Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия

Совокупность двух или более дифференциальных уравнений называется системой дифференциальных уравнений. Примеры таких систем приводились в лекции 1. Заметим, что в случае систем обычно обозначают независимую переменную буквой, рассматривая ее как время. Например, уравнения

образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями и. Если система записана в виде уравнений

то ее называют системой, разрешенной относительно всех производных, или системой уравнений в нормальной форме. Вводя в рассмотрение векторы ито системуможно записать кратко так:

Такая форма записи системы уравнений называется ее векторной формой. Ею мы и будем пользоваться в дальнейшем.

1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость

Областью определения системы (1) называется область определения ее правой части , т.е. множество

Например, областью определения системы

является множество

В левой части системы (1) стоит производная вектор-функции скалярного аргумента. В дальнейшем будут встречаться и интегралы от вектор-функции. Поэтому с самого начала разъясним соответствующие понятия.

Производная (любого порядка) вектор-функции скалярного аргумента определяется равенствами:

(здесь ), а интеграл – равенством

Таким образом, чтобы продифференцировать или проинтегрировать вектор-функцию скалярного аргумента, надо продифференцировать или проинтегрировать каждую компоненту этой функции. Вектор-функция называется непрерывной в точке (или на множестве), если непрерывна в этой точке (или на множестве) каждая компонента этой функции. Для вектор-функций скалярного аргумента сохраняются обычные правила дифференцирования:

а)

б) (– скалярная функция),

в) (– скалярная функция),

г)

Интеграл от вектор-функции обладает свойствами линейности, аддитивности, дифференцируемости по верхнему и нижнему пределам. Например,

Имеет место оценка

где или

Если производную от матрицы определить равенствомто, как нетрудно видеть, будут иметь место формулы

Перейдем к понятию решения системы (1). Пусть – область определения системы (1).

Определение 1.Решением системы дифференциальных уравнений (1) на отрезке называется вектор-функцияобладающая свойствами:

1)

2) вектор-функция дифференцируема на отрезке;

3) при всех выполняется тождество

Аналогично определяются решения на промежутках иЕсли– решение системы (1) на отрезке, то множество точек, когдапробегает отрезок, образует внекоторуюЭту кривую называют интегральной кривойсистемы (1). Пространствопеременныхназывают фазовым пространством. Проекция интегральной кривойв фазовое пространство называется траекториейсистемы уравнений (1). Ясно, что по интегральной кривойтраектория определяется однозначно, но не наоборот. Впредь решениетакже будем называть интегральной кривой системы (1).

Мы знаем, что решение дифференциальных уравнений определяется неоднозначно. Чтобы выделить вполне конкретное решение, надо задать дополнительные условия. Пусть – фиксированная точка в областиЗадача, состоящая в нахождении решениясистемы (1), удовлетворяющего начальному условиюназывается задачей Коши или начальной задачейдля системы (1). Ее кратко Рис. 11 записывают так:

Ее геометрический смысл состоит в том, чтобы среди всех интегральных кривых системы (1) найти ту, которая проходит через заданную начальную точку (см. рис. 11).

В каком случае задача Коши (2) имеет решение? Как и в случае скалярных дифференциальных уравнений это зависит от свойств правой части

Теорема Коши. Пусть все компоненты правой частии их частные производныенепрерывны в области. Тогда какова бы ни была начальная точка, лежащая внутри областисуществует отрезоктакой, что задача Коши (2) имеет решение на этом отрезке, причем это решение единственно.

Отметим, что эта теорема носит локальный характер: существование решения гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки(– достаточно мало). Кроме того, условия этой теоремы носят достаточный характер. При нарушении этих условий задача (2) может иметь или может не иметь решения. При этом, если решение существует, оно может быть не единственным. Например, задача Коши

имеет два решения: игде– функция вида

Нарушение единственности решения объясняется тем, что условия теоремы Коши здесь не выполнены (именно: частная производная разрывна в начальной точке).

Как и в случае скалярных уравнений, здесь также вводятся понятия частного и общего решений, частного и общего интегралов. Частным решением системы (1) называется решение какой-нибудь ее задачи Коши (2) (именно: задачи Коши с начальным условием).

Определение 2.Вектор-функция

зависящая от произвольных постоянныхназывается общим решениемсистемы (1), если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) при любых допустимых значениях постоянных функцияявляется решением системы (1) на каком-нибудь отрезке;

2) какова бы ни была начальная точка (– область определения системы (1)), существуют значенияпостоянныхтакие, что функцияявляется решением задачи Коши (2) с начальной точкой.

Условие 2) означает, что алгебраическая система уравнений

(относительно неизвестных ) имеет хотя бы одно решение. Заметим, что в определении общего решения иногда требуют, чтобы указанная алгебраическая система уравнений имела единственное решение. Это требование будет, очевидно, всегда выполненным, если в областиреализуются все условия теоремы Коши.

Пример 1.Показать, что вектор-функция

является общим решением системы

Решение.Вычислим производные от компонент вектор-функции (4):

Вычислим правые части системы (5):

Сравнивая найденные значения производных с вычисленными правыми частями, видим, что при подстановке вектор-функции (4) в систему (5) получаются тождества. Это означает, что вектор-функция (4) является решением системы (5) на любом отрезке не содержащим точку

Рассмотрим теперь произвольную точку взятую из областиопределения системы (5). Покажем, что алгебраическая система уравнений (3) имеет решение, В нашем случае (3) приобретает вид

Умножая уравнения друг на друга, найдем, что

Подставляя это в первое уравнение, будем иметь

Таким образом, вектор-функция является решением системы (5) с начальным условиемЭто означает, что вектор-функция (24.4) является общим решением системы (5).

Общий и частный интегралы системы (1) определяются так же, как и в скалярном случае: это есть общее и частное решения системы (1), заданные соотношениями исоответственно, из которых общее и частное решения определяются как функции, заданные неявно.