Лекция 10. Интегральная формула Коши. Интегральная теорема Коши. Теоремы Морера и Лиувилля. Разложимость аналитической функции в степенной ряд. Ряд Тейлора

Интегральная формула Коши

Пусть f (z) ÎC ¥ (G). Выразим f (z0 ) (z0 ÎG) через значения f (z) на ¶G. Рассмотрим

j(z) = f (z) ÎC¥ (G / z0 ). Если в области G взять такой замкнутый контур g , чтобы точка z - z0

z0 попала внутрь ограниченной им области, то j(z) будет аналитической в двухсвязной области G* , заключенной между ¶G и g .

По теореме Коши для многосвязной области (теорема 3.1) интеграл от функции j(z) по

Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура, то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность g r с центром в точке z0 и радиусом r . Положив

на g r: x = z0 + reij , dx = ireij dj ,

получим

Устремим r ® 0 , при этом x (r) ® z0 . Так как f (z) --- аналитическая, а следовательно,

слагаемое правой части не зависят от r , то, переходя к пределу в обоих частях, получим

интегральную формулу Коши:

Замечание.

1. Формула верна как для G --- односвязной, так и для G --- многосвязной, только в последнем случае ¶G+ --- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

61

комплексной плоскости при условии, что z0 Î/ ¶G + . Если z0 ÎG , то I (z0 ) = f (z0 ) ,

если z0 Î/ G , то I (z0 ) = 0 , так как в этом случае подынтегральная функция

j(x) = f (x) ÎC ¥ (G) является аналитической всюду в G . При z0 ζG: I (z0 ) в обычном x - z0

смысле не существует, однако, при дополнительных требованиях на поведение функции f (x) на контуре границы этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если f (x) удовлетворяет на ¶G условию

Гельдера | f (x1 ) - f (x2 ) |< C | x1 -x2 |d , 0 < d < 1 (по Гельдеру непрерывна), то существует

главное значение по Коши интеграла I (z0 ) :

3. Формула верна и для любого контура C + Ì G , который можно стянуть к z0 , оставаясь внутри G.

Следствие 10.1 (формула среднего значения.) Пусть z0 --- некоторая внутренняя точка односвязной области G . Возьмем окружность с центром в z0 и радиусом R , целиком лежащую в G . Тогда

62

Таким образом, | f (x) |= M для любогоx ÎC0 . Действительно, | f (x) |£ M для любого

x ÎC0 по предположению. Далее, пусть в некоторой точке x0 ÎC0 выполнено | f (x0 ) |< M .

Тогда, так как | f (x) | непрерывен на C0 , то существует дуга g0 длиной L0 --- некоторая окрестность точки x0 (x0 Îg0 ), на которой | f (x) |£ M - e, e > 0 (а на остальной части окружности

максимальное значение M в некоторой внутренней точке области, то | f ( z) |º M во всей области.

Из условий Коши--Римана для модуля и аргумента аналитической функции

Получили противоречие c условием теоремы. Доказали, что если | f (z) |¹ const, то он не может достигать максимума во внутренних точках области. Но так как | f (z) | непрерывен

в G , то он должен достигать максимума в некоторой z ÎG . Таким образом, | f (z) | достигает максимума в граничных точках.

Замечание. 2.

Если f (z) ÎC¥ (G) и f (z) ¹ 0 для любого z ÎG , то имеет место принцип минимума модуля. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию j(z) = 1 / f (z) и воспользоваться принципом максимума модуля.

2.Теорема верна как для односвязной, так и для многосвязной области.

3.Геометрическая интерпретация. Действительные функции двух действительных

переменных u( x, y) и v( x, y) вещественная и мнимая части аналитической функции f (z)

--- не имеют в G локальных экстремумов, а могут иметь лишь седловые точки. Линии равного уровня этих функций ,если f ¹ const не замкнуты, т.е. упираются в границу области G , либо уходят на бесконечность в случае неограниченной области. Внутри области G нет точек, в которых эти функции возрастают или убывают по всем направлениям.

Интеграл Коши

63

Определение 10.1. Пусть C --- кусочно-гладкая кривая конечной длины L: òds = L и

C

f (x) непрерывна в любой точкеx ÎC. Тогда при

Теорема 10.1. В любой точке z0 Î/ C функция F (z0 ) ---дифференцируема и

F¢(z0 ) = 21pi Cò (x - z0 )2 dx.

Замечание. Непрерывность $F'(z), z Î/ C доказывается аналогично с помощью оценки

|VF ¢( z) | .

Теорема 10.2. При z Î/ C функция F (z) ÎC ¥ (E C) (Без доказательства).

Теорема 10.3. При z Î/ C функция F ( z) имеет непрерывные n -производные для

Доказывается методом математической индукции.

Теорема 10.4. Если f (z) ÎC¥ (G), то для любых n и z ÎG существует f (n) (z) ÎC¥ (G).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть z0 ÎG. Построим замкнутый контур C , содержащий z0 ,

который можно стянуть к z0 , оставаясь все время в G . Тогда в силу интегральной

64

Итак, если функция f (z) является аналитической в G , то у нее в G существуют непрерывные производные всех порядков. Это существенное отличие от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области, для которой из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных. Например, функция y( x) = x | x | непрерывна на всей числовой прямой; ее производная y¢(x) = 2 | x | также непрерывна на всей числовой прямой, однако y¢¢(0) не существует.

Теоремы Морера и Лиувилля

Теорема 10.5 (Морера). Если f (z) ÎC(G), G --- односвязная и для

любого g Ì G: ò f (z)dz = 0 , где g --- замкнутый контур, который можно стянуть в точку,

g

оставаясь в G , то f (z) ÎC ¥ (G).

Д о к а з а т е л ь с т в о . При условиях теоремы 3.3 существует

z

функция F (z) = ò f (x)dx ÎC¥ (G) , где z0 и z --- произвольные точки G , а интеграл

z0

берется по любому пути Ì G , соединяющему эти точки. При этом F ¢(z) = f (z).

Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (теорема 10.4), т.е. существует F ¢¢(z) ÎC(G) , а именно F ¢¢( z) = f ¢(z) ÎC(G).

Замечание.

1.Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши.

2.Теоремы 10.4 и 10.5 (Морера) справедливы и для многосвязных областей.

Теорема 10.6 (теорема Лиувилля). Если функция f (z) ÎC¥ (E) и f (z) ¹ const , то при z ® ¥ | f (z) |® ¥ (здесь Е --- вся комплексная плоскость).

Теорему 10.6 можно сформулировать и по другому.

Если f (z) ÎC¥ (E) и существует M: | f (z) |£ M для любого z | f (z) | --- равномерно

выбора z .

65

Определение 10.2. Функция f (z) ÎC¥ (E) (на всей комплексной плоскости) ( z ¹ ¥) называется целой.

Целая функция, не равная const, не может быть ограничена по абсолютной величине. Так, например, целые функции sin z и cos z неограничены по модулю.

Пример целой функции: f (z) = zn .

Отображение области однолистности: сектор с углом разворота 2p / n отображается на всю комплексную плоскость.

Разложимость аналитической функции в степенной ряд