Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера решения однородных уравнений. Метод подбора неоднородных уравнений

y = ex

, y

2

cos=

x,

y%

2

sin= x,

1

а значит общее решение исходного уравнения запишется в форме

y = y

o.o.

C =ex

+ C

2

cos x + C sin x.

1

3

Метод подбора неоднородных уравнений

Для неоднородного уравнения с непрерывными на отрезке[a;b] коэффициентами

ai (x)

и

неоднородностьюh(x)

был

изложен

метод вычисления

частного

решения

y = yч.н. (x), называемый методом вариации постоянных. После того как найдено частное

решение

неоднородного

уравнения, его

общее

решение

вычисляется

по

формуле

yо.н. = yо.о. + yч.н. ,

где yo.o. –

общее

решение

соответствующего однородного

уравнения

Ly = 0.

Дадим еще один способ вычисления частного решения неоднородного уравнения,

который применяется и в случае, когда коэффициенты этого уравнения переменные.

Пусть в уравнении (5.22) все коэффициенты ai (x) и правая часть h(x) непрерывны

на отрезке [a;b]

и пусть z = z(x, s)

–

решение соответствующего однородного уравнения

Lz = 0,

удовлетворяющее начальным условиям

¢

(n-2)

( n-1)

(s, s) ...

=zx

(s, s)

0,=zx (s, s)

1=

(5.3)

z(s, s) = zx

при любом

фиксированном

значении

параметраs Î[a;b].

Тогда

частное

решение

неоднородного

уравнения

с

нулевыми

начальными

y( x0 ) = y¢(x0 ) ...= y(n-1) (x0 )=

0 может быть записано в виде

x

y(x) = ò z(x, s)h(s)ds

(x0 , x, s Î[a;b]).

(5.4)

x0

h( x) = ea x [M n (x) cos b x + Nm (x) sin b x],

(5.5)

где a и b –

постоянные, а M n (x) и Nm (x)

–

многочлены степени n и m соответственно.

Заметим, что функции вида

P ( x)el1x

+ ... + P (x)ell x ,

f (x) =

1

l

где P (x),..., P (x) – многочлены, а l

,..., l

–

постоянные (в общем случае комплексные),

1

l

1

l

называются

квазиполиномами (или

квазимногочленами) .Если

выразить

(5в .5)

cos b x и sin b x

через экспоненты, то (5.5) можно представить

в виде квазиполинома с

комплексными

коэффициентами. Поэтому

функцию (5.5)

будем

также

называть

квазимногочленом. При этом будем считать,

что числа a и b

действительные, а

число

l = l*= a + ib

будем называть спектральным значением квазиполинома (5.5). Это число

играет важную роль при построении частного решения неоднородного уравнения.

Алгоритм метода подбора.

Пусть требуется найти частное решение уравнения

Ly º y(n ) + an-1 y(n-1)

+... + a1 y¢ + a0 y = h(x)

(5.6)

с постоянными коэффициентамиai

Î R

и

с

неоднородностьюh(x) , являющейся

квазимногочленом (5.5). Для этого надо сделать следующее:

1) составить спектральное значение l* = a + ib правой части h(x) уравнения (5.6);

2) если

спектральное

значениеl = l*

не

является

корнем

характеристического

уравнения

p(l) º ln + a

ln-1

+ ... + a l + a

= 0,

(*)

n-1

1

0

то частное решение следует искать в виде

y = y

ч.н.

ea x [P (x) cos= b x + Q ( x) sin b x],

(5.7)

k

k

где

Pk (x) и Qk (x)

–

многочлены

(с

неопределенными

коэффициентами)

степени

k = max(m; n);

3)

если

спектральное

значениеl = l*

является

корнем

кратностиr

хаpактеристического уравнения (*), то частное решение следует искать в виде

y = y

ч.н.

xr ea x [P (x) cos=

b x + Q (x) sin b x],

(5.8)

k

k

где

Pk (x) и Qk (x)

–

многочлены

(с

неопределенными

коэффициентами)

степени

k = max(m; n);

4) для вычисления неопределенных коэффициентов надо подставить функцию (5.7)

(или (5.8))

в уравнение (5.6),

сократить его обе части

на экспонентуea x и

произвести

приравнивание

коэффициентов в обеих

частях

при

s

cos b x, x

s

sin b x, а

одинаковыхx

Заметим,

что

если

спектральное

значениеl = l*

является

корнем

характеристического

уравнения (*),

то

говорят,

что

в

уравнении(5.6) имеет

место

резонанс.

Пример 5.2. Вычислить общее решение уравнения

Ly º y¢¢ + y¢=

x + 2.

(5.9)

Найти общее

решение соответствующего

однородного

¢¢

+ y

¢

= 0

не

уравненияy

составляет

труда,

так как

здесь

корни характеристического

2

уравненияl + l = 0

различны:

l = 0,= l

-1.

Оно

имеет

видy

= C e0 x

+ C

e=-1x

C + C

e- x .

Займемся

1

2

o.o

1

2

1

2

вычислением частного решения неоднородного уравнения (5.9). Поскольку в правой части

нет экспоненты ea x

и синусов и косинусов, то спектральное значение l = a + ib = 0.

Оно

*

является корнем характеристического уравнения кратности $r=1.$ Согласно п.3 алгоритма

частное решение неоднородного уравнения (5.9) следует искать в виде

y = yч.н. = x( Ax + B) º Ax2 + Bx.

(5.10)

Вычисляя

производные y¢ = 2Ax + B, y¢¢ = 2 A

функции (5.10) и

подставляя

ее в

(5.9), будем иметь

2A + 2Ax + B= x + 2.

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем

x1

2A =1,

Û A =1/ 2,=B 2 - 2 A =1.

x0

2A + B = 2

Подставляя A и B в

(5.10),

найдем

частное

решение уравнения (5.9)

в

виде

yч.н. =

1

x2 + x, а значит общее решение этого уравнения запишется в форме

2

1

y = C + C e- x +

x2

+ x.

1

2

2

Пример 5.3. Решить уравнение

Ly º y¢¢ -3y¢ + 2 y =(x2 + x)e3x .

(5.11)

Спектральное значение правой частиl* = a + ib равно l* = 3,

так какa = 3, а

y = y

= e3 x ( Ax2

+ Bx + C).

(5.12)

ч.н.

2Ax2 + 2Bx + 6 Ax + 2C + 3B + 2A º x2 + x.

Приpавнивание коэффициентов дает:

x2

2A =1,

x1

2B + 6 A =1,

Û A =1/ 2, B= -1, C =1.

x0

2C + 3B + 2 A = 0

Подставляя

A, B

и

C

в (5.12),

получаем

частное

решение

в

виде

y = y=

e3 x ( x2 / 2 - x +1).

При

этом

общее

решение

соответствующего

однородного

ч.н.

yравнения строится по корням l1 =1 и l2

= 2 характеристического уравнения следующим

образом:

y

o.o

= C ex + C

e2 x ,

а

значит

общее

решение

неоднoродного уравнения(5.11)

1

2

запишется в виде

1

y

= y=

C ex + C

e2 x + e3 x æ

x2 - x

+1ö.

o.н.

1

2

ç

÷

è 2

ø