3. Фундаментальная матрица решений и структура общего решения однородной системы

Рассмотрим однородную систему (8). Пусть она имеет порядок . Введем следующее важное понятие.

Определение 5.Матрица

столбцами которой являются линейно независимых на отрезкерешенийсистемы (8), называется фундаментальной матрицей решений системы(8) (на отрезке).

Заметим, что поскольку каждый столбец матрицыудовлетворяет системе (8), то фундаментальная матрица решений удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

которое эквивалентно векторным уравнениям

С помощью фундаментальной матрицы решений можно записать общее решение однородной системы (8). Сначала докажем следующее утверждение.

Теорема 4. Для любой однородной системы (8) с непрерывной на отрезке матрицейсуществуют (и даже бесчисленное множество) фундаментальные матрицы решений.

Доказательство.Пусть– произвольная постоянная матрица сВозьмем в качестве начальных векторов столбцыэтой матрицы и рассмотримзадач Коши:

где – произвольная фиксированная точка отрезка. Так как матрицанепрерывна на отрезке, то задачи (12) имеют решенияна отрезкеи эти решения единственны (см. теорему 1). Составим из этих решений матрицу (10). Она является фундаментальной матрицей решений (на отрезке) однородной дифференциальной системы (8). Действительно, каждый ее столбец является решением системы (8) (по построению задач Коши (12)) и(в силу выбора матрицы). Значит, столбцы матрицылинейно независимы на отрезке(см. следствие 1). Теорема доказана.

Теорема 5. Пусть в однородной дифференциальной системе (8) матрица непрерывна на отрезке. Тогда ее общее решение имеет вид

где – фундаментальная (на отрезке) матрица решений системы (8), а– произвольный постоянный вектор.

Доказательство.Дифференцируя (13) пои, учитывая, что матрицаудовлетворяет уравнению, будем иметь

т.е. вектор-функция (13), является решением системы (8) при любом постоянном векторе . Если теперь– произвольная задача Коши для системы (8) (,), то подчиняя функцию (13) начальному условиюнайдем, что

а значит, вектор-функция (13), где удовлетворяет указанной задаче Коши. Следовательно, (13) – общее решение системы (8). Теорема доказана.

Пусть и– две фундаментальные матрицы решений дифференциальной системы (8). Как связаны они между собой? Связь эта очень проста и описывается следующим утверждением.

Если и– две фундаментальные (на отрезке) матрицы решений однородной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицей, то существует постоянная матрицатакая, что. При этом

Действительно, в силу теоремы 5 каждый столбец матрицы, являясь решением системы (8), имеет вид, где– некоторый постоянный вектор. Поэтому матрицаможет быть записана в формеМатрицане вырождена, так как если бы, точего не может быть в силу фундаментальности матрицы

4. Структура общего решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим теперь неоднородную дифференциальную систему

Теорема 6. Пусть в системе (14) матрица и вектор-функциянепрерывны на отрезкеи пусть– фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы. Тогда общее решение неоднородной дифференциальной системы (14) имеет вид

где – произвольный постоянный вектор,– произвольная (фиксированная) точка отрезка.

Доказательство.Применяя к (15) оператор, учитывая его линейность и тот факт, что– общее решение соответствующей однородной системы, будем иметь

Вычислим теперь

Учитывая, что , получаем из (16) тождество

которое показывает, что вектор-функция (15) является решением неоднородной системы (14) при любом постоянном векторе .

Если теперь – произвольная задача Коши для системы (14), то подчиняя функцию (15) начальному значению, получаем, откуда найдемСледовательно, вектор-функция (15), где, является решением указанной задачи Коши. Это означает, что (15) – общее решение дифференциальной системы (14). Теорема доказана.

Следствие 2.Решением задачи Коши

(с непрерывными на отрезке матрицейи неоднородностью) является вектор-функция

где – фундаментальная матрица решений соответствующей однородной системы,.

Это вытекает из заключительной части доказательства теоремы 6. Заметим, что формулу (18) называют формулой Коширешения начальной задачи (17) для неоднородной дифференциальной системы (14).

Пример 5.Найти общее решение системы

Решение.Построим сначала фундаментальную матрицу решений соответствующей однородной системы,. Применяя метод исключения (см. разд. 2), приведем эту систему (дифференцированием попервого уравнения) к скалярному уравнению второго порядка:

Общее решение этого уравнения (см. пример 3) имеет вид

Учитывая, что , получаем общее решение однородной системы,:

Стоящая здесь матрица

является фундаментальной матрицей решений для однородной системы ,(проверьте это, используя определение 5). По формуле Коши (18) вычисляем общее решение системы (19):

Теперь, когда изучена структура общего решения линейной дифференциальной системы, можно вычислить размерность пространства решений однородной системы (8) и выделить в нем базис.

Следствие 3.Пространство решений однородной системы (8) с непрерывной на отрезкематрицейявляется подпространством пространстваразмерности(где– размерность (порядок) системы (8)). В качестве базиса пространстваможно взять любыелинейно независимых решений системы (8) (илистолбцов любой ее фундаментальной матрицы решений).

Заметим, что пространство решений неоднородной системы не является линейным пространством, если. Оно получается из пространстварешений однородной системы (8) сдвигом на вектор, являющийся частным решением неоднородной системы (14), т.е., так как(см. (15)).