Лекция 8. Ряды с комплексными числами. Степенные ряды. Элементарные функции комплексной переменной

Определение 5.1. Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм {Sn }.

Предел последовательности частичных сумм называется суммой ряда

¥

åak = S.

k =1

Критерий Коши сходимости числовой последовательности:

для "e > 0 $N "n ³ N и m > 0 | Sn+m - Sn |< e.

Отсюда следует необходимый признак сходимости ряда, но не достаточный: an ® 0 при n ® ¥.

¥

Определение 5.2. å ak = rn --- n -й остаток ряда.

k =n+1

¥

Определение 5.3. Если å|ak |< ¥ - сходится, то ряд называется абсолютно сходящимся.

k =1

Очевидно, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится. Обратное, вообще говоря,

Достаточными критериями абсолютной сходимости рядов являются признаки Даламбера и Коши.

¥

k =1

называется функциональным рядом, заданным в G .

51

Определение 5.5. Если при "z ÎG соответствующий числовой ряд сходится к

k =1

Д о к а з а т е л ь с т в о .}

|V f |=| f ( z +Vz) - f ( z) |£ £| f (z +Vz) - Sn (z +Vz) | + | Sn (z +Vz) - Sn (z) | + | Sn (z) - f ( z) |£ £ (e / 3) + (e / 3) + (e / 3) = e для |Vz |< d и n ³ N.

2. Возможность почленного интегрирования.

Пусть uk (z) Î С(G) и

¥

åuk (z) Þ f ( z). Пусть С --- кусочно-гладкий контур, C Ì G конечной длины

k =1

Теорема 5.2 (первая). Если uk (z) ÎC¥ (G) и åuk (z) Þ f (z) для

k =1

"z ÎG¢ Ì G для любой замкнутой подобласти области G то: f (z) ÎC¥ (G);

Теорема 5.3 (вторая). Пусть uk (z) ÎC¥ (G) и åuk (x) Þ f (x) дляx ÎG

k =1

¥

. Тогда åuk (z) Þ f (z) , z ÎG.

k =1

Степенные ряды

52

¥

Определение 6.1. Степенным называется ряд вида åcn (z - z0 )n , z0 --- центр,

При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости, которая определяется видом его коэффициентов cn .

¥

Теорема 6.1 (теорема Абеля). Если степенной ряд åcn (z - z0 )n сходится в точке z1 ¹ z0 ,

n=0

то он сходится и при любых z:| z - z0 | < | z1 - z0 | , причем в круге | z - z0 |£ r <| z1 - z0 | сходится равномерно.

Следствие 6.1. Если степенной ряд расходится в точке z2 ¹ z0 , то он расходится и при любом z: | z - z0 |>| z2 - z0 | .

Следствие 6.2. Круг сходимости. Радиус сходимости.

Рассмотрим sup | z1 - z0 |= R для любого z1 , где ряд сходится, точную верхнюю грань

¥

расстояний от точки z0 до точки z1 , в которых сходится ряд åcn (z - z0 )n . Если R ¹ ¥ , то

n=0

для любого z2: | z2 - z0 |> R ряд расходится.

Пусть R > 0 , тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является

круг | z - z0 |< R сходимости, число R > 0 --- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне --- расходится, в точках границы | z - z0 |= R может как сходиться, так и расходиться.

Следствие 6.3. Формула Коши--Адамара:

R = 1 , L = lim n | cn |.

L n®¥

Теорема 6.2 (теорема Тейлора). Если f (z) ÎC ¥ (| z - z0 |< R) , то существует

¥

единственный степенной ряд åcn (z - z0 )n = f (z) при | z - z0 |< R.

n=0

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем любое

z:| z - z0 |<R и построим CR¢ с центром в точке

z0 и содержащую точку z внутри. Для любого xÎCR¢: | x - z0 |= R¢, R¢ < R, | x - z0 |>| z - z0 | . Так как f (z) ÎC ¥ (| z - z0 |< R¢) , то по формуле Коши

53

что и доказывает существование и единственность разложения.

¥

Замечание. Разложение функции åcn (z - z0 )n называют разложением функции в ряд

n=0

Тейлора.

Разложение в ряд Тейлора элементарных функций:

(сходятся для любого z )

Теорема 6.3 Теорема Лорана. В любом кольце K : r < | z - z0 | < R, в котором определена аналитическая функция f (z) , эта функция может быть представлена

рядом Лорана

¥

f (z) = å cn (z = z)n ,

главной частью ряда Лорана.

54