Лекция 4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Принцип суперпозиции решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных

pn ( x) y(n ) + pn-1 (x) y( n-1) +... + p1 (x) y¢ + p0 ( x) y = f (x),

(4.1)

(т.е. с целой

неотрицательной

степенью

не

выше

).первойПри

этом

функции

pn (x),..., p0 (x)

называются коэффициентами

уравнения (4.1),

а правая

часть f (x) –

неоднородностью этого уравнения. Если в (4.1)

f (x) º/ 0, то уравнение (4.1) называется

неоднородным дифференциальным уравнением.

Структура общего решения.

Теорема 4.1 (о структуре

общего

решения

неоднородного уравнения). Если в

уравнении (4.11) все коэффициенты ai (x) и правая часть h(x)

непрерывны на отрезке

[a;b] , то общее решение уравнения (4.11) (на этом отрезке) имеет вид

y = y(x;=C1,..., Cn ) C1 y1 ( x) +... + Cn yn (x) + y* ( x) Û yо.н. = yо.о. + yч.н. ,

(4.2)

– произвольные постоянные.

Доказательство. Применяя оператор L к функции (4.2), будем иметь

Ly = C1Ly1 (x) +... + Cn Lyn (x) + Ly* (x) º 0 +... + 0 + h(x) º h(x).

Это означает,

что функция (4.2)

является решением уравнения(4.1) при произвольных

значениях постоянных C ,..., C

n

.

Пусть

теперь (x , y

, y0 ,..., y0

)

– произвольная точка в

1

0 0

1

n -1

Rn +1 ( x Î[a;b]). Покажем, что решение y = y(x)

задачи Коши

0

Ly = h( x), y(x0 )

0

(n

-1)

(x0 )

0

=

(4.3)

y0 ,=y¢(x0 ) y1

,..., y =

yn-1

можно получить из (4.2) выбором определенных значений C = C 0

,..., C

n

= C 0

постоянных.

Подчиняя (4.2) условиям (4.3), будем иметь

1

n

C1 y1 (x0 ) +¼+ Cn y=n (x0 )

y0 - y* (x0 ),

¢

¢

0

¢

C1 y1

(x0 ) +¼+ Cn y=n (x0 )

y1 - y* (x0 ),

то линейная комбинация

h(x) º a1h1(x) +... +amhm (x),

y º a1 y1 (x) +... +am ym (x),

решений y1(x),..., ym (x)

уравнений Ly1 = h1 (x),..., Lym = hm (x)

является

решением

уравнения (4.1) (здесь числа a1 ,...,am могут быть и комплексными).

Действительно, в силу линейности оператора L из тождеств

вытекает тождество

Ly1 º h1 (x), ... , Lym º hm (x)

L[a1 y1(x) +... +am ym (x)] º a1Ly1 (x) +... +am Lym (x) º a1h1 (x) +... +am hm (x).

Пример 4.1. Найти общее решение уравнения

Ly º y¢¢+ y

=x2 +1.

(4.5)

Так

как в

правой

части(4.5) нет ea x ,

то a = 0, и

поскольку

в правой

части

нет

синусов

и

косинусов, то

b = 0.

Значит,

спектральное

значение

правой

части

равно

a + ib = 0.

Характеристическое уравнение l2 +1 = 0

имеет два различных чисто мнимых

корня l1,2 = ±i и

спектральное значениеa + ib = 0

отличается от

них, поэтому

частное

решение неоднородного уравнения (4.5) следует искать в виде

y = y

=

Ax2 + Bx + C

(4.6)

ч.н.

(т.е. в таком же виде, что и правая часть уравнения(4.5)).

Для

вычисления

неопределенных

коэффициентов A,B,C

надо подставить(4.6) в

(4.5) и

произвести

приравнивание

коэффициентов

при

одинаковых

степеняхx. Вычислим

сначала

производные от многочлена (4.6):

y¢ = 2 Ax + B, y¢¢ = 2 A.

Значит,

Lyч.н. º 2 A + Ax2 + Bx + C =x2 +1. Приравнивание коэффициентов дает:

x2

A =1,

x1

B = 0, Û =A= =1, B 0, C 1- 2=A -1.

x0

2 A + C =1

неоднородного

уравнения (4.5):

y = y

=

x2 -1.

Поскольку

корниl

= ±i

ч.н.

1,2

характеристического

уравнения (*)

различны,

то

общее

решение

соответствующего

однородного

уравнения

имеет видyo.o. = C1 cos x + C2 sin x,

а

значит общее

решение

исходного уравнения (4.5) запишется в форме y = y

=

C cos x + C

2

sin x + x2 -1.

o.н.

1

Пример 4.2. Вычислить общее решение уравнения

Ly º y¢¢ + y¢=

x + 2.

(4.7)

Найти

общее решение

соответствующего

однородного

¢¢

+ y

¢

= 0 не

уравненияy

составляет

труда, так

как

здесь корни

характеристического

2

уравненияl + l = 0

различны:

l

= 0,= l

-1.

Оно

имеет

видy

= C e0 x + C

e=-1x

C + C

e- x .

Займемся

1

2

o.o.

1

2

1

2

y = yч.н. = x( Ax + B) º Ax2 + Bx.

(4.8)

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

x1

2A =1,

Û A =1/ 2,=B 2 - 2 A =1.

x0

2A + B =

2

Подставляя A и B

в (4.8),

найдем частное

решение уравнения(4.7) в

виде

yч.н.

=

1

x2 + x, а значит общее решение этого уравнения запишется в форме

2

1

y = C + C e-x +

x2 + x.

1

2

2

Пример 4.3. Решить уравнение

Ly º y¢¢ -3y¢ + 2 y =(x2 + x)e3x .

(4.9)

Спектральное значение правой

частиl* = a + ib

равно l* = 3, так как a = 3, а

y = y

= e3x ( Ax2 + Bx + C ).

(4.10)

ч.н.

Для составления уравнений относительно неопределенных коэффициентовA, B и

C, найдем производные функции (4.10):

y¢ = e3x (3Ax2 + 3Bx + 3C) + e3 x (2 Ax + B) e3 x (3=Ax2 + 3Bx + 2 Ax + 3C + B),

y¢¢ = e3 x (9 Ax2 + 9Bx + 6 Ax + 9C + 3B) + e3 x (6 Ax + 3B + 2 A) =

= e3 x (9 Ax2 + 9Bx +12 Ax + 9C + 6B + 2A).

Следовательно,

Lyч.н. º e3x (9Ax2 + 9Bx +12Ax + 9C + 6B + 2 A) - 3e3 x (3Ax2 + 3Bx + 2Ax + 3C + B) +

+2e3x ( Ax2 + Bx + C) º (x2 + x)e3x .

Сокращая здесь экспоненту, получаем тождество

2Ax2 + 2Bx + 6Ax + 2C + 3B + 2 A º x2 + x.

Приравнивание коэффициентов дает:

x2

2 A =1,

x1

2B + 6 A =1,

Û A =1/ 2, B= -1, C =1.

x0

2C + 3B + 2 A = 0

Подставляя

A, B

и

C

в (4.10),

получаем

частное

решение

в

виде

y = y=

e3 x (x2 / 2 - x +1).

При

этом

общее

решение

соответствующего

однородного

ч.н.

yравнения строится по корням l1 =1 и l2

= 2 характеристического уравнения следующим

образом:

y

o.o.

= C ex

+ C

e2 x ,

а

значит

общее

решение

неоднoродного уравнения(4.9)

1

2

запишется в виде

1

y = y=

C ex + C

e2 x + e3 x æ

x2 - x

+1ö.

o.н.

1

2

ç

÷

è 2

ø

1)

построение

фундаментальной

системы

решенийy (x),..., y

n

(x)

соответствующего однородного уравнения;

1

2) вычисление частного решения y = y* (x) неоднородного уравнения (4.1).

Самым трудным

является осуществление

первой

процедуры. Однако

для

реализовать. Если же найдена фундаментальная система решенийy (x),..., y

n

(x)

1

y = y *=(x) C1 (x) y1 (x) +... + Cn (x) yn (x),

(4.11)

Пример

4.4.

Проверить,

что

функции

y1 = cos x, y2

= sin x

образуют

¢¢

+ y = 0 и

найти

общее

решение

фундаментальную систему решения уравненияy

неоднородного уравнения y¢¢ + y = 1 / cos x.

Поскольку

y¢(x) = -sin x и

y ¢¢

= -cos x,

то

функцияy = cos x

удовлетворяет

1

1

1

уравнению

y¢¢ + y = 0 .

Точно

так

же

убеждаемся,

что

функция

y2 (x) = sin x

также

удовлетворяет уравнению y¢¢ + y = 0 . Вычисляем вронскиан

W[ y1

, y2 ] =

y1

y2

cos x

sin x

cos

2

x + sin

2

x =1.

y1¢

=

=

cos x

y2¢

-sin x

Видим, что

он

не

обращается

в нуль

на

промежутке(-¥; +¥) , значит

функции

y1 = cos x, y2

= sin x образуют фундаментальную систему решений уравнения y¢¢ + y = 0 .

Найдем

теперь

частное

решениеy = y* (x)

неоднородного

уравнения

y¢¢ + y¢ = 1 / cos x

в форме y = C1 (x) cos x + C2 (x) sin x.

При

этом

функцииC1 (x)

и C2 (x)

должны удовлетворять системе