3. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения

Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение

Докажем следующий важный результат.

Теорема 5. Пусть функции являются решениями однородного уравнения (5) с непрерывными на отрезкекоэффициентамиТогдалинейно независимы на отрезкев том и только в том случае, когда вронскианэтих функций не равен нулю ни в одной точке отрезка

Доказательство. Достаточность вытекает из следствия 1. Докажем необходимость. Пусть решения уравнения (5) линейно независимы на отрезкеПокажем, что тогда вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезкаПредположим противное, т.е. что существует точкатакая, что вронскианобращается в нуль в этой точке:

Тогда столбцы этого определителя линейно зависимы, т.е. существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что

С помощью указанных чисел построим функцию . Посколькурешения однородного уравнения (5), то из линейности дифференциального оператораследует, что

Это означает, что функция является решением уравнения (5). Из (6) следует, что эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям, т.е.

Но таким же начальным условиям удовлетворяет и тривиальное решение этого уравнения. В силу единственности решения (см. теорему 1) функцииисовпадают на отрезкеи значити значит

Поскольку здесь не все числа равны нулю, то последнее тождество означает, что функциилинейно зависимы на отрезке. Мы получили противоречие, которое показывает, что наше предположениене верно. Следовательно, вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке отрезкаТеорема доказана.

Из теоремы 4 и доказательства теоремы 5 вытекают следующие свойства вронскиана системы решенийлинейного однородного дифференциального уравнения (5) с непрерывными на отрезкекоэффициентами

Если вронскиан обращается в нуль в некоторой точкеотрезкато он тождественно равен нулю на всем отрезке(т.e.

Если вронскиан не равен нулю хотя бы в одной точкеотрезка, то он не равен нулю и на всем отрезке

Свойства илегко усматриваются также из формулы

называемой формулой Остроградского-Лиувилля. Здесь – коэффициент при производнойв уравнении (5),– произвольная фиксированная точка отрезка

Обозначим теперь через множество всех решенийоднородного уравнения (5). Какова структура множества? Во-первых, оно является линейным пространством. Действительно, еслиидва произвольных элемента множествато выполняются тождестваа значит для произвольных чисели(в силу линейности оператора) имеет место тождество

Это тождество показывает, что любая линейная комбинация элементов множества принадлежит(т.е. является решением уравнения (5)). Следовательно,–- линейное пространство.

Из линейной алгебры известно, что если линейное пространство конечномерно, то в нем можно выделить базис, т.е. такую упорядоченную систему элементовкоторая обладает свойствами:

а) система линейно независима;

б) каков бы ни был элемент , существуют числатакие, что

При этом числа называются координатами элементав базисе(показывается, что координаты элемента в данном базисе единственны).

В пространстве также можно выделить базис. В случае дифференциальных уравнений (а также в случае любой линейной системы уравнений) базис пространства решений принято называть фундаментальной системой решений. Мы вернемся к этому термину немного позднее и определим его более точно.Существование базиса вустанавливается следующей теоремой.

Теорема 6 (о структуре общего решения однородного уравнения). Если в уравнении (5) все коэффициенты непрерывны на отрезке, то для него существуютлинейно независимых на отрезкерешений(– порядок уравнения (5)). При этом любое другое решение уравнения (5) является линейной комбинацией указанных линейно независимых решений, т.е. общее решение уравнения (5) описывается формулой

где –- произвольные постоянные.

Доказательство. Покажем сначала, что для уравнения (5) существуют линейно независимых на отрезкерешений. Возьмем произвольную постоянную матрицус определителеми со столбцамиТак что матрицане вырождена и имеет порядок. Каждый столбец этой матрицы будем использовать в качестве начальной точки для задачи Коши для уравнения (21.5). Получимзадач Коши:

Каждая из этих задач (в силу непрерывности коэффициентов ) имеет единственное решение. Обозначим черезрешения этих задач соответственно. Вронскиан в точкеэтих решений:

совпадает с определителем матрицы, и поэтому не равен нулю. Отсюда следует, что решениялинейно независимы на отрезкеСуществование таких решений доказано (их можно даже построить бесчисленное множество, выбирая произвольно матрицус). Покажем теперь, что (8) – общее решение уравнения (5).

При любых значениях постоянных функция (8) является решением уравнения (5), так как пространстворешений уравнения (5) является линейным пространством. Пусть теперь– решение произвольной задачи Коши

где Покажем, что существуют значения постоянныхтакие, что функциясовпадает с решениемзадачи Коши (9). Подчиняя (8) начальным условиям (9), получаем равенства

Так как решения линейно независимы на отрезкето их вронскианне равен нулю в произвольной точке отрезка. Определитель системы (10) совпадает с вронскианом, и значит он не равен нулю. Но тогда система уравнений (10) имеет единственное решениеПри этом функцияявляясь решением уравнения (5), удовлетворяет и начальным условиям (9) (в силу выбора чисел). Следовательно, функция (8) является общим решением уравнения (5). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что любая система из линейно независимых решенийуравнения (5) порядкаобразует базис (фундаментальную систему решений (см. ниже)) в пространстве.

Определение 3. Любая упорядоченная система из линейно независимых на отрезкерешенийуравнения (5) (-го порядка) называется фундаментальной системой решений этого уравнения (или базисом его решений).

Следовательно, пространство решений однородного уравнения (5) имеет размерность. На следующей лекции будет рассмотрено неоднородное уравнение и изучена структура его общего решения.