предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек. Достаточными условиями существования криволинейного интеграла II рода являются: кусочная гладкость кривойC , кусочная непрерывность и ограниченность функций P и Q

Определение 3.3. Интегралом от функции комплексной переменной

C

n

Sn = å f (zi )Vzi , причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора

k =1

промежуточных точек.

Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения.

Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом ò f (z)dz или

C+

просто ò f (z)dz ; интегрирование в отрицательном направлении --- ò f (z)dz .

55

ò(a f1 (z) + b f2 (z))dz =a ò f1 (z)dz + b ò f2 (z)dz. 3.

C C C

3. Аддитивность:

òf (z)dz = ò f (z)dz + ... + ò f (z)dz.

C1 +...+Cn C1 Cn

4. ò f (z)dz £ ò|f (z) | dz £ MLC , LC --- длина контура, M > 0 "z ÎC | f ( z) |£ M ).

CC

5.Вычисление интеграла интегрированием по параметру:

ò f (z)dz = ò f [z(t)]z¢(t)dt.

C C

2p

= ò dj = 2pi.

0

Результат не зависит ни от R , ни от z0 .

6. Замена переменных. Пусть существует j(x): z = j(x ); C Û G на плоскости x и j(x) ÎC ¥ (D) и однолистная в D , где D --- область комплексной плоскости x , содержащая G . Следовательно

ò f (z)dz = ò f [j(x )]j¢(x)dx.

C G

Теорема Коши

Определение 3.4. Область G плоскости (x, y) называется квадрируемой, если sup

множества площадей всех вписанных многоугольников P равна inf множества площадей

*

всех описанных многоугольников P* . Число P = P* = P* называют площадью плоской области G (по Жордану). Достаточное условие квадрируемости --- кусочная гладкость (спрямляемость) границы --- ¶G.

Для функции f (x, y) ÎC(G) и | f ( x, y) |£ A , кусочно непрерывной и ограниченной в квадрируемой области G , существует òò f (x, y)dxdy, понимаемый как предел

G

последовательности соответствующих интегральных сумм.

Определение 3.5. Область G на плоскости называется односвязной, если для любого замкнутого контура G ограниченная им часть плоскости целиком Ì G.

56

Определение 3.6. Пусть P(x, y), Q(x, y) ÎC(G), причем ¶G --- кусочно-гладкий контур,

иPx , Py , Qx , Qy ÎC(G) , тогда формула Грина выглядит так:

òPdx + Qdy =òò(Qx - Py )dxdy.

¶G G

Теорема 3.1 (теорема Коши, случай односвязной области).

Если в односвязной областиG , то для любого замкнутого контура g Ì G ò f ( z)dz = 0.

g

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Замечание. Требование односвязности области является существенным. Например, пусть область G представляет собой круговое кольцо 1 <| z |< 3. Функция

f (z) =1/ z ÎC¥ (G). Однако ò (1/ z)dz = 2pi.

|z|=2

Это связано, в частности, с тем, что контур | z |= 2 не образует полную границу области аналитичности f ( z).

Определение 3.7. Функция называется аналитической в замкнутой области G

положительном направлении.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем гладкие кривыеg1,g2 ,..., gn , соединяющие контур C0 с

контурами C1 , C2 ,..., Cn и не пересекающиеся между собой. Тогда область, ограниченная кривыми C0 , C1 , C2 ,..., Cn и кривыми g1,g2 ,..., gn , проходимыми дважды в противоположных направлениях, оказывается односвязной. По теореме 3.2 интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по вспомогательным кривым g1,g2 ,..., gn

проходят дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому

57

ò f (z)dz + ò f (z)dz +... + ò f (z)dz = 0.

Теорема 3.4. Если G --- односвязная область, f (z)ÎC(G) и для любого замкнутого контура g Ì G , интеграл ò f (z)dz = 0, то существует F (z) ÎC ¥ (G) .

g

Свойства неопределенного интеграла.

1.Неопределенный интеграл F ( z) в односвязной области G --- первообразная f ( z).

2.Если существует первообразная F ( z) , то их существует бесконечно много, но все они различаются на аддитивную постоянную F1¢(z) - F2¢(z) = 0 Þ F1 (z) = F2 (z) + C.

3.Если G --- односвязная и f (z) ÎC(G) и для любого замкнутого контура

58

z2

g Ì G , интеграл ò f ( z)dz = 0 , то ò f (z)dz = F (z2 ) - F (z1 ) --- формула Ньютона-Лейбница ,

где F --- любая первообразная.

5. Пусть G --- односвязная область, и f (z) ÎC¥ (G) , и для любого замкнутого контура

ò f ¢(x)dx = f (z +Vz) - f (z).

z

В качестве пути интегрирования возьмем прямолинейный отрезок, соединяющий z и z +Vz=:x z +qVz; 0 £ q £1; dx =Vzdq .

1

Получим f (z +Vz) - f (z) Vz=ò f ¢(z +qVz)dq --- формула Коши-Адамара .

0

6. При вычислении интеграла от аналитической функции контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он не выходил из области аналитичности подынтегральной функции. Деформируя контур интегрирования так, как это допускается теоремой Коши, можно легко вычислить многие интегралы.

Понятие интеграла, зависящего от параметра. Достаточные условия существования. Основная теорема

Пусть на комплексной плоскости Z заданы кусочно-гладкий контур C конечной длины òds = L , область G и функция двух комплексных переменных

C

w = j(z,x ), z ÎG, x ÎC , удовлетворяющая следующим условиям:

1) для любого x0 ÎC j(=z,x0 ) f ( z) ÎC¥ (G), т.е. существует ¶j (z,x0 ) ÎC¥ (G);

¶z

2) j(z,x) --- непрерывна по совокупности переменных, т.е. "e>0 $d ( z,x) > 0 : j(z +Vz,x +Vx ) -j(z,x) < e при |Vz |,|Vx |< d;

3)¶j (z,x ),..., ¶nj (z,x ) --- непрерывны по совокупности переменных.

¶z ¶zn

Замечание. Из второго условия следует, что j(z,x) непрерывна по z "z ÎG равномерно по x , т.е. для фиксированного z0 ÎG и "e > 0 \ $d (z0 ) > 0 такое, что | j(z0 +Vz,x ) -j(z0 ,x) |< e при |Vz |< d для всех x ÎC одновременно.

Аналогичное x ÎC утверждение справедливо и для ¶j (z,x).

¶z

Теорема 5.1. Если j( z,x ), z ÎG, x ÎC удовлетворяет

59

условиям 1---3), то интеграл, зависящий от параметра z , существует и является аналитической функцией z в областиG .

60