Лекция 11. Ряд Лорана. Теорема Лорана. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Вычет в изолированной особой точке

Устранимые особые точки. Полюс. Существенно особая точка

Определение 11.1. z0 --- изолированная особая точка} функции f (z) , если f (z)

однозначная и принадлежит C¥ (0<| z - z0 |<r(z0 )). z0 является особой точкой функции f ( z).

Другими словами, z0 называется изолированной особой точкой функции f (z) , если существует такая окрестность точки z0 , в которой нет других особых точек функции f ( z).

В самой особой точке z0 функция f (z) может быть не определена.

Функцию f (z) в окрестности точки z0 можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце 0 <| z - z0 |< r(z0 ). Поведение функции f (z) в окрестности точки z0 , как будет показано ниже, определяется главной частью ряда Лорана:

Замечание. В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана.

Три случая изолированных особых точек

1. Устранимая особая точка.

особая точка. z0 --- правильная точка функции f ( z). Если функция не определена в точке z0 , то ее можно доопределить по непрерывности, положив f (z0 ) = c0 .

В окрестности устранимой особой точки 0 <| z - z0 |< r(z0 ): | f (z) |< M и

Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями;

f (z) ® ¥ при z ® z0 --- полюс порядка m ,

67

y (z)

f (z) = (z - z0 )m ; y (z0 ) ¹ 0.

и | f ( z) |® ¥ при z ® z0 (независимо от способа стремления z к z0 ), то z0 --- полюс f ( z).

3. Существенно особая точка.

Определение 11.2. z0 называется существенно особой точкой функции f (z) , если ряд Лорана функции f (z) в окрестности ее изолированной особой точки z0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z - z0 ) (бесконечное число коэффициентов c-n ¹ 0 ).

Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой 11.3.

Теорема 11.3 (Сохоцкого--Вейерштрасса). Для любого комплексного числа

B и любого e > 0 в любой h -окрестности существенно особой точки z0 {0<| z - z0 |<h} существует точка z1: | f (z1 ) - B |<e.

¥

положительными степенями z: f (z) = å cn zn , или при z ® ¥ у f (z) нет конечного или

n=-¥

бесконечного предела.

Вычет аналитической функции в изолированной особой точке

68

Пусть z0 --- изолированная особая точка аналитической функции

¥

f (z) = å cn ( z - z0 )n ; 0 <| z - z0 |< r ,

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (z) ÎC¥ (G) , то все точки ¶G --- правильные точки f (z) . Выделим каждую из изолированных особых точек zn функции f (z) замкнутым контуром gn , не содержащих внутри других особых точек, кроме zn . В замкнутой многосвязной области, ограниченной ¶G и всеми контурами gn , функция f (z) является всюду аналитической. По теореме Коши для многосвязной области

N

ò f (z)dz + å ò f (z)dz = 0.

Перенеся второе слагаемое направо, поменяв направление обхода контуров, использовав определение вычета, получим искомое

N

ò f (z)dz = 2piåRe s[ f ( z), z ].

n

¶G n=1

Формулы вычисления вычетов

1.z0 --- устранимая особая точка. Вычет равен Res[ f (z), z0 ] = 0.

2.z0 --- полюс порядка m > 0 .

69

Сумма всех вычетов функции, аналитической на полной комплексной плоскости,

за исключением конечного числа изолированных особых точек, включая вычет в z = ¥ , равна 0.

70