Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Маткад лекции. ВМ-2.pdf
Скачиваний:
91
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
1.43 Mб
Скачать

Лекция 14. Обращение преобразования Лапласа (формула Меллина). Восстановление оригиналов по известным изображениям. Решение дифференциальных уравнений операционным методом

Теорема 13.5 (Меллина).} Пусть F ( p) ÎC ¥ (Re p > a) и

1) | F ( p) |= 0

при| p |® ¥ , Re p > a относительно аргумента;

2) для "x > a интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò | F( p) | dy<M равномерно ограничен по

x .

 

 

x-i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда существует

f (t)ÎA(a): f (t) B F ( p) и

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x+i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) =

ò e pt F ( p)dp для любого x > a . }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pi x-i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание. Несобственный интеграл

 

 

1

 

x+i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ò e pt F ( p)dp вычисляется вдоль прямой Re p = x > a и понимается в смысле

 

 

 

 

 

2pi x-i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

главного значения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+i¥

 

 

 

x+iA

 

 

 

 

 

 

 

 

ò

e pt F ( p)dp = limA®¥ ò e pt F ( p)dp.

 

 

 

 

x-i¥

 

 

 

x-iA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Изображение произведения

Пусть

f1 (t) Î A(a1 ): f1 (t) B F1 ( p) ÎC ¥ (Re p > a1 ), f2 (t) Î A(a2 ): f2 (t) B F2 ( p) ÎC¥ (Re p > a2 ).

Функция

f (t) = f1 (t) f2 (t) Î A(a1 + a2 )

удовлетворяет всем условиям существования

изображения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t) B F( p) = òe- pt f1 (t) f2 (t)dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= á f=(t)

1

x+i¥ e pt

F ( p)dp для "x > a ñ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2pi

ò

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

¥

 

x+i¥

 

 

 

 

1

 

x+i¥

¥

 

=

 

 

òe- pt f2 (t) ò eqt F1 (q)dqdt =

 

ò F1 (q)òe-( p-q)t f2 (t)dtdq =

2pi

2pi

 

 

0

 

x-i¥

 

 

 

 

x-i¥

0

 

 

 

1

 

x+i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

ò F1 (q)F2 ( p - q)dq.

 

 

 

 

 

 

2pi

 

 

 

 

 

 

 

 

x-i¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x+i¥

 

 

 

 

a1 < x Req < Re=p - a2

ò F=1 ( p - q)F2 (q)dq;

 

 

2pi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x-i¥

 

 

 

 

a

< x =Req < Re p - a ;

F ( p) ÎC¥ (Re p > a + a

.

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

2

 

Пример 13.2.

78

f (t) = t B

1

;

f

 

(t) = sin(wt) B

 

w

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

+w2

 

 

 

 

 

 

 

1

p2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w

 

x+i¥

 

 

dq

 

 

 

 

 

f (t) = f1 (t) f2 (t) = t sin(wt)

B

 

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

( p

- q)

2

(q

2

+w

2

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2pi x-i¥

 

 

 

 

= -w Выч=

é

=

 

 

 

 

1

 

 

 

 

, q

 

p

ù

(при помощи вычетов, с учетом того что контур

ê

 

 

 

2

(q

2

 

2

)

 

ú

 

ë

( p - q)

 

 

+w

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке --- в отрицательном направлении)

= -w Выч=

é

=

 

1

 

 

 

 

, q

ê

2

(q

2

+w

2

)

 

ë

( p - q)

 

 

 

p

ù

 

wd

é

 

 

1=

 

, q

ú

= -

=

 

 

 

 

 

2

2

 

 

dq

ê

 

+w

 

 

û

 

ë q

 

 

 

ù

2w p

 

 

pú

 

 

 

 

.

p

2

+w

2

û

 

 

 

Указание: можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в ±iw.

Теоремы свертки и запаздывания.

Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула

L[ f (t - t0 )] = e - pt0 L[ f (t)]

где t0 – некоторая точка.

t

Определение. Выражение ò f1 (t) f2 (t - t)dt называется сверткой функций f1(t) и f2(t) и

0

обозначается f1* f2.

Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .

· t

F1 ( p)F2 ( p) =· ò f1 (t) f 2 (t - t)dt

0

Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский математик)). Если

··

F ( p) = f (t); G( p) = g(t) , то верно равенство

··

 

 

 

·

 

t

 

¢

 

 

 

 

 

 

 

·

 

ò

 

 

 

 

 

 

 

 

pF ( p)G( p) = f (t)g(0) +

 

f (t)g (t - t)dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для

нахождения

изображений

различных

функций

наряду

с

непосредственн

интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства.

 

 

Пример. Найти изображение функции sin t . t

79

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из таблицы изображений получаем: sin t =

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

p 2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (t)

· ¥

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По свойству интегрирования изображения получаем:

 

 

=· òF(q)dq

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t · ¥

 

1

 

 

¥

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=· ò

 

 

 

 

 

dq = arctgq

 

=

 

 

 

 

- arctgp;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

q

2

+1

p

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти изображение функции sin 2 t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из тригонометрии известна формула sin 2 t

=

1 - cos 2t

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

p

2

+ 4 - p

2

 

2

 

 

Тогда sin 2 t =

L[1 - cos 2t] =

L[1] -

L[cos 2t] =

-

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

 

.

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p( p 2

+ 4)

· 2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 p 2( p 2

+ 4) 2 p( p 2 + 4)

 

Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

 

an x (n) (t) + ... + a1 x¢(t) + a0 x(t) = f (t)

Требуется найти

решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее

начальным условиям:

 

 

x(0) = x0 ; x¢(0) = x0¢ ; ...

x (n-1) (0) = x0(n -1) .

Если функция x(t)

является решением этого

дифференциального уравнения, то оно

обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.

é n

d

k

x

ù

 

Lêåak

 

ú

= L[ f (t)]

dt

k

ëk =0

 

û

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Из теоремы

 

о

 

¢

 

 

дифференцировании оригинала{ pF ( p) - f (0) = f (t) } можно сделать

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

é

d

k

ù

 

вывод, что Lê

 

x

ú

= p k L[x] - p k -1 x(0) -... - px(k -2) (0) - x (k -1) (0).

 

 

k

 

 

ë dt

 

û

 

é

d

n

ù

 

 

 

Тогда an Lê

x

ú

+ ... + a0 L[x] = L[ f ].

 

n

ë dt

û

 

 

 

80

Обозначим L[x] =

x

( p),

L[ f ] = F ( p).

 

 

 

 

 

 

 

Получаем:

x

( p)[an p n + an-1 p n-1 + ... + a1 p + a0 ] = an [ p n-1 x0 + p n-2 x¢0 + ... + x0(n-1) ] +

 

 

 

 

+ an-1[ p n -2 x0 + p n-3 x0¢ + ... + x0(n -2 ) ] + .... + a2 [ px0 + x0¢ ] + a1 x0

+ F ( p).

Это уравнение

 

называетсявспомогательным (изображающим)

или операторным

уравнением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда получаем изображение

x

( p) , а по нему и искомую функцию x(t).

Изображение получаем в виде:

x

( p) =

F ( p)

+

Yn-1 ( p)

 

 

Rn ( p)

Rn ( p)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Где R

n

( p) = a

n

p n

+ a

n-1

p n -1 + ... + a p + a

0

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Yn-1 ( p) = a1 x0

 

+ a2 ( px0

+ x0¢ ) + a3 ( p 2 x0

+ px0¢ + x0¢¢) + ... + an ( p n-1 x0 + p n-2 x0¢ + ... + px0(n-2) + x0(n-1) )

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

x( p) = F ( p) Rn ( p)

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример. Решить уравнение y

¢¢

+ 4 y = 2;

¢

= 0.

 

y(0) = y (0)

Изображение искомой функции будем искать в виде:

 

 

 

y

=

F ( p)

 

 

 

 

Rn ( p)

 

 

 

 

 

F ( p) = L[ f ] = L[2] =

2

;

 

Rn ( p) = 1× p 2 + 0 × p

 

 

 

p

 

 

 

 

y

=

 

2

 

=

1

é 1

-

 

 

p

ù

 

 

 

 

ê

 

 

 

 

ú

p( p

2

+ 4)

2

 

p

2

+ 4

 

 

 

 

ë p

 

 

û

·

1

 

Находим оригинал, т.е. искомую функцию:

y

= y =

(1 - cos 2

2

·

 

 

 

+ 4 = p 2 + 4.

x)

Пример. Решить уравнение y¢ - 2 y = 0;

y(0) = 1.

 

F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

 

Rn ( p) = p - 2; Yn-1 = a1 y0 = 1;

 

y

=

1

;

 

p - 2

 

 

 

 

81

·

y = y = e2 x ;

·

Пример. Решить уравнение:

y

¢¢¢

- 6 y

¢¢

+

11y

¢

- 6 y = 0;

y(0) = 0;

¢

= 1;

¢¢

 

 

 

y (0)

y (0) = 0;

 

F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

Rn ( p) = p3 - 6 p 2

+11p - 6;

Yn-1 ( p) = a1 y0 + a2 ( py0 + y0¢ ) + a3 ( p 2 y0 + py0¢ + y0¢¢) = -6 + p.

Изображение искомой функции

 

y

=

- 6 + p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 - 6 p 2 +11p - 6

 

 

Для нахождения

оригинала

необходимо

разложить полученную дробь

элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов(знаменатель делится без остатка на p – 1):

p3 – 6p2 + 11p – 6

p - 1

p3 – p2

 

 

 

 

 

 

p2 – 5p + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

-5p2

+

11p

 

 

 

 

-5p2

 

 

 

 

 

 

 

+

5p

 

 

 

 

 

 

6p - 6

6p - 6

0

В свою очередь p 2 - 5 p + 6 = ( p - 2)( p - 3)

Получаем: p3 - 6 p 2 +11p - 6 = ( p -1)( p - 2)( p - 3).

Тогда:

y

=

- 6 + p

=

A

+

B

+

C

;

 

 

 

 

 

 

 

p3 - 6 p 2 +11p - 6 p -1 p - 2 p - 3

 

Определим коэффициенты А, В и С.

A( p - 2)( p - 3) + B( p -1)( p - 3) + C( p -1)( p - 2) = -6 + p

Ap 2 - 5Ap + 6 A + Bp2 - 4Bp + 3B + Cp 2 - 3Cp + 2C = -6 + p

82

p 2 ( A + B + C) - p(5A + 4B + 3C) + 6 A + 3B + 2C = -6 + p

 

 

 

 

 

 

ì

 

5

ìA + B + C = 0

 

ìC = -A - B

ìC = -A - B

ïA

= -

 

 

2

ï

+ 4B + 3C

= -1

ï

ï

ï

= 4

 

í5A

í2A + B = -1

íB = -1 - 2A

íB

 

ï

+ 3B + 2C

= -6

ï

ï

ï

 

3

î6A

î4A + B = -6

î2A -1 = -6

ï

= -

 

 

 

 

 

 

 

 

C

2

 

 

 

 

 

î

 

 

 

 

11 - 6 p

-

5

 

 

4

 

-

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

y

=

=

2

 

+

+

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p3 - 6 p 2 +11p - 6 p -1 p - 2 p - 3

 

y = y = - 5 e x + 4e 2 x - 3 e3x ;

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений:

 

 

 

 

ìx¢ = 3x + 4 y

;

x(0) = y(0) = 1

í

 

 

 

 

îy¢ = 4x - 3y

 

 

Обозначим

x

( p),

y

( p) - изображения

искомых функций и решим вспомогательные

уравнения:

 

 

¢

 

ìL[x ] = 3L[x] + 4L[ y]

í ¢

;

îL[ y ] = 4L[x] - 3L[ y]

ìpx( p) - x(0) = 3x( p) + 4 y( p)

í

îpy( p) - y(0) = 4x( p) - 3y( p)

Решим полученную систему алгебраических уравнений.

ì

x

( p) =

4

y

( p) +1

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p - 3

ï

 

 

 

 

í

 

 

 

 

 

 

 

;

ïpy

( p) -1 = 4

4

y

( p) +1

- 3

y

( p)

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

p - 3

î

 

 

 

 

 

 

 

ì

ïy( p)

ï

í

ïïx( p)

î

= p +1 p 2 - 25

=

;

p 2 + 4 p - 21

( p 2 - 25)( p - 3)

x

( p) =

( p + 7)( p - 3)

=

p + 7

=

p

+

7

;

 

 

p 2 - 25

p 2 - 25

 

 

( p 2 - 25)( p - 3)

p 2 - 25

 

 

83

x( p) = x(t) = ch5t + 7 sh5t;

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

y

( p) =

p

+

1

;

 

 

p 2 - 25

p 2 - 25

y( p) = y(t) = ch5t + 1 sh5t;

·

 

 

 

 

 

·

5

 

 

 

Если применить к полученным результатам формулы

chz =

e z

+ e- z

 

;

 

shz =

e z - e- z

;

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то ответ можно представить в виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

 

 

6

 

 

 

5t

 

1

 

 

-5t

 

 

ïx =

 

 

 

e

 

-

 

 

e

 

 

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

í

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ï

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

-5t

 

 

ïy =

 

 

e

 

+

 

 

e

 

 

 

 

5

 

 

5

 

 

 

 

î

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как видно, гиперболические функции

 

 

 

в

 

 

 

ответе

могут быть легко заменены

показательные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Решить систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ìx¢ = 5x + 2 y

 

 

 

при x(0) = y(0) = 1

í

 

 

 

 

 

 

îy¢ = 2x + 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Составим систему вспомогательных уравнений:

¢

 

ìL[x ] = 5L[x] + 2L[ y]

;

í ¢

îL[ y ] = 2L[x] + 2L[ y]

ìpx

( p) - x(0)

= 5

x

( p) + 2

y

( p)

í

 

 

 

 

 

;

îpy

( p) - y(0)

= 2

x

( p) + 2

y

( p)

ì

ïx( p) =

ï

í

ïïpy( p)

î

2 y( p) +1

p - 5

;

= 4 y( p) + 2 + 2 y( p) +1 p - 5

ì

ïy( p)

ï

í

ïïx( p)

î

p - 3

=

( p -1)( p - 6);

p

=

( p -1)( p - 6)

y( p) =

A + B = 2 1 + 3 1 = 2 et + 3 e6t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p -1 p - 6 5 p -1 5 p - 6 · 5

5

 

 

 

x( p) =

C + D = -

1 1 + 6 1 =- 1 et + 6 e6t ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p -1 p - 6

5 p -1 5 p - 6 · 5

5

 

84

Если обозначить C = -

1

;

C

 

=

3

; то из полученного частного решения системы можно

 

2

 

1

5

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

записать и общее решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ì

t

+ 2C2 e

6t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïx = C1e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

í

 

 

t

 

 

6t

 

 

 

 

 

 

 

ï

 

 

+ C2 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

îy = -2C1e

 

 

При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом(См. Другой способ решения.). Как видно, результаты совпадают.

Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.

85

Лекция 15. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Структура общих решений однородных и неоднородных

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

y'1 = f1(x, y1, y2 , ..., yn), y'2 = f2 (x, y1, y2 , ..., yn),

..............................

y'n = fn (x, y1, y2 , ..., yn),

где x — независимая переменная, а

y1(x), y2(x), ..., yn(x) — неизвестные функции, n — порядок системы.

Обозначив

запишем систему в векторной форме

`Y '=`F(x,`Y ).

Решением системы называется вектор-функция `Y , которая определена и нерерывно дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для всех x0О (a, b) справедливо

`Y '(x) =`F(x,`Y (x)).

Задачей Коши (задачей с начальными условиями) называется следующая задача: найти такое решение`Y (x) системы `Y '=`F(x,`Y ), что `Y (x0) =`Y 0,

где x0 — заданное число, а `Y 0 — заданный вектор.

Интегральной кривой системы называется кривая в (n+1) -мерном пространстве Rn+1x,y, заданная уравнением `Y =`Y (x), где `Y (x) - решение системы.Таким образом, решить задачу Коши — это значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку пространства Rn+1x,y.

·Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных

(нормальная система -го порядка)

·ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

86

Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений справедлива следующая

Теорема 15.1(теорема существования и единственности решения задачи Коши.)

Если вектор-функция `F(x,`Y (x)) и ее частные производные по переменным yi , i = 1, 2, ..., n, непрерывны в области G пространства Rn+1x,y, то на некотором интервале (x0 -h, x0+h) существует единственное решение системы

`Y '(x) =`F(x,`Y (x)) ,

удовлетворяющее начальному условию

`Y (x0) =`Y 0,

т.е. через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая системы.

Подробнее геометрическая интерпретация систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений рассмотрена в разделе, посвященном изучению автономных систем.

Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения второго порядка y'' + a1 y' + a2 y = f(x), y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1.

Будем искать решение задачи в виде y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x),

где y1(x), y2(x) — линейно независимые решения однородного уравнения y'' + a1 y' + a2 y = 0.

Вычислим y'(x), y''(x) и подставим полученные выражения в уравнение. Вычислим первую производную

y'(x)= (c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x)) + (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x)), положим c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0

и тогда y'(x)= c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x), y''(x)= (y'(x))'= (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x))'=

=c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x).

Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим: y'' + a1 y' + a2 y =

=c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x) +

+a1(c1(x) y1'(x)+c2(x) y2'(x)) + a2(c1(x) y1(x)+c2(x) y2(x)) =

=c1(x)( y1''(x)+a1 y1'(x)+a2 y1(x)) + c2(x)( y2''(x)+a1 y2'(x)+a2 y2(x)) +

+c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = 0 + 0 + c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x), при условии c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0.

Тогда неизвестные функции c1(x) и c2(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x),

c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0

с известными y1(x) и y2(x).

Эта система легко разрешима относительно c1(x) и c2(x):

87

c1'(x) = f(x)y2(x)/(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x)), c1'(x)= f(x)y1(x)/(y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)).

Вычислив интегралы в правой части системы, получим

Произвольные константы C1 и C2 определяются из начальных условий.

ПРИМЕР 1. Решение методом вариации задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений для

c1'(x) и c2'(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C1 и C2 гарантированы линейной независимостью y1(x) и y2(x), (y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x))№0 для линейно независимых y1(x) и y2(x).

Для того чтобы решить задачу Коши для уравнения более высокого порядка действуем аналогично.

Решение задачи Коши ищем в виде

y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + ... + cn(x) yn(x),

где y1(x), y2(x), ..., yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Неизвестные функции c1(x) , c2(x), ..., cn(x)

находим как решения линейной системы дифференциальных уравнений c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) + ... + cn'(x) yn(x) = 0

c1'(x) y1'(x) + c2'(x) y2'(x) + ... + cn'(x) yn'(x) = 0, c1'(x) y1''(x) + c2'(x) y2''(x) + ... + cn'(x) yn''(x) = 0,

.................

c1'(x) y1(n-1)(x) + c2'(x) y2(n-1)(x) + ... + cn'(x) yn(n-1)(x) = f(x),

которая в силу линейной независимости y1(x), y2(x), ..., yn(x) разрешима относительно ci'(x). Вычислив ci(x) = Fi(x) + Ci находим произвольные постоянные Ci из начальных условий и тогда искомое решение уравнения имеет вид

y(x)= F1(x) y1(x) + F2(x) y2(x) + ...+ Fn(x) yn(x) + C1y1(x) + C2 y2(x) +...+ Cnyn(x).

Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:

записать характеристическое уравнение;

найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));

представить искомое решение задачи Коши в виде линейной комбинации

88

y(x)= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + ... + cn(x)yn(x),

с неизвестными функциями c1(x), c2(x), ..., cn(x); составить и решить систему для c1 (x), c2(x), ..., cn(x);

подставить вычисленные ci(x) = Fi(x) + Ci в выражение для решения и записать для него начальные условия;

найти из начальных условий значения констант Ci и записать искомое решение.

Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));

найти методом вариации произвольных постоянных любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);

записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x).

Доказательство формулы Лиувилля-Остроградского для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу следующим образом

Тогда . Воспользуемся тем, что - решения системы ОДУ, то есть .

В матричном виде последнее представимо в виде

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

Пусть - -я строка матрицы . Тогда

Последнее означает, что производная от -й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из -й строки матрицы .

89

Рассмотрим определитель матрицы , в которой -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка

эквивалентно следующей системе

с матрицей следующего вида

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен

. Подстановкой в формулу для системы получаем

90

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Используя формулу Лиувилля-Остроградского возможно найти линейно

независимое от него решение той же системы.

Распишем вронскиан:

поэтому

Так как для линейной независимости и достаточно , приняв

получим

91